Hình học sơ cấp - Phương tích pot

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN - LỚP TOÁN 4B HÌNH H C SỌ Ơ C PẤ PHƯƠNG TÍCH GVHD: Lê Ngô Hữu Lạc Thiện Danh sách nhóm – Toán 4B 1. Nguyễn Ngọc Quý 2. Nguyễn Thị Mỵ ( ) . M O MA MB=P 3. Lâm Thị Thu Thảo 4. Tôn Nữ Thanh Trúc 5. Nguyễn Phước Thanh TP.HCM, ngày 10 tháng 10 năm 2012 BÀI 4 PHƯƠNG TÍCH I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT PHƯƠNG TÍCH 1. Định lý phương tích: ( ) 2 2 / . M O MA MB MO MR = − P = Nếu MP là tiếp tuyến tại P của đường tròn (O,R) là: ( ) 2 /M O MPP = 2. Định lý đảo: a. Nếu tứ giác ABCD có DAB C M = I thoả mãn . .MA MB MC MD = thì tứ giác ABCD nội tiếp. b. Một tam giác ABCV có M thuộc BC thoả mãn 2 .MA MB MC = thì MA là tiếp tuyến của đường tròn (ABC). 3. Định lý trục đẳng phương: • Trục đẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm. • Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) có trục đẳng phương ∆. M là một điểm có hình chiếu lên trục ∆ là N. Thì ta có: ( ) ( ) / ; / '; ' 2 '. M O R M O R OO NMP -P = . 4. Đường tròn trực giao: Điều kiện trực giao: điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao (O;R) và (O’;R’) là: (Các mệnh đề sau là tương đương) a. 2 2 2 ' 'OO R R = + b. ( ) 2 / 'O O RP = . c. Đường kính của đường tròn này bị đường tròn kia chia điều hoà. II. BÀI TẬP PHƯƠNG TÍCH Bài 1: Cho đường tròn ( ; )O R có đường kính BC thay đổi. A là điểm ở ngoài đường tròn. a) Chứng minh ( )ABC đi qua một điểm cố định khác A. Suy ra tâm đường tròn ( )ABC thuộc một đường thẳng cố định. b) Tiếp tuyến tại A của ( )ABC cắt BC tại T. Chứng minh T thuộc một đường thẳng cố đñịnh. Bài giải: a) Gọi ( ) D AO ABC = I . (cần chứng minh D cố định). Ta có: 2 /( ) /( ) ( ) . . O ABC O O D ABC OAOD OB OC R ∈ ⇒ = = = = − P P Suy ra: 2 R OD OA − = Do R const = và O, A cố định nên D cố định. • Suy ra, IA=ID do đó I thuộc trung trực AD cố định. Vậy tâm đường tròn ( )ABC nằm trên đường thẳng cố định là trung trực của AD . b) Gọi M trung điểm của AO, nên M cố định. H là chân đường cao TH trong tam giác AOT. Ta có: /( ) /( ) 2 2 2 2 2 2 2 . P P T ABC T O TA TO TB TC TO TO R TO R − = − = − − = − Theo hệ thức lượng trong tam giác ta có: 2 2 2 2 2 . 2 R AD MH TA TO R MH AD − = − = − ⇒ = Suy ra H là điểm cố định, nên TH là cố định. Vậy T nằm trên đường thẳng cố định vuông góc với AD tại H. Bài 2: Cho tam giác ABC có trực tâm H . Chứng minh rằng các đường tròn đường kính AH và BC trực giao nhau. Bài giải: Gọi M,N lần lượt là chân đường cao hạ từ B, A xuống cạnh AC, BC của ABC ∆ Gọi E,F lần lượt là giao điểm của (BC) và đường cao AH Ta có: EF BC NE=NF ⊥ ⇒ (đường kính vuông góc với dây cung). Do đ ó: » » BE BF = . · · ( ) ( ) ( ) , , , là chùm phân giác Mà , , , 1 1 EMB FMB MA MH ME MF HM AC MA MH ME MF AHEF  ⇒ =  ⇒  ⊥   ⇒ =− ⇒ =− Vậy hai đường tròn (AH) và (BC) trực giao nhau. Bài 3: Một cát tuyến thay đổi song song đáy BC của tam giác ABC cắt AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng minh trục đẳng phương của đường tròn đường kính BE và CD là đường cao từ A của tam giác ABC . Bài giải: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Kẻ ' ' BH AC B CH AB C = = I I Ta có: /( ) . ' H BE P HB HB = ( vì ' ( )B AC ∈ ) /( ) . ' H CD P HC HC = ( vì ' ( )C AB ∈ ) Mà: . ' . 