(Luận văn thạc sĩ) phát triển kỹ năng nghiên cứu khoa học cho học sinh năng khiếu toán ở bậc trung học phổ thông về bất đẳng thức và các bài toán cực trị

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TẠ XUÂN HÒA PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CHO HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2009 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TẠ XUÂN HÒA PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CHO HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THƠNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2009 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TẠ XUÂN HÒA PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CHO HỌC SINH NĂNG KHIẾU TỐN Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THƠNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC Mã số: 60 14 10 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Vũ Lƣơng HÀ NỘI – 2009 MỤC LỤC Lời cảm ơn Mở đầu 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nội dung nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn Chƣơng CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học – lựa chọn cho giáo dục đại 1.1.1 Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học 1.1.2 Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học có ƣu 1.1.3 Những yêu cầu dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học 1.1.4 Kết luận 10 1.2 10 Phát bồi dƣỡng học sinh giỏi phổ thông 1.2.1 Mục tiêu việc bồi dƣỡng học sinh giỏi toán 10 1.2.2 Năng khiếu toán học 11 1.2.3 Phát triển tƣ sáng tạo toán học cho học sinh trƣờng phổ thông 12 1.3 Xác định đề tài nghiên cứu định hƣớng nghiên cứu 13 1.4 Các bƣớc trình nghiên cứu 13 Chƣơng HƢỚNG DẪN HỌC SINH TỰ NGHIÊN CỨU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 15 VÀ CỰC TRỊ 2.1 Các bất đẳng thức đại số 15 2.1.1 Bất đẳng thức AM-GM 15 2.1.2 Bất đẳng thức BCS 18 2.1.3 Bất đẳng thức Jensen 23 2.1.4 Bất đẳng thức Chebyshev 26 2.2 Các đẳng thức, bất đẳng thức tam giác 28 2.2.1 Đẳng thức 28 2.2.2 Bất đẳng thức 30 2.3 31 Một số định lý khác 2.3.1 Định lý Lagrange 31 2.3.2 Định lý dấu tam thức bậc hai 34 2.3.3 Định lý hàm tuyến tính 36 2.4 Ứng dụng quan hệ đƣờng thẳng với đƣờng conic vào tốn tìm 38 cực trị biểu thức đại số 2.5 Phƣơng pháp xây dựng bất đẳng thức 43 2.5.1 Phƣơng pháp xây dựng bất đẳng thức dạng phân thức 43 2.5.2 Đƣa thêm tham số 44 2.5.3 Đổi biến số 47 2.5.4 Ƣớc lƣợng biểu thức đối xứng 49 2.6 Dạng hệ bất đẳng thức Bunhiacopxki áp dụng 51 2.7 Đẳng thức, Bất đẳng thức xây dựng từ toán tam giác 58 2.7.1 Một số kết 59 2.7.2 Xây dựng toán phƣơng pháp giải 61 2.8 68 Một số phƣơng pháp đặt ẩn phụ chứng minh bất đẳng thức Chƣơng THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 82 3.1 82 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm 3.1.1 Mục đích thực nghiệm 82 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 82 3.1.3 Tổ chức thực nghiệm 82 3.2 86 Một số kết nghiên cứu học sinh 3.2.1 Tam giác 86 3.2.2 Tam giác cân 87 3.2.3 Tam giác vuông 88 3.2.4 Sử dụng bƣớc đầu sở 88 3.2.5 Đƣa vectơ tích vơ hƣớng 93 3.2.6 Kết hợp bất đẳng thức cổ điển 95 3.2.7 Tận dụng tính đơn