môn Toán, lòng tin mình có sức sáng tạo.
Lòng tin là một yếu tố tâm lý có tính chất quyết định đến sự thành bại khi giải quyết một vấn đề nào đó. Đặc biệt là với các em học sinh THPT đang trong thời kì phát triển và hoàn thiện nhân cách, rất cần có động lực để để học tập. Chính vì vậy ngƣời giáo viên phải có các biện pháp động viên giúp đỡ các em củng cố lòng tin vào chính mình, tin tƣởng vào sự cố gắng của chính mình. Niềm tin tạo nên ý chí phấn đấu quyết tâm của các em trong việc giải Toán, đặc biệt với những nội dung còn lạ lẫm, còn khó với các em.
Tuy nhiên để tạo đƣợc niềm tin trong học tập môn Toán ở các em thì chúng ta cần chú ý đến một số điểm sau:
Phải xác định đƣợc độ khó của bài Toán và phải đảm bảo đƣợc tính vừa sức. Điều này rất quan trọng bởi một vấn đề dù có hấp dẫn thế nào nhƣng nếu học sinh cảm thấy vƣợt quá xa khả năng của mình thì sẽ gây ra sự chán nản, mất “hứng thú” với bài Toán. Cần cho các em thấy rõ bài Toán có thể chƣa tìm ra ngay đƣợc lời giải nhƣng nếu các em cố gắng thì sẽ tìm đƣợc lời giải.
Câu hỏi gợi mở của thầy cần phải có tính hệ thống cao, đƣợc sắp xếp từ khó đến dễ, từ khái quát đến cụ thể, bản thân câu hỏi cần chứa đựng “vấn đề” chứ không phải chỉ các loại câu hỏi mang tính “dắt tay chỉ việc”. Khi soạn câu hỏi ngƣời thầy cần xác định chính xác các kiến thức liên quan, sắp xếp câu hỏi thành hệ thống, dự đoán các tình huống có thể xảy ra…
26
Trong quá trình học tập ngƣời thầy cần chú ý giúp đỡ các em lấp các lỗ hổng về kiến thức mà các em gặp phải. Bởi sự thiếu hụt về kiến thức, kĩ năng của các em sẽ gây ta khó khăn khi tiếp thu kiến thức bài mới.
Sau khi học bài 1 (Chƣơng 2. Đại cƣơng về đƣờng thẳng và mặt phẳng- Hình học nâng cao 11) học sinh làm bài tập sau:
Cho hình chóp S.ABCD với M là một điểm nằm trong tam giác SCD. Hãy xác định thiết diện của mp (ABM) với hình chóp.
Ta thấy rằng từ trƣớc học sinh chỉ học Hình học phẳng, các em chỉ xét mối quan hệ giữa điểm và đƣờng thẳng thì nay lại có thêm mối quan hệ giữa chúng với mặt phẳng. Vì vậy sẽ gặp khó khăn hơn nhiều. Hình biểu diễn không gian không phản ánh trung thực nhƣ trong hình phẳng (về kích thƣớc, hình dạng, các quan hệ vuông góc, quan hệ bằng nhau v.v…). Bên cạnh đó các em cũng gặp khó khăn khi vẽ hình biểu diễn của hình không gian trên mặt phẳng. Ta cần chú đến điều này vì vẽ đúng hình sẽ giúp các em tƣởng tƣởng đúng, và là cơ sở để học tốt Hình học không gian.
Do vậy mà khi giảng dạy tiết này nói cần chuổn bị kĩ giáo án. Đặc biệt là chuổn bị một số mô hình trực quan phục vụ cho tiết giảng. Trƣớc khi làm bài này giáo viên phải luyện tập cho học sinh bài Toán tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng.
27
Giáo viên có thể đƣa ra các câu hỏi dẫn dắt theo hệ thống nhƣ sau:
1) Do học sinh đã hiểu về thiết diện trong tiết lý thuyết (thiết diện của hình H khi cắt bởi mp(P) là phần chung của mp(P) và hình H)
Câu hỏi gợi mở: Điểm mấu chốt để có thể tìm ra thiết diện là gì?
Đó là phải tìm “phần chung”. Giáo viên hƣớng dẫn học sinh liên tƣởng đến ví dụ đã làm trong tiết lý thuyết. Đó là nhận ra thiết diện là một đa giác và miền trong của nó, vì vậy thiết diện xác định đƣợc khi xác định đƣợc đa giác đó. Ta phải đi xác định các cạnh của đa giác đó. Tức là tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng đã cho với các mặt của hình chóp.
2) Đến đây vấn đề là phải xác định đƣợc các cạnh của đa giác đó. Đa giác có nhiều cạnh, vậy có thể tìm một cạnh nào đó.
Câu hỏi gợi mở:
Tìm đoạn giao tuyến của mp(ABM) với một mặt của hình chóp? Có thể tìm các đoạn giao tuyến của mp(ABM) lần lượt với những mặt nào?
Học sinh có thể nhận thấy ngay (ABM) ∩ (SAB) = AB và (ABM) ∩ (ABCD) = AB
Tìm đƣợc giao tuyến giữa các mặt phẳng trên nên ta chỉ ra đƣợc cạnh chung là AB.
