Trong thực tế khi giải Toán ta thƣờng hay gặp các câu hỏi giống nhau hay các bài Toán có dạng giống nhau. Chẳng hạn bài Toán có câu hỏi nhƣ
chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, hay chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, tìm góc giữa hai đường thẳng v.v… Hoặc trong các bài Toán về hình chóp đều biết độ dài cạnh bên và cạnh đáy tìm góc giữa mặt bên và mặt đáy, góc giữa cạnh bên và mặt đáy…
Nhƣ vậy với mỗi một bài Toán các em đƣợc học thì việc tổng quát hóa hoặc cụ thể hóa sẽ giúp các em hiểu sâu sắc hơn nội dung đƣợc học. Việc tổng quát hóa đƣợc bài Toán giúp học sinh có cách nhìn “rộng” hơn và từ đó giải quyết các trƣờng hợp cụ thể nhanh nhạy hơn. Cách giải bài Toán tổng quát tạo cho các em cách nhìn logic hơn vấn đề và sẽ tốn ít thời gian hơn khi gặp một bài Toán cụ thể dạng đấy.
Tổng quát hoá đƣa các em đến những bài Toán lớn hơn. Kích thích sự ham mê khám phá của học sinh. Giúp học sinh có cách nhìn bài Toán tổng thể hơn. Và nhanh chóng nhận ra cách áp dụng cho trƣờng hợp cụ thể nào đó.
Vậy khi giải bài Toán Hình học không gian cần luôn khuyến khích các em mở rộng bài Toán đã làm, và nếu có thể thì khái quát cả về phƣơng pháp giải các bài Toán đó.
Ngƣợc lại từ bài Toán lớn có thể chƣa tìm đƣợc lời giải nhƣng việc thu hẹp bài Toán, xét các trƣờng hợp riêng, chia bài Toán thành những vấn đề cụ thể, câu hỏi nhỏ… sẽ giúp các em dễ tìm phƣơng hƣớng giải hơn và khi giải quyết từng phần của bài Toán nhƣ thế thì lời giải của bài Toán tổng quát dần hiện lên rõ ràng hơn. Không tránh khỏi trƣờng hợp khi học tập các em gặp phải bài Toán khó, đành phải cụ thể hoá và đặc điểm hoá nó. Xét những bài Toán nhỏ hơn đƣợc giới hạn trong miền xác định nhỏ hơn để tìm lời giải và tiến tới có lời giải cho bài Toán tổng thể.
36
Bài toán 1. Chứng minh rằng trong tứ diện trực tâm (tứ diện có các cặp cạnh đối vuông góc) có tính chất sau:
Trong tứ diện trực tâm các mệnh đề sau là tƣơng đƣơng. 1. Tứ diện có các đƣờng cao đồng quy
2. Chân đƣờng cao tứ diện là trực tâm đáy
3. Tồng bình phƣơng các cặp cạnh đối bằng nhau 4. Các đƣờng trung bình của tứ diện bằng nhau
5. Tích cosin góc nhị diện các cặp cạnh đối diện bằng nhau 6. Góc giữa các cạnh đối diện bằng nhau
7. Tứ diện có các cặp cạnh đối vuông góc
Để chứng minh các tính chất trên thì giáo viên có thể gợi ý bằng cách xét bài toán sau:
Bài toán 2. Cho tứ diện có ba mặt là những tam giác vuông tại một đỉnh (tứ diện nhƣ vậy gọi là tứ diện vuông). Hãy chứng minh tứ diện này cũng có tính chất nhƣ đã nêu đối với tứ diện trực tâm.
Việc chứng minh bài toán này dễ dàng hơn nhiều so với bài toán ban đầu bởi lẽ tứ diện vuông là trƣờng hợp riêng của tứ diện trực tâm, có ba mặt là những tam giác vuông tại một đỉnh. Vì vậy nếu học sinh tìm hiểu và chứng minh đƣợc các tính chất của tứ diện vuông thì các em có thể chứng minh đƣợc một số tính chất của tứ diện trực tâm. Có thể áp dụng các phƣơng pháp chứng minh các tính chất của tứ diện vuông để chứng minh các tính chất của tứ diện trực tâm. Và nhƣ vậy nhờ vào việc chứng minh bài toán nhỏ hơn mà các em có thể giải quyết đƣợc bài toán tổng quát ban đầu.
Ngƣợc lại nếu học sinh đã giải đƣợc Bài toán 1 thì việc giải Bài toán 2
không có gì khó khăn thậm chí còn đơn giản hơn rất nhiều vì các phƣơng pháp chứng minh Bài toán 1 chắc chắn có thể áp dụng chứng minh đƣợc Bài toán 2.
37
Cụ thể hoá và tổng quát hoá là hai thao tác tƣ duy đối nghịch nhau nhƣng hoàn toàn không xung khắc lẫn nhau. Ngƣợc lại, chúng bổ sung cho nhau để cho ngƣời học nhìn nhận bài Toán thấu đáo và giải quyết bài Toán một cách có hệ thống hơn.