điệu hàm số 101 3.3 103 Một số nhận xét sau thực nghiệm Kết luận 106 Tài liệu tham khảo MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong trình hình thành phát triển tƣ học sinh Tốn học có vai trị đặc biệt quan trọng Ngƣời giáo viên cần rèn luyện cho học sinh thấy đƣợc nhiều hình thức diễn tả nội dung Toán học đồng thời phải rèn luyện cho học sinh biết lựa chọn hình thức phù hợp thể nội dung Bất đẳng thức cực trị có vị trí đặc biệt tốn học, khơng nhƣ đối tƣợng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị nhƣ cơng cụ đắc lực mơ hình tốn học liên tục nhƣ mơ hình tốn học rời rạc lý thuyết phƣơng trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, Trong chƣơng trình tốn phổ thơng, Bất đẳng thức cực trị nội dung hay thƣờng xuất kì thi đại học, học sinh giỏi cấp, Olympic Toán, Đây nội dung quan trọng nhằm rèn luyện trí tuệ cho học sinh Nhìn bất đẳng thức dƣới nhiều phƣơng diện khác giúp học sinh linh hoạt lựa chọn hình thức thể nội dung Điều kích thích tƣ sáng tạo cho em Tuy nhiên, bất đẳng thức cực trị nội dung khó, khơng đổi phƣơng pháp dạy học dẫn đến tình trạng truyền thụ chiều Định hƣớng đổi phƣơng pháp dạy học tích cực hóa việc học ngƣời học Để giải mâu thuẫn ngƣời thầy cần tăng cƣờng giao lƣu thầy trò q trình dạy học Có nhƣ vừa tích cực hóa đƣợc việc học ngƣời học vừa rèn luyện đƣợc tính linh hoạt nhìn nhận vấn đề theo nhiều phƣơng diện khác cho học sinh Để đáp ứng nhu cầu phát triển lực tƣ duy, lực nghiên cứu, sáng tạo cho học sinh từ bƣớc chân vào cấp ba, chọn đề tài “Phát triển kỹ nghiên cứu khoa học cho học sinh khiếu toán bậc trung học phổ thông bất đẳng thức tốn cực trị” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu: Nâng cao kỹ nghiên cứu khoa học cho học sinh thông qua dạy học phần bất đẳng thức toán cực trị Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu phƣơng pháp nhằm phát triển kỹ nghiên cứu khoa học cho học sinh - Xây dựng hệ thống modun kiến thức dạy học nội dung bất đẳng thức cực trị cho học sinh giỏi - Thực nghiệm sƣ phạm để kiểm nghiệm tính khả thi hiệu đề tài Nội dung nghiên cứu - Nghiên cứu phƣơng pháp dạy học nhằm phát triển kỹ nghiên cứu khoa học cho học sinh - Nghiên cứu bất đẳng thức cực trị - Nhìn nhận đẳng thức, bất đẳng thức theo nhiều phƣơng diện khác dựa vào mối liên hệ tƣơng ứng số với đại lƣợng hình học lƣợng giác - Sáng tạo bất đẳng thức cách nhìn bất đẳng thức có theo phƣơng diện - Đề xuất giải pháp sƣ phạm Phƣơng pháp nghiên cứu 4.1 Nghiên cứu lý luận Tìm hiểu, nghiên cứu vấn đề liên quan đến đề tài định hƣớng cho việc nghiên cứu; phân tích tổng hợp quan điểm dựa tài liệu tâm lý học, giáo dục học, phƣơng pháp dạy học mơn tốn tài liệu bất đẳng thức cực trị 4.2 Thực nghiệm sƣ phạm Đối tƣợng thực nghiệm: học sinh lớp 12A1, 12A5 trƣờng THPT Ngô Quyền Xử lý kết số phƣơng pháp thống kê toán học Cấu trúc luận văn Chƣơng CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học – lựa chọn cho giáo dục đại 1.1.1 Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học 1.1.2 Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học có ƣu 1.1.3 Những yêu cầu dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học 