'HB HB HC HC = (vì ' 'BCB C nội tiếp). Suy ra /( ) /( D)H BE H C P P = Vì vậy H thuộc trục đẳng phương của (BE) và (CD) Lại có: /( ) /( ) . ' . ' A BE A CD P AE AB P AD AC = = Ta có: /( ) '. '. A BC P AC AB AB AC = = suy ra: '. . '. . AB AC AC AD AB AE AD AE = ( ) à : vì DE//BC AB AC m AD AE = Nên /( ) /( ) '. '. A BE A CD AC AD AB AE P P = ⇒ = A ⇒ thuộc trục đẳng phương của ( )BE và ( )CD Vậy AH là trục đẳng phương của (BE) và (CD). (đpcm) Cách khác: Gọi ' ( ), ' ( )C AB CD B AC BE = ∩ = ∩ Khi đó 'CC AB ⊥ và 'BB AC ⊥ Suy ra H là trực tâm của ABCV ( với ' 'H BB CC = ∩ ) Ta có: /( ) . ' H BE P HB HB = '.HC HC = (vì BC’B’C nội tiếp) /( )H CD P = (1) Mặt khác / /DE BC nên AD AE AB AC = Suy ra: . .AD AC AE AB = Mà : '. '.AB AC AC AB = ( do BC’B’C nội tiếp) Nên : ' ' AD AE AB AC = Hay : . ' . 'AD AC AE AB = /( ) /( )A CD A BE P P ⇒ = (2) Từ (1), (2) suy ra A, H thuộc trục đẳng phương của (BE) và (C D) Mà AH cũng là đường cao (Hlà trưc tâm của ABCV ) Nên ta có đpcm. Bài 4: Cho tứ giác ABCD . AC cắt BD tại O . Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của ,AB CD . Gọi ,H K lần lượt là trực tâm của tam giác OAD và OBC . Chứng minh rằng IJ vuông góc HK Bài giải: [...]... đẳng phương của (CD) và (AB) Ta có : PK /( BC ) = KC.KQ = KP.KB ( 2) (vì BQPC nội tiếp) mà: PK / ( CD ) = KC.KQ; PK / ( AB ) = KP.KB (a) PK / ( CD ) = PK / ( AB ) Do (2) nên ⇒K thuộc trục đẳng phương của ( AB ) và ( CD ) (b) Từ (a) và (b) ⇒ H,K thuộc trục đẳng phương ( AB ) và ( CD ) ⇒ HK ⊥ IJ Bài 5: Cho M, N, P là các điểm thay đổi lần lượt trên BC, CA, AB của ∆ ABC Chứng minh các trục đẳng phương. .. H thuộc trục đẳng phương của (BN) và (CM) (a) Tương tự , ta chứng minh được K thuộc trục đẳng phương của (BN) và (CM) (b) Ta có: PP/(BN) = ⇒ PB.PN PC.PM = =PP/(CM) P thuộc trục đẳng phương của (BN) và (CM) Từ (1), (2) v à (3) suy ra P, H, K thẳng hàng (c) Bài 8: Gọi R,r,O,I lần lượt là bán kính & tâm của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của một tam giác Chứng minh rằng : OI2=R2 - 2 Rr Bài giải: Cho... ) BC là trục đẳng phương của (O) và (J;JB) ⇒ Ρ I / ( O ) − Ρ I / ( J ; JB ) = 2.OJ.II ' ⇒ OI 2 − R 2 = 2Rr (đpcm) Cách khác: Kéo dài BI cắt (O) tại M Kẻ đường kính MK của (O) đ ươờng tròn (I) tiêp xúc với BC tại D Ta có △BDI ~△KCM (g.g) BI ID ID = = KM MC MI ⇒ IB.IM = I D.KM = 2 Rr ⇒ mà: IB.IM=R 2 -OI 2 Vậy OI 2 =R 2 -2 Rr ( Đpcm) Bài 9: Trên các cạnh của tam giác nhọn ABC dựng các hình vng ABDE và ACFG... BB2 ┴ A2C2 , CC2 ┴A2B2 Tứ giác BC2B2C nội tiêp nên A1C2 A1B2 = A1B.A1C Tương tự: B1C2 B1 A2 = B1 A.B1C, C1 B2 C1 A2 = C1 A.C1B Suy ra A1,B1,C1 cùng nằm trên trục đẳng phương của 2 đường tròn (ABC) và (A2B2C2) Mà (O) là đường tròn Ơ-le của tam giác A2B2C2 