D. 𝑃⊥ 𝑎, 𝑎
B. OA//BC C OA⊥ O
C. OA⊥ OI
D. BC⊥ mp(OAI)
Câu 5. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a. I trọng tâm tam giác
BCD. Chọn kết luận đúng. A. BC⊥ mp(ADI) B. DI⊥ DB C. AI⊥ mp(ABC) D. AC⊥ mp(ABD) Bài tập về nhà
Bài 1. Giải bài 17(103)
Bài 2. Hãy dùng giản đồ ý phân chia và ghi lại những tính chất của hai loại
tứ diện trực tâm và tứ diện có ba mặt là những tam giác vuông tại một đỉnh. Tìm thêm hai tính chất của tứ diện trực tâm.
59
Giáo án số 3. BÀI TẬP HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I. Mục tiêu
a) Về kiến thức
- Nắm đƣợc khái niệm góc giữa hai mặt phẳng, đặc biệt khái niệm hai mặt phẳng vuông góc.
- Xác định đƣợc góc giữa hai mặt phẳng.
- Nắm đƣợc điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc. - Hiểu đƣợc định lý và hệ quả.
- Hình lăng trụ và tính chất.
- Hình chóp đều và hình chóp cụt đều - Biết vận dụng các ý trên vào giải Toán.
b) Về kĩ năng
- Áp dụng đƣợc dấu hiệu hai mặt phẳng vuông góc vào giải Toán.
- Phân biệt đƣợc các loại hình lăng trụ, nêu đƣợc một số tính chất đơn giản.
- Đƣa ra đƣợc cách chứng minh một hình lăng trụ là lăng trụ đứng, cách chứng minh một hình chóp là hình chóp đều.
- Đƣa ra đƣợc cách chứng minh một hình chóp cụt là hình chóp cụt đều.
c) Về thái độ
- Liên hệ đƣợc với thực tế.
- Tự tin, có tinh thần hứng thú trong học tập.
- Phát huy khả năng cá nhân, các ý kiến riêng xây dựng bài.
II. Tiến trình bài dạy
1. Kiểm tra bài cũ
Giáo viên đƣa ra những câu hỏi:
- Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng? cách xác định góc giữa hai mặt phẳng?
60
- Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc? Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng vuông góc?
- Khái niệm về các hình lăng trụ, hình chóp đều.
2. Nội dung
Đặt vấn đề
Qua hai bài trƣớc ta đã biết cách chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc, chứng minh đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng. Vậy kiến thức của hai bài trƣớc giúp ích gì cho việc tính góc giữa hai mặt phẳng? chứng minh các bài tập về hai mặt phẳng vuông góc và ta có thể chứng minh bằng những cách nào? Ta sẽ tìm hiểu cụ thể qua một số bài tập sau:
Bài 1.
Cho tứ diện đều A.BCD cạnh a.
a) Tính góc cosin của góc giữa cạnh bên và mặt đáy. b) Tính cosin của góc giữa mặt bên và mặt đáy.
Giáo viên đƣa ra hệ thống câu hỏi hƣớng dẫn học sinh giải bài tập.
Hình 3.4
61
HS:
GV: Yêu cầu học sinh vẽ hình? Nêu ra các nhận xét, tính chất đã biết về tứ diện đều mà em cho là liên quan đến câu trả lời?
HS:
- Các mặt là nhứng tam giác đều bằng nhau.
- Chân đƣờng cao hạ từ một đỉnh trùng với trực tâm mặt đối diện. - Có thể tính đƣợc đƣờng cao của tứ diện.
- Phải đƣa về trƣờng hợp tính góc giữa hai đƣờng thẳng.
- Do đây là tứ diện đều nên chỉ cần tính cosin của một cạnh bên với mặt đáy. Còn lại có thể suy ra đƣợc.
- …..
GV: Cho học sinh quan sát hình vẽ trên màn hình máy chiếu.
Hãy tìm cách tính cosα với α là góc của cạnh bên AC với mp(BCD)?
HS:
- Phải tìm hình chiếu của AC lên mp(BCD) rồi tính cosin của góc giữa hai đƣờng thẳng đó…
- Gọi I, K lần lƣợt là trung điểm của BD, DC thì CI∩ BK = H là trực tâm ΔBCD. Dễ thấy AH⊥ mp(BCD) nên CH là hình chiếu của AC lên mp(BCD).
GT Tứ diện A.BCD đều cạnh a
KL
a) Tính cosin góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
b) Tính cosin của góc giữa mặt bên và mặt đáy.
62
- Có thể tính đƣợc cos(AC, CH) bằng cách dựa vào tam giác vuông ACH.
GV: Yêu cầu học sinh trình bày lời giải sau đó sửa chữa, tìm cách trình bày khoa học nhất.
Lời giải tham khảo
Gọi I, K lần lƣợt là trung điểm của BD, CD. CI∩ BK = H thì H là trực tâm Δ𝐵𝐶𝐷.
AI ⊥ BD do ΔABD đều
CI ⊥ DB(do ΔBCD đều) ⇒ BD⊥ mp(ACI) ⇒ BD⊥ AH.(1)
Tƣơng tự
BK ⊥ CD do ΔCBD đều
AK ⊥ CD(do ΔACD đều) ⇒ CD⊥ mp(ABK) ⇒ CD⊥ AH.(2)
Từ (1),(2) suy ra AH⊥ mp(BCD). Vậy H là hình chiếu của A lên mp(BCD) và do vậy (AC, CH) = (AC, (BCD)) = α.