1.1.4 Kết luận 1.2 Phát bồi dƣỡng học sinh giỏi phổ thông 1.2.1 Mục tiêu việc bồi dƣỡng học sinh giỏi toán 1.2.2 Năng khiếu toán học 1.2.3 Phát triển tƣ sáng tạo toán học cho học sinh trƣờng phổ thông 1.3 Xác định đề tài nghiên cứu định hƣớng nghiên cứu 1.4 Các bƣớc trình nghiên cứu Chƣơng HƢỚNG DẪN HỌC SINH TỰ NGHIÊN CỨU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 2.1 Các bất đẳng thức đại số 2.1.1 Bất đẳng thức AM-GM 2.1.2 Bất đẳng thức BCS 2.1.3 Bất đẳng thức Jensen 2.1.4 Bất đẳng thức Chebyshev 2.2 Các đẳng thức, bất đẳng thức tam giác 2.2.1 Đẳng thức 2.2.2 Bất đẳng thức 2.3 Một số định lý khác 2.3.1 Định lý Lagrange 2.3.2 Định lý dấu tam thức bậc hai 2.3.3 Định lý hàm tuyến tính 2.5 Ứng dụng quan hệ đƣờng thẳng với đƣờng conic vào toán tìm cực trị biểu thức đại số 2.5 Phƣơng pháp xây dựng bất đẳng thức 2.5.1 Phƣơng pháp xây dựng bất đẳng thức dạng phân thức 2.5.2 Đƣa thêm tham số 2.5.3 Đổi biến số 2.5.4 Ƣớc lƣợng biểu thức đối xứng 2.6 Dạng hệ bất đẳng thức Bunhiacopxki áp dụng 2.7 Đẳng thức, Bất đẳng thức xây dựng từ toán tam giác 2.7.1 Một số kết 2.7.2 Xây dựng toán phƣơng pháp giải 2.8 Một số phƣơng pháp đặt ẩn phụ chứng minh bất đẳng thức Chƣơng THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm 3.1.1 Mục đích thực nghiệm 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 3.1.3 Tổ chức thực nghiệm 3.2 Một số kết nghiên cứu học sinh 3.2.1 Tam giác 3.2.2 Tam giác cân 3.2.3 Tam giác vuông 3.2.4 Sử dụng bƣớc đầu sở 3.2.5 Đƣa vectơ tích vơ hƣớng 3.2.6 Kết hợp bất đẳng thức cổ điển 3.2.7 Tận dụng tính đơn điệu hàm số 3.3 Một số nhận xét sau thực nghiệm Kết luận Tài liệu tham khảo Chƣơng CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học - lựa chọn cho giáo dục đại học đại 1.1.1 Dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học Bản chất dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học tổ chức trình ngƣời học lĩnh hội nội dung dạy học theo logic nghiên cứu khoa học Trình tự logic nghiên cứu khoa học đƣợc mơ hình hóa qua Tổng hợp kết quả/ kết luận/ khuyến nghị Phân tích bàn luận kết xử lý thông tin Luận thực tiễn (quan sát, thực nghiệm) Luận lý thuyết (xây dựng sở lý luận) Lập phƣơng án thu thập thơng tin (luận chứng) Đặt giả thuyết (tìm câu trả lời sơ bộ) Phát vấn đề (đặt câu hỏi nghiên cứu) giai đoạn nhƣ sau: Áp dụng mơ hình vào việc dạy học với tƣ cách phƣơng pháp dạy học nói đến trật tự tƣơng tự thiết kế môn học vấn đề nội dung môn học Việc nghiên cứu môn học hay học việc ngƣời dạy với ngƣời học phát hiện/đặt vấn đề cần giải (vấn đề lý luận hay thực tiễn) khuôn khổ môn học liên môn Giai đoạn giải vấn đề đặt thông qua Vậy : Rr  S S sin A sin B sin C   2 sin A sin B sin C 2 sin A sin B sin C sin A  sin B  sin C Theo AM - GM ta có : Rr S S sin A sin B sin C  sin A sin B sin C sin A  sin B  sin C  mà : sin A  sin B  sin C  sin A sin B sin C   Rr 3 4S S 4 27 3 3 3  S  đpcm 3.2.5 Đƣa vector tích vơ hƣớng: Ví dụ 3.2.5.1 CMR tam giác ta có : cos A  cos B  cos C  Lời giải : Lấy vector đơn vị e1 , e2 , e3 lần lƣợt cạnh AB, BC , CA Hiển nhiên ta có : e  e A  0   cos e , e   cos e , e   cos e , e    e3 e 2   2cos A  cos B  cos