AA2,BB2,CC2 giao nhau tại trực tâm I của tam giác A2B2C2 (cũng đơng thời là tâm đường tròn nội tiêp tam giác ABC) suy ra I,O,J thẳng hàng Vậy đường... là một điểm trên EF và khơng thuộc AB CP cắt (O) tại điểm thứ hai M; BP cắt (O’) tại điểm thứ hai N Chứng minh rằng AM, DN và EF đồng quy Bài giải: Gọi { H } = AM ∩ DN (1) Theo đề ta có EF là trục đẳng phương của (O) và (O’) Ta có: ⇒ P ∈ EF ⇒ PM PC = PN PB Tứ giác BCNM nội tiếp · ·  ⇒ BCM = BNM   0 · · · · BCM + DAM = 90  ⇒ BNM + DAM = 900  Vậy: · · · · · DAM + DNM = DAM + DNB + BNM = 900 + 900... đó: nội tiếp MH MC = MB.MK P Ta có: Lại có: = MK MB  M /( AB )  K ∈ ( AB )  ⇒   PM /( AC ) = MH MC  H ∈ ( AC )   ⇒ PM / ( AB ) = PM / ( AC ) PA/ ( AB ) = PA /( AC ) = 0 Suy ra AM là trục đẳng phương của hai đường tròn Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và AC ⇒ AM ⊥ IJ   ⇒ AM ⊥ BC IJ P BC  (đpcm) ( AB ) , ( AC ) Bài 10: Cho tam giác ABC Cho D và E là hai điểm lần lượt thuộc hai cạnh AB... minh: PH / ( I ) = PH / ( J ) ⇒ HG.HD = HE.HF H và K Ta có: HG HF = KC KB HD HE = KB KC ( FG P BC ) ( DE PBC ) HG.HD HF HE = KC.KB KB.KC ⇒ HG.HD = HF HE ⇒ ⇒ PH / ( I ) = PH / ( J ) Suy ra PH là trục đẳng phương của hai đường tròn ( I ) ,( J ) ⇒ PH ⊥ IJ ⇒ AP ⊥ IJ ( A ∈ PH ) Cách khác: Gọi M là giao điểm thứ hai của AB và (PDG), N là giao thứ hai của AC và (PFG) Ta có: (MP,M D) = (GP,G D) ( vì MPGD nội tiếp)... (CP,CB) suy ra, BMPC nội tiếp Chứng minh tương tự, PNCB nội tiếp Suy ra BMNC nội tiếp PA/( BMNC ) = AM AB = AN AC suy ra AC AE = AB AD Mà AM AD = AN AE (Do DE//BC) Suy ra Do đó A thuộc trục đẳng phương PQ của (PDG) và (PEF) suy ra AQ ⊥ OI III BÀI TẬP BỔ SUNG Bài 1: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định Một đường thẳng quay quanh A, cắt (O) tại M và N Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại... tròn (K; KH) cắt (O) tại C và D Chứng minh rằng CD ln đi qua một điểm cố định Giải Gọi I là điểm đối xứng của H qua B, suy ra I cố định và thuộc (K) Gọi M là giao điểm của CD và AB Vì CD là trục đẳng phương của (O) và (K) nên ta có: MH MI = MC.MD = MA.MB Suy ra: MH MI = MA.MB ( ) ( MB + BI ) = MB.( MB + BA) ⇔ ( MB + BH ) ( MB − BH ) = MB ( MB + BA) ( vì B là trung điểm của HI) ⇔ MB + BH 2 2 2 ⇔ MB... tiếp nên: OF.OC = OE.OB ⇒ P O • ( CP ) =P O ( BN ) ( 1) Tứ giác ABDE nội tiếp nên: OE.OB = OD.OA ⇒ P O ( BN ) P Từ (1), (2) suy ra: O ( BN ) =P =P O ( AM ) O ( AM ) ( 2) =P O ( CP ) Suy ra các trục đẳng phương của (AM), (BN), (CD) từng đơi một đồng quy tại điểm O cố định Bài 6: Cho bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự nằm trên một đường thẳng Gọi E, F là giao điểm của (O) và (O’) có đường kính lần lượt là . Thanh TP.HCM, ngày 10 tháng 10 năm 2012 BÀI 4 PHƯƠNG TÍCH I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT PHƯƠNG TÍCH 1. Định lý phương tích: ( ) 2 2 / . M O MA MB MO MR = − P = Nếu. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN - LỚP TOÁN 4B HÌNH H C SỌ Ơ C PẤ PHƯƠNG TÍCH GVHD: Lê Ngô Hữu Lạc Thiện Danh sách