Trong tự nhiờn dũng chảy thƣờng khụng ổn định, ở đú cỏc yếu tố thủy lực tại một mặt cắt thay đổi theo thời gian (chuyển động khụng dừng). Chuyển động khụng ổn định đƣợc chia thành hai loại: chuyển động khụng ổn định thay đổi gấp, và chuyển động khụng ổn định thay đổi chậm dần.
Phƣơng trỡnh cơ bản của dũng chảy là tập hợp hệ thống hai phƣơng trỡnh đạo hàm riờng phi tuyến cú cỏc hệ số biến đổi dạng Hyperbolic. Phƣơng phỏp số để giải loại phƣơng trỡnh này gặp một số trở ngại trong việc đặt cỏc điều kiện biờn.
Việc tớch phõn hệ phƣơng trỡnh này gặp nhiều khú khăn, chỉ cú thể tỡm đƣợc nghiệm trong một vài trƣờng hợp đặc biệt nhƣ kờnh cú tiết diẹn hỡnh chữ nhật, đỏy
nằm ngang và bỏ qua sức cản. Cỏc điều kiện này rất khỏc xa so với điều kiện thực tế.
Hiện nay, cỏc phƣơng phỏp số đƣợc sử dụng để tớnh gần đỳng cho dũng ổn định thay đổi chậm dần bao gồm : phƣơng phỏp giải tớch, phƣơng phỏp đƣờng đặc trƣng và phƣơng phỏp sai phõn hữu hạn.
Phƣơng phỏp tớch phõn toỏn học chặt chẽ đƣợc sử dụng để tỡm nghiệm giải tớch của hệ phƣơng trỡnh trờn. Theo phƣơng phỏp này, cần cú những giả thiết để đƣa hệ phƣơng trỡnh Saint-Vennnant về dạng đơn giản, rồi tớch phõn cỏc phƣơng trỡnh này với cỏc giả thiết là mặt cắt sụng hỡnh chữ nhật hay lăng trụ, độ dốc bằng khụng hoặc bằng hằng số, độ nhỏm cố định, bỏ qua sức cản...
Nhờ cỏc giả thiết trờn, cỏc phƣơng trỡnh vi phõn đạo hàm riờng phi tuyến đƣợc biến đổi thành phƣơng trỡnh vi phõn đạo hàm riờng tuyến tớnh. Để giải đƣợc cỏc bài toỏn dạng khụng ổn định.
Phƣơng phỏp sai phõn hữu hạn:
Phƣơng phỏp sai phõn là biến đổi từ hệ phƣơng trỡnh vi phõn đạo hàm riờng Saint-Vennant thành hệ phƣơng trỡnh đại số phi tuyến do tớnh chất phi tuyến của hệ phƣơng trỡnh Saint-Venannt. Sau đú thực hiện việc tuyến tớnh húa hệ phƣơng trỡnh đại số phi tuyến và giải hệ phƣơng trỡnh thu nhận đƣợc cỏc giỏ trị về cỏc yếu tố thủy lực cần biết trờn cỏc nỳt lƣới tớnh toỏn.
Phƣơng phỏp sai phõn để giải bài toỏn thủy động lực một chiều đó đƣợc cỏc tỏc giả nghiờn cứu, nhƣ J.A.Cung, C.Lai, V.Bellos, F.Ionescu...với cỏc phƣơng phỏp sai phõn theo cỏc sơ đồ khỏc nhau.
Cú hai phƣơng phỏp sai phõn : phƣơng phỏp sai phõn theo sơ đồ ẩn và phƣơng phỏp sai phõn theo sơ đồ hiện. Mỗi một phƣơng phỏp cú những mặt mạnh khỏc nhau.
Phƣơng phỏp sai phõn sơ đồ hiện :
Nếu sau phộp sai phõn hệ hai phƣơng trỡnh đại số với hai ẩn số và cú thể giải ngay đƣợc hai ẩn số đú hoặc giỏ trị của hàm ẩn tại cỏc nỳt lƣới đƣợc xỏc định một cỏch riờng lẽ khụng cần cỏc phƣơng trỡnh tại cỏc nỳt lƣới khỏc thỡ sơ đồ sai
phõn đƣợc gọi là sơ đồ hiện. Cỏc sơ đồ sai phõn : tam giỏc cõn ngƣợc, tam giỏc cõn thuận, sơ đồ hỡnh thoi trung tõm...ƣu điểm của sơ đồ hiện là sự đơn giản của việc tớnh toỏn và lập chƣơng trỡnh. Nhƣng lạ khụng cho chỳng ta tớnh toỏn với cỏc bƣớc thời gian lớn, vỡ để sơ đồ sai phõn ổn định giỏ trị bƣớc thời gian bị hạn chế bởi điều kiện CFL(Courant-Friedric-Levi) dẫn tới việc lựa chọn thời gian tớnh toỏn bộ khụng thớch hợp cho cỏc bài toỏn yờu cầu tớnh toỏn với cỏc chu kỳ dài.
Phƣơng phỏp sai phõn sơ đồ ẩn :
Trong trƣờng hợp sau khi sai phõn, số hàm ẩn lớn hơn hai thỡ phải ỏp dụng sai phõn cho một lớp cỏc điểm rời rạc. Cựng với cỏc điều kiện biờn sau khi tuyến tớnh húa ta đƣợc hệ phƣơng trỡnh đại số tuyến tớnh đúng kớn. Giải hệ phƣơng trỡnh đại số này ta cú nghiệm ở một loạt cỏc điểm mà chỳng ta cần tớnh toỏn. Với sơ đồ ẩn việc tớnh toỏn cỏc giỏ trị hàm ẩn tại một nỳt nào đú đũi hỏi phỏi giải đồng thời một hệ phƣơng trỡnh của tất cả cỏc nỳt ở cựng một thời điểm, cũn bƣớc thời gian đƣợc chọn theo quan điểm của độ chớnh xỏc chứ khụng phải theo tớnh ổn định. Cỏc sơ đồ ẩn trở nờn rất thuận tiện cho việc tớnh toỏn dũng chảy khụng ổn định trong mạng kờnh sụng cú lũng dẫn phức tạp, nhƣợc điểm là việc giải hệ phƣơng trỡnh tại mỗi bƣớc thời gian cần phải tớnh lặp, cú khối lƣợng tớnh toỏn lớn, đũi hỏi bộ nhớ và thời gian tớnh toỏn lớn hơn.