C    cos A  cos B  cos C  e B  đpcm Ví dụ 3.2.5.2 Cho ABC nhọn CMR : 95 e C cos A  cos B  cos 2C   Lời giải : Gọi O, G lần lƣợt tâm đƣờng tròn ngoại tiếp trọng tâm ABC A Ta có : OA  OB  OC  3OG Hiển nhiên : OA  OB  OC    3R  R cos OA, OB  cos OB, OC   cos OC, OA  2 O B C  3R  R cos 2C  cos A  cos B    cos A  cos B  cos 2C    đpcm Đẳng thức xảy  OA  OB  OC   OG   O  G  ABC Ví dụ 3.2.5.3 Cho ABC nhọn CMR x, y, z  R ta có : yz cos A  zx cos B  xy cos 2C    x  y2  z2  A Lời giải : Gọi O tâm đƣờng trịn ngoại tiếp ABC O Ta có : xOA  yOB  zOC  B 0  x  y  z  xy OA.OB  yz OB.OC  zxOC.OA   x  y  z  xy cos 2C  yz cos A  zx cos B   yz cos A  zx cos B  xy cos 2C   x  y  z 2   đpcm 96  C 3.2.6 Kết hợp bất đẳng thức cổ điển : Ví dụ 3.2.6.1 CMR ABC ta có : A B C  A B C   sin  sin  sin  cot  cot  cot   2  2 2  Lời giải : Theo AM - GM ta có : sin A B C  sin  sin 2  sin A sin B sin C 2 Mặt khác : A B C cos cos A B C A B C 2 cot  cot  cot  cot cot cot  A B C 2 2 2 sin sin sin 2 cos sin A  sin B  sin C  sin A cos A  sin B cos B  sin C cos C 2 2 2   A B C A B C sin sin sin sin sin sin 2 2 2 A A B B C C sin cos sin cos sin cos 2 2 2   A B C sin sin sin 2 Suy : A B C  A B C   sin  sin  sin  cot  cot  cot   2  2 2  A B C A A B B C C sin sin sin cos sin cos sin cos 2 2 2 2   A B C sin sin sin 2 A B C 1  cot cot cot 2 2 sin A B mà ta có : cot cot cot C 3 97  2 A B C 9  cot cot cot   3  2 2 2 Từ 1 2 : A B C  A B C    sin  sin  sin  cot  cot  cot   2  2 2   đpcm Ví dụ 3.2.6.2 Cho ABC nhọn CMR : cos A  cos B  cos C tan A  tan B  tan C   Lời giải : Vì ABC nhọn nên cos A, cos B, cos C, tan A, tan B, tan C dƣơng Theo AM - GM ta có : cos A  cos B  cos C  cos A cos B cos C tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C  sin A sin B sin C cos A cos B cos C sin A  sin B  sin 2C  sin A cos A  sin B cos B  sin C cos C   cos A cos B cos C cos A cos B cos C 3 sin A cos A sin B cos B sin C cos C   2 cos A cos B cos C Suy : cos A  cos B  cos C tan A  tan B  tan C     cos A cos B cos C sin A cos A sin B cos B sin C cos C cos A cos B cos C 93 tan A tan B tan C Mặt khác : tan A tan B tan C  3  9  tan A tan B tan C   3  2 Từ 1 2 suy : 98 2 1 cos A  cos B  cos C tan A  tan B  tan C    đpcm Ví dụ 3.2.6.3 Cho ABC tùy ý CMR :           A B  tan     tan     tan C  A B C 2  tan   tan   tan  2  2   Lời giải :  Xét f x   tan x x   ;   2 Khi : f ' ' x   A B Theo Jensen : tan  tan  tan C  1  Xét g x   cot x x   ;   2  Và g ' ' x   21  cot x cot x  x   ;   Theo Jensen : cot 2 A B C  cot  cot  3 2 2 Vậy 1  2 đpcm Ví dụ 3.2.6.4 CMR tam giác ta có :        1  1  1    1  3  sin A  sin B  sin C   Lời giải : Ta sử dụng bổ đề sau : 99   4    Bổ đề : Cho x, y, z  x  y  z  S : 2      1  1  1    1   x  y  z  S  1 Chứng minh bổ đề : Ta có : 1 1  1 1 VT 1              x y z   xy yz zx  xyz 2 Theo AM - GM ta có : 3 1 9     x y z x yz S Dấu xảy 3  x  y  z  S Tiếp tục theo AM - GM : S  x  y  z  33 xyz  S3 27  xyz   27 xyz S Dấu 4 xảy  x  y  z  4 S Vẫn theo AM - GM ta lại có : 1    33 xy yz zx      xyz  Dấu 5 xảy  x  y  z  5 S Từ 45 suy : 1 27    xy yz zx S 6 Dấu 6 xảy  45  x  y  z  S Từ 2346 ta có : 100 đồng thời có dấu VT 1   