M =a ab ab a: a2 2b 22 a ba b ab
3/ Chú ý: a/ sin2α + cos2α =
BÀI TỐN DỰNG HÌNH
• Nĩi đến dựng hình phải nhớ là dựng bằng thước và compa.
• Ta đã học những phép dựng hình cơ bản sau:
Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trước.
Dựng một gĩc bằng một gĩc cho trước.
Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước ,dựng trung điểm của một đoạn thẳng cho trước.
Dựng tia phân giác của một gĩc cho trước .
Qua một điểm cho trước ,dựng một đường thẳng vuơng gĩc với một đường thẳng cho trước .
Qua một điểm nằm ngồi đường thẳng cho trước ,dựng đường thẳng song song với đường thẳng ấy .
Ta đã vận dụng các phép dựng hình cơ bản để dựng tam giác biết ba cạnh ,hoặc biết hai cạnh và gĩc xen giữa,hoặc biết một cạnh và gĩc kề.
Trong các bài tốn dựng hình phức tạp hơn,ta phải tuân thủ các bước của phương pháp dựng hình như sau:
− Bước 1:Phân tích hình.
− Bước 2: Dựng hình.
− Bước 3:Chứng minh cách dựng trên thoả mãn yêu cầu của đề tốn.
− Bước 4:Biện luận: Xem lại từng phép dựng đã thực hiện để xem cĩ điều kiện ràng buộc khơng.Từ đĩ suy ra bài tốn cĩ mấy nghiệm hình.
Thí dụ 1:Dựng tam giác ABC ,biết cạnh BC = a ,trung tuyến AM = m (a và m là những độ dài cho trước ) và gĩc α giữa AM và đường cao AH.
1. Phân tích:Giả sử bài tốn đã giải xong,và ta đã dựng được tam giác ABC thoả mãn yêu cầu của đề tốn .Phân tích hình đĩ theo hướng phát hiện một bộ phận của hình hội đủ các điều kiện để dựng được một cách chính xác.Đĩ là tam giác vuơng AHM cĩ cạnh huyền AM = m,và HAM· = α cho trước.Tam giác đĩ hồn tồn xác
định nên dựng được. Sau khi dựng xong tam giác vuơng AHM ,ta hồn tất hình phải dựng chẳng khĩ khăn gì.Vậy ta cĩ cách dựng như sau :
2. Cách dựng:
− Dựng đoạn thẳng AM cĩ độ dài m cho trước (phép dựng cơ bản a).
− Dựng MAx· = α cho trước (phép dựng cơ bản b). − Từ M kẻ MH ⊥Ax tại H (phép dựng cơ bản e).
Bây giờ chỉ cịn dựng hai đỉnh B,C .Cạnh BC nằm trên đường thẳng MH,nên trên đường thẳng MH ,ta lấy ở hai phía khác nhau đối với điểm M hai điểmB,C sao cho MB = MC =
2
a
(phép dựng cơ bản c và a).
3. Chứng minh: Rõ ràng tam giác trên đây thoả mãn đầy đủ các yêu cầu của đề tốn :cĩ cạnh BC = a cho trước , trung tuyến AM = m cho trước , MAH· = α cho
trước .
4. Biện luận :Lần lại từng khâu dựng hình , khâu nào cũng được thực hiện khơng cĩ gì trở ngại.Duy chỉ cĩ gĩc α cho trước và yêu cầu đề ra là MAH· của tam giác vuơng AMH phải bằng α ,thì rõ ràng α phải là gĩc nhọn .Vậy với điều kiện này
thì bài tốn bao giờ cũng giải được và cĩ một nghiệm hình .
Thí dụ 2 :Dựng một tam giác ABC với trung tuyến AM cĩ độ dài bằng một đoạn thẳng m cho trước ,và các gĩc MAB và MAC lần lượt bằng những gĩc α
và β cho trước.
1. Phân tích :
− Giảsử bài tốn đã giải xong và ta đã dựng được tam giác ABC thoả mãn yêu cầu bài tốn .Hình vẽ trên cho thấy khơng cĩ một bộ phận nào của hình hội đủ điều kiện để dựng được.
− Thí dụ:Tam giác AMC chỉ cĩ hai yếu tố được biết là MAC· =β và AM =
m ,nên khơng thể dựng được.Đây là lúc nhớ lại được những bài tốn tương tự rất quí giá .
− Thí dụ ,nhớ bài :nếu kéo dài trung tuyến AM thêm một đoạn MD = AM ,thì hai tam giác AMB và DMC bằng nhau (c,g,c) nên µA1=µD
. Từ đĩ ,hình thành tam giác ACD với µA2= β, Dµ = µA1=α và AD = 2m. Tam giác đĩ hội đủ
điều kiện để dựng được .Sau khi dựng được tam giác này ,ta sẽ dựng được điểm B,chẳng gì khĩ khăn.
2. Cách dựng:
− Dựng đoạn thẳng AD = 2m.
− Dựng hai gĩc kề cạnh đĩ là ·DAC = β và ·ADC = α
,hai cạnh AC và DC giao nhau tại C.Sau đĩ ta vẽ trung tuyến CA của tam giác ACD và kéo dài thêm một đoạn MB =MC ,từ đĩ xác định đỉnh B của tam giác ABC cần dựng .
3. Chứng minh:Theo cách dựng này ,rõ ràng tam giác AMB và tam giác DMC bằng nhau(c,g,c).Từ đĩ AM =
2
AD
= m , µA1=Dµ = α , µA2= β.Cho nên ,tam giác ABC
dựng được thoả mãn đầy đủ các yêu cầu đề bài .
4. Biện luận :Trên đây ta nĩi hai cạnh AC và DC giao nhau tại C.Thực ra là chúng chỉ giao nhau nếu α + β < 2v .Do đĩ bài tốn luơn giải được và cĩ một nghiệm
hình.
Thí dụ 3: Cho một gĩc xOy và một điểm M ở bên trong gĩc ấy .Dựng một đoạn thẳng AB sao cho A∈Ox , B∈Oy và M là trung điểm của AB.
1. Phân tích :Giả sử bài tốn giải xong và ta đã dựng được đoạn thẳng AB thoả mãn yêu cầu của đề bài là A ∈Ox, B ∈Oy và M là trung điểm của AB.
Nếu kéo dài OM thêm đoạn MD = OM thì
∆AMO = ∆BMD(c,g,c) ⇒Oµ 1= Dµ .Từ đĩ , DB P Ox .Ngược lại, nếu từ D kẻ DB POx
(B ∈Oy ,rồi BM đến cắt Oxtại A thì ∆AMO =∆BMD (g,c,g) với M¶ 1= M¶ 2 (đối đỉnh) ,M¶ 1= Dµ (so le trong ,DB POx) và MD =OM (do dựng ),từ đĩ AM = MB.
2. Cách dựng :Kéo dài OM thêm đoạn MD= OM ,rồi từ D kẻ đường thẳng song với Ox ,cắt Oy tại B.Tiếp đến kẻ BM cho đến cắt Ox tại A thì M là trung điểm của
