II. Tiến trình bài dạy
B. AD //CD C.AB⊥ BC
C. AB⊥ BC
50
Câu 4. Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Hãy ghép mỗi ý của cột
bên trái với mỗi ý của cột bên phải sao cho hợp lý. A. A’C’ vuông góc 1. AC B. AB vuông góc 2. B’C’ C. BD vuông góc 3. BB’ D. Mp(BDD’B’)vuông góc
Câu 5. Điền vào chỗ trống để được một câu đúng.Để chứng minh
AB⊥CD ta có thể:
A. Chứng minh 𝐴𝐵 . 𝐶𝐷 = ⋯
B. Chứng minh … giữa hai đường thẳng này bằng 900
- Bài tập về nhà
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
a) Chứng minh tứ diện có bốn mặt bằng nhau
b) Tính côisin của góc hợp bởi hai đường thẳng AC và BD.
Bài 2. Cho tứ diện ABCD chứng minh rằng nếu 𝐴𝐵 . 𝐴𝐶 = 𝐴𝐶 . 𝐴𝐷 = 𝐴𝐷 . 𝐴𝐷
thì AB⊥CD, AC⊥BD, AD⊥BC. Điều ngược lại có đúng không?
Bài 3. Tìm thêm hai tính chất nữa của tứ diện đã nêu trong bài 1 và chứng
minh.
Có thể tìm trên các trang web: http://onbai.org
http://www.onthi.com http://boxmath.vn
51
Giáo án số 2. BÀI TẬP ĐƢỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I. Mục tiêu
a) Về kiến thức
- Học sinh nắm đƣợc khái niệm đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, dấu hiệu đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng.
- Hiểu đƣợc định lý ba đƣờng vuông góc.
- Khái niệm góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng.
b) Về kĩ năng
- Biết cách chứng minh chứng minh đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng bằng cách dựa vào dấu hiệu.
- Vận dụng đƣợc định lý ba đƣờng vuông góc vào một số bài tập.
c) Về thái độ
- Liên hệ thực tế về đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng.
- Tự tin, hứng thú trong học tập, tích cực phát huy khả năng riêng, đƣa ra các ý tƣởng và lời giải của riêng mình.
II. Tiến trình bài dạy
1. Kiểm tra bài cũ
Giáo viên đƣa ra những câu hỏi:
- Định nghĩa hai đƣờng thẳng vuông góc? Dấu hiệu đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng?
- Nhắc lại định lý ba đƣờng vuông góc?
- Khái niệm góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng?
2. Nội dung
Đặt vấn đề
Chúng ta đã biết khái niệm đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, dấu hiệu nhận biết. Hơn nữa chúng ta đã giải đƣợc bài Toán chứng minh hai
52
đƣờng thẳng vuông góc. Vậy còn bài Toán chứng minh đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta phải làm thế nào? Có những cách nào để chứng minh? Nó có mối liên hệ gì với bài Toán chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc không? Ta sẽ tìm hiểu vấn đề này kĩ hơn trong những bài tập sau:
Bài 20. (Sách Hình học 11 nâng cao)
a) Cho tứ diện ABCD có AB⊥CD, AC⊥ BD. Chứng minh rằng AD⊥ BC. Vậy các cạnh đối của tứ diện vuông góc với nhau. Tứ diện như thế gọi là tứ diện trực tâm.
b) Chứng minh các mệnh đề sau tương đương: i) ABCD là tứ diện trực tâm.
ii) Chân đường cao của tứ diện hạ từ một đỉnh trùng với trực tâm của mặt đối diện.
iii) 𝐴𝐵2 + 𝐶𝐷2 = 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐷2 = 𝐴𝐷2 + 𝐵𝐶2
Thầy dùng hệ thống câu hỏi hƣớng dẫn học sinh giải bài Toán.
Trước tiên giải câu a
Hình 3.3
53
HS:
GT Tứ diện ABCD. AB⊥CD, AC⊥ BD KL AD⊥ BC
GV: Cho học sinh quan sát hình vẽ trên màn hình máy chiếu, thay đổi các góc độ và dừng lại ở góc quay thuận tiện nhất.
Đây là bài Toán chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc. Yêu cầu học sinh suy nghĩ 10 phút sau đó gọi một học sinh lên bảng trình bày cách làm. Giáo viên có cho các em khác nhận xét, tìm các cách giải khác sau đó mỗi em tự tìm cho mình một cách hợp với sở trƣờng của mình nhất.