Tính cosα Do ΔBCD đều cạnh a nên CI = a 3 2 ⇒ CH = 2 3. a 3 2 = a 3 3 Mặt khác ΔAHC vuông tại H nên cos ACH =CH
AC =
3
3 . Vậy cosα = 3
3 . Tƣơng tự cosin của góc giữa các cạnh bên AB, AD với mặt đáy cũng bằng 3
3 .
Giải câu b
GV: Trƣớc tiên hãy tính cosin của góc giữa mặt bên (ACD) với mặt đáy (BCD). Gọi góc giữa hai mặt này là 𝛽.
GV: Thực chất của việc tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng trong trƣờng hợp này là công việc nào?
63
HS: là tính cosin của góc giữa hai đƣờng thẳng vuông lần lƣợt vuông nằm trong hai mặt phẳng trên và vuông góc với giao tuyến DC của chúng.
GV: Em hãy tìm hai đƣờng thẳng nhƣ thế? HS: Dựa vào chứng minh câu a có thể nhận thấy:
K là trung điểm CD, các mặt của tứ diện là tam giác đều bằng nhau nên AK⊥
CD và BK⊥ CD. Vậy 𝛽 = (AK, BK).
Dựa vào ΔAHK vuông tại H có thể tính đƣợc cosβ.
GV: Yêu cầu một học sinh lên giải.
Lời giải tham khảo
Do các mặt bên của hình chóp là những tam giác đều bằng nhau cạnh a, K là trung điểm CD, nên ta có:
AK⊥ CD và BK⊥ CD. Mặt khác mp(ACD)∩ mp(BCD) = CD nên: ((ACD), (BCD)) = (AK, BK) = β. Xét ΔAHK vuông tại H có AK = a 3 2 ; HK = 1 3BK = 1 3. a 3 2 = a 3 6 . Vậy cosβ = cosAKH = KH AK = 1 3.
Làm tƣơng tự ta cũng tính đƣợc cosin của góc giữa hai mặt (ABD), (ABC) với mặt đáy (BCD) bằng 1
3.
GV: Củng cố lại cách xác định góc giữa hai mặt phẳng.
GV: Ta có thể mở rộng bài Toán này cho hình chóp đều, cạnh bên là b, đáy là hình vuông cạnh a đƣợc không? lúc đó yêu cầu của bài Toán còn có thể thực hiện đƣợc không?
HS: có thể nhìn ra ngay yêu cầu của bài Toán vẫn thực hiện đƣợc, bởi nó gần tƣơng tự nhƣ bài trên.
64
Cho hình chóp đa giác đều, cạnh bên là b, cạnh đa giác đáy là a. Hãy tính cosin của góc giữa cạnh bên và mặt đáy và cosin của góc giữa mặt bên và mặt đáy?
Yêu cầu học sinh về nhà tự tìm lời giải, sẽ kiểm tra sau.
Bài 2.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a)Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’).
b)Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (A’BD)
c)Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều.
Giáo viên dùng hệ thống câu hỏi gợi ý học sinh giải bài tập.
GV: Hãy vẽ hình? HS:
Hình 3.5
65
GV: Cho học sinh quan sát hình vẽ trên màn hình máy chiếu, thay đổi các góc độ quan sát.
Yêu cầu học sinh suy nghĩ tìm cách giải. Nếu học sinh lúng túng có thể gợi ý tiếp.
- Với hình lập phƣơng ta có thể xác định đƣợc nhiều quan hệ vuông góc giữa các cạnh, măt. Vậy có thể dùng dấu hiệu nào để chứng minh: AC’⊥ mp(A’BD)?
HS: chứng minh AC’ vuông góc với hai đƣờng thẳng cắt nhau trong mp(A’BD).
- Cụ thể phải chứng minh điều gì?
HS: AC’⊥ BD và AC’⊥ A’B sẽ suy ra đƣợc AC’⊥ mp(A’BD) - Nếu chứng minh đƣợc có thể làm tƣơng tự AC’⊥ mp(CB’D’).
- Yêu cầu một em tóm tắt cách giải, các bạn khác nhận xét đƣa ra cách giải khác.
GV: Gọi một học sinh trình bày lời giải, sau đó các em khác nhận xét để đƣa ra lời giải hoàn chỉnh nhất.
Lời giải tham khảo
Do ABCDA’B’C’D’ là hình lập phƣơng nên BD ⊥ AC
Dễ thấy AA’ ⊥ mp(ABCD) nên AA’ ⊥ BD ⇒BD⊥mp(ACA’C’)
⇒ BD⊥ AC’. (1) Tƣơng tự có:
Do ABCDA’B’C’D’ là hình lập phƣơng nên DA′ ⊥ AD′
Dễ thấy AB ⊥ mp(ADD′A′) nên AB ⊥ DA′ ⇒DA’⊥mp(ABC’D’)
⇒ DA’⊥ AC’. (2) Từ (1)(2) ta có ngay AC’⊥ mp(BDA’).
Vì ABCDA’B’C’D’ là hình lập phƣơng nên ta dễ dàng suy ra BD//B’D’, BA’//CD’.
66 Từ đó có BDA′ song song với B′D′C