Tiếp theo, do mp(ABM) và mp(SCD) có điểm M chung nên có thể tìm đƣợc giao tuyến của hai mặt phẳng này bằng cách tìm thêm một điểm chung khác nữa của hai mặt phẳng này. Công việc này khó hơn nên có thể đặt thêm các câu hỏi nhỏ hơn để gợi mở:
a) Nếu tìm được điểm chung thứ hai thì nó sẽ là giao của hai đường thẳng nào đó nằm trong mp(ABM) và mp((SCD). Hãy tìm đường thẳng đó?
- Tìm giao tuyến của mp(SAC) và mp(SBM)? - Tìm giao điểm của SP với AM?
28
Học sinh có thể tìm đƣợc:
(SAC) ∩ (SBM) = SP; Do đó tìm đƣợc SP ∩ BM = Q;
Mà AQ ⊂ (ABM); Từ đó suy ra AQ ∩ SC = L. Đây chính là điểm chung thứ hai của mp(ABM) và mp(SCD). Vậy (ABM) ∩ (SCD) = LM. Từ đây có thể vẽ đƣợc ngay thiết diện chính là tứ giác ABLK.
Tuy nhiên khi sử dụng hệ thống câu hỏi thì tùy từng khả năng của học sinh mà dừng lại ở các câu hỏi có độ khó phù hợp. Câu hỏi đƣa ra có thể rất cụ thể nhƣng cũng có thể chỉ là gợi ý về cách làm, về phƣơng pháp giải.
2.2. Khuyến khích học sinh giải bài Toán bằng nhiều cách khác nhau
Đối với mỗi bài Toán cần luôn khuyến khích học sinh tìm những cách giải khác nhau. Bởi muốn có những cách giải khác nhau thì các em cần phải có nhiều những suy nghĩ tiếp cận bài Toán theo nhiều phƣơng diện khác nhau. Điều này đỏi hỏi học sinh phải tƣ duy, phải dựa vào kiến thức, kinh nghiệm sẵn có kết hợp lại và áp dụng trong tình huống cụ thể để tìm ra cách giải khác. Điều này phát huy đƣợc tính năng động sáng tạo của học sinh. Nhƣ vậy cần phải luôn khuyến khích học sinh tìm các phƣơng án, cách giải khác cho cùng một bài Toán, không đƣợc bằng lòng với cách giải sẵn có. Muốn vậy khi giải một bài Toán nào đó ta cần xác định các kiến thức liên quan, dùng suy luận tƣơng tự tìm cách giải khác, suy nghĩ theo nhiều chiều, tiếp cận bài Toán theo nhiều cách khác nhau…
Việc giải bài toán Hình học không gian đƣợc coi là khó với các em vì vậy thƣờng chỉ tìm ra đƣợc lời giải là coi nhƣ đã hoàn thành nhiệm vụ. Ít khi để ý xem còn cách giải nào khác nữa không. Chính điều này làm cho việc học tập HHKG trở nên “khó hơn”, bởi học sinh không tìm thấy nhiều mối liên hệ với kiến thức, phƣơng pháp mình đã biết.
Chẳng hạn nhƣ khi giải bài Toán HHKG ta thƣờng thì chỉ chú ý thêm phƣơng pháp vectơ , ngoài ra còn nhiều phƣơng pháp khác nhƣ phƣơng pháp
29
phản chứng, đại số hóa, lƣợng giác hóa..v..v. Ngay khi áp dụng một phƣơng pháp giải nào đó thì cũng vẫn có thể chỉ ra nhiều cách giải cho một bài Toán.
Ta xét ví dụ minh họa sau.
Cho hình lập phương ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B’D.
Hình 1.2 Ta giải bài này theo các cách sau:
Cách 1. Dùng phƣơng pháp vectơ.
Đặt AB =a , AD = b ,AA′ = c thế thì |a | = b = c = a và a . b = b . c = c . a = 0.
Ta thấy hai đƣờng thẳng AC và B’D chéo nhau. Gọi HK là đƣờng vuông góc chung của của hai đƣờng thẳng AC và B’D (hình vẽ) với K ∈ AC, H ∈
B’D xác định bởi: AK = x. AC , DH = y. DB′ .
Ta sẽ biểu diễn HK theo các vectơ a , b , c và tìm x, y để AC . HK = 0, DB′ . HK = 0. AC = AB + AD = a + b DB′ = AB′ − AD = AB + AA′ − AD = a + c − b AK = x. a + x. b
30 DH DH = y. a − y. b + y. c HK = AK − AH = AK − AD − DH = x. a + x. b − b − y. a + y. b − y. c = x − y . a + x + y − 1 b − y. c AC . HK = a + b x − y . a + x + y − 1 b − y. c = x − y a 2 + x − y − 1 . c 2 = 2x − 1 a2 DB′ . HK = a − b + c . x − y . a + x + y − 1 b − y. c = x − y . a 2 − x + y − 1 . b 2 − y. c 2 = 1 − 3y a2 Vậy AC . HK = 0⇔ (2x − 1). a2 = 0 ⇔ x = 1 2 DB′ . HK = 0⇔ 1 − 3y a2 = 0⇔ y = 1 3 Do đó HK = 1 2− 1 3 . a + 1 2+ 1 3− 1 b − 1 2. c = 1 6(