GV: Yêu cầu một học sinh lên bảng giải bài Toán theo cách 1. Các cách khác giao về nhà làm.
Lời giải tham khảo Cách 1.
Gọi H là trực tâm ΔBCD. CH∩ BD = I; BH∩ DC = K. Ta có: AC ⊥ BD gt
CH ⊥ BD(cách dựng) ⇒ BD⊥ mp(ACH) nhƣng do
AH⊂ mp(ACH) nên BD⊥ AH. (1) Tƣơng tự
AB ⊥ CD gt
BH ⊥ CD(cách dựng) ⇒ CD⊥ mp(ABH) nhƣng do
AH⊂ mp(ABH) nên CD⊥ AH. (2)
Từ 1 , 2 có AH ⊥ mp BCD ⇒ AH ⊥ BC
Mà DH ⊥ BC(cách dựng) ⇒ BC⊥mp(ADH)
⇒BC⊥AD (đpcm).
54
Dựa vào đẳng thức: AB . CD + BC . AD + CA . BD = 0 (*) với A, B, C, D bất kì.
Thật vậy
VT(*) = AB.( AD − AC ) + (AC − AB ).AD + CA (AD − AB )
= AB . AD − AB . AC + AC . AD − AB . AD + CA . AD − CA . AB
= 0.
Nhƣng theo giả thiết bài Toán thì AC⊥ DB, AB⊥ CD nên suy ra
AB
. CD = 0 và CA . BD = 0. Vậy từ (*) ta suy ra BC . AD = 0 hay BC⊥ AD (đpcm).
Trong cách 1, giáo viên có thể đặt câu hỏi “có thể sử dụng định lý ba đƣờng vuông góc đƣợc không?”
Khi đó ta vẫn làm nhƣ trên nhƣng khi chứng minh đƣợc AH ⊥ mp BCD thì lý luận:
Do DH là hình chiếu của AD lên mp(BCD) và DH⊥ CB nên theo định lý ba đƣờng vuông góc thì BC⊥ AD.
GV: Vậy có mấy cách chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc? HS:
- Chứng minh tích vô hƣớng của hai vectơ chỉ phƣơng của hai đƣờng thẳng bằng không.
-Chứng minh góc giữa hai đƣờng thẳng bằng 900.
-Chứng minh đƣờng thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đƣờng thẳng kia.
Giải câu b
GV: xuất phát từ định nghĩa tứ diện trực tâm, ta có thể chứng minh nhƣ sau:
55
Trƣớc tiên hãy chứng minh i⇔ ii.(sử dụng hình 4). Để dễ hình dung hãy yêu cầu học sinh chia bài Toán thành những bài Toán nhỏ, cụ thể hơn.
HS: Chứng minh i⇒ ii. Cụ thể:
Tứ diện ABCD có AB⊥CD, AC⊥BD, AD⊥BC ⇒ chân đƣờng cao H của tứ diện trùng với trực tâm ΔBCD.
Chứng minh ii⇒ i. cụ thể:
Chân đƣờng cao H của tứ diện trùng với trực tâm ΔBCD ⇒ Tứ diện ABCD có AB⊥CD, AC⊥BD, AD⊥BC.
GV: Yêu cầu học sinh suy nghĩ giải bài Toán, đƣa ra câu hỏi” câu a có liên quan gì không?”
HS: có thể thấy ngay là chứng minh câu a theo cách 1 có thể chỉnh sửa để có chứng minh ý này.
GV: Yêu cầu học sinh trình bày lời giải. Nếu học sinh còn lúng túng thì có thể gợi ý thêm.
Hãy chứng minh i⇒ ii?
Ngƣợc lại nếu H là trực tâm ΔBCD hãy chứng minh BD⊥ mp(ACH)
⇒ BD⊥ AC, các trƣờng hợp còn lại chứng minh tƣơng tự.
Lời giải tham khảo
i⇒ ii.
Kẻ AH⊥ mp(BCD) thì H là chính là chân đƣờng cao của tứ diện.
AB⊥ CD(gt) và AH⊥ CD(cách dựng) suy ra CD⊥ mp(ABH) ⇒ CD⊥ BH. (1) AC⊥ BD(gt) và AH⊥ BD(cách dựng) suy ra BD⊥ mp(ACH) ⇒ BD⊥ CH. (2) Từ (1)(2) có ngay H là trực tâm ΔBCD.
ii⇒ i.