27 27  3    1   S S S  S Bổ đề đƣợc chứng minh Dấu xảy  đồng thời có dấu 346 x yz S áp dụng với x  sin A  , y  sin B  , z  sin C  mà ta có sin A  sin B  sin C  3 3 S  2 Theo bổ đề suy :        1  1  1    1  3  sin A  sin B  sin C   Dấu xảy  sin A  sin B  sin C  3  ABC Ví dụ 3.2.6.5 CMR tam giác ta có : l a  lb  l c  p Lời giải : Ta có : la  A  2bc bc bc 2bc cos Theo AM - GM ta có p p  a  bc  bc bc bc  nên từ 1 suy : bc la  p p  a  2 Dấu 2 xảy  b  c Hoàn tồn tƣơng tự ta có : lb  lc  p p  a  p p  b  3 p p  c  4 101 1 Dấu 34 tƣơng ứng xảy abc Từ 234 suy : l a  lb  l c  p  p a  p b  p c 5 xảy Dấu  đồng  5 thời có dấu 234  a  b  c áp dụng BCS ta có :   pa  p b  pa  pc p b    33 p  a  b  c  p  c  3p 6 Dấu 6 xảy  a  b  c Từ 56 ta có : l a  lb  lc  p 7 Đẳng thức 7  xảy  đồng thời có dấu 56  a  b  c  ABC Ví dụ 3.2.6.6 Cho ABC CMR : a3  b3  c3 2r  4 abc R Lời giải : Ta có :   S abc  pr  4R p p  a  p  b  p  c  2r 8S p p  a  p  b  p  c  2 p  2a 2 p  2b 2 p  2c     R pabc pabc abc b  c  a c  a  b a  b  c   a b  ab  b c  bc  c a  ca  a  b  c  2abc abc abc 3 2r a  b  c a b b c c a a b c  4  6        R abc abc b a c b a c  đpcm 102 3.2.7 Tận dụng tính đơn điệu hàm số: Ví dụ 3.2.7.1 CMR : sin x   với x   ;  2x   2 Lời giải : f x   Xét sin x    với x   ;  x   2  f ' x   x cos x  sin x x2   g x   x cos x  sin x với x   ;   2 Xét    g ' x    x sin x  x   ;   g x  nghịch biến khoảng  2    g x   g 0   f ' x    f x   f     đpcm 2 Ví dụ 3.2.7.2  với  ;  CMR :  sin x     cos x  x   2 Lời giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tƣơng đƣơng với : sin x  cos 3 x  sin xcos   f x   sin xcos x   Xét Ta có : x x0  với x   ;   2  f ' x   cos x   sin xcos x   f ' ' x   cos x  1  sin x   sin xcos x   x   ;    2  f ' x  đồng biến khoảng  f ' x   f ' 0   f x  đồng biến khoảng  f x   f 0   đpcm 103 Ví dụ 3.2.7.3 CMR với ABC ta có : 2R  a 2R  b2R  c   8R e 3 Lời giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tƣơng đƣơng với : 2R  a 2R  b 2R  c   e 2R 2R R 3 a  b  c    1  1  1  e  R  R  R  3  1  sin A1  sin B 1  sin C   e 3 Xét f x  ln 1  x  x với  x   f ' x   x 1    x  0 ;1 1 x 1 x  f x  nghịch biến khoảng  f x   f 0   ln 1  x   x Lần lƣợt thay x  sin A, sin B, sin C vào bất đẳng thức cộng lại ta đƣợc : ln 1  sin A  ln 1  sin B   ln 1  sin C   sin A  sin B  sin C  ln1  sin A1  sin B 1  sin C   sin A  sin B  sin C  1  sin A1  sin B 1  sin C   e sin Asin B sin C 3  1  sin A1  sin B 1  sin C   e mà sin A  sin B  sin C  Ví dụ 3.2.7.4 CMR :  sin 20  20 Lời giải : Đặt a  sin 20   a  sin 30   a  Ta có : 104 3  đpcm ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TẠ XUÂN HÒA PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CHO HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ... bậc trung học phổ thơng bất đẳng thức toán cực trị? ?? Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu: Nâng cao kỹ nghiên cứu khoa học cho học sinh thông qua dạy học phần bất đẳng thức toán cực trị. .. đề tài Nội dung nghiên cứu - Nghiên cứu phƣơng pháp dạy học nhằm phát triển kỹ nghiên cứu khoa học cho học sinh - Nghiên cứu bất đẳng thức cực trị - Nhìn nhận đẳng thức, bất đẳng thức theo nhiều