H là trực tâm ΔBCD đồng thời là chân đƣờng cao của tứ diện thì:
CH ⊥ BD H là trực tâm ΔBCD
AH ⊥ BD(AH là đƣờng cao của tứ diện ⇒ BD⊥ mp(ACH) ⇒ BD⊥ AC.
56
GV: Giờ hãy chứng minh i⇔ iii. Cách làm tƣơng tự nhƣ trên. Yêu cầu học sinh đƣa ra cách chứng minh. Nếu không tìm đƣợc có thể phân tích nhƣ sau:
Từ BD⊥ AC, AD⊥ BC, AB⊥ CD lại chứng minh đƣợc
AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2 . yêu cầu học sinh biểu diễn bài Toán theo ngôn ngữ vectơ.
HS: AB . CD = 0 BC . AD = 0 CA . BD = 0 ⇔AB 2 + CD 2 = AC 2 + BD 2 = AD 2 + BC 2.
GV: Yêu cầu học sinh giải bài Toán.
Lời giải tham khảo
Xét AB2 + CD 2 = AC 2 + BD 2 = AB 2 + AD − AC 2 = AC 2 + AD − AB 2
⇔−2AC . AD = −2AD . AB ⇔ AD AC − AB = 0
⇔ AD . BC = 0 ⇔ AD⊥ BC.
Chứng minh hoàn toàn tƣơng tự nhƣ trên ta có:
AC
2 + BD 2 = AD 2 + BC 2 ⇔ CD⊥ AB.
AB
2 + CD 2 = AD 2 + BC 2⇔ DB⊥ AC. Vậy ta có i⇔ iii. Vậy ta có i⇔ iii.
GV: Yêu cầu học sinh nhắc lại dấu hiệu dùng để chứng minh đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng đã sử dụng trong bài trên?
HS: muốn chứng minh đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng ta chứng minh đƣờng thẳng này vuông góc với hai đƣờng thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó.
GV: Sau khi trình bày lời giải yêu cầu học sinh nhận xét, bổ xung, coi đây là những tính chất cần nhớ về tứ diện trực tâm. Sau đó yêu cầu học sinh đọc bài 17.
57
Bài 17 (Sách Hình học 11 nâng cao)
Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. a) Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn
b) Chứng minh rằng hình chiếu của điểm O trên mp(ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC.
𝑐) 𝐶ℎứ𝑛𝑔 𝑚𝑖𝑛ℎ 𝑟ằ𝑛𝑔: 1
𝑂𝐻2 = 1
𝑂𝐴2 + 1
𝑂𝐵2 + 1
𝑂𝐶2
GV: Hãy nhận xét về mối liên hệ giữa hai loại tứ diện trong bài 17 và bài 20? Giải thích?
HS: Tứ diện có ba mặt là tam giác vuông tại một đỉnh là trƣờng hợp riêng của tứ diện trực tâm. Vì nếu ABCD là tứ diện có ba mặt là những tam giác vuông tại một đỉnh thì sẽ chứng minh đƣợc nó là tứ diện trực tâm.
GV: Vậy mọi tính chất của tứ diện trực tâm có đúng cho tứ diện ba mặt là những tam giác vuông tại một đỉnh không?
HS: Dễ dàng thấy điều này đúng
GV: Yêu cầu học sinh về nhà giải bài tập 17.
3. Câu hỏi củng cố và bài tập về nhà
- Câu hỏi củng cố
Câu 1. Cho hai đường thẳng a, b và mp(P). Mệnh đề nào đúng?
A. a⊥ mp(P) và b⊂ mp(P) thì a⊥ b. B. a // mp(P) và b⊥ mp(P) thì b⊥ a. C. a // mp(P) và b⊥ a thì b⊥ mp(P).
D. a // mp(P) và b // a thì b // mp(P).
Câu 2. Điền vào chỗ trống sao cho hợp lý
A.
𝑎 ⊥ 𝑏, 𝑎 ⊥ 𝑐
𝑎 ⊂ 𝑚𝑝 𝑃 , 𝑏 ⊂ 𝑚𝑝(𝑃) 𝑎 𝑣à 𝑏 𝑐ắ𝑡 𝑛ℎ𝑎𝑢
58
B. Nếu đường thẳng a’ là hình chiếu của a lên mp(P) thì đường thẳng b thuộc mp(P) vuông góc với a’ sẽ vuông góc với …. C. (P)//(Q) và a⊥ (P) thì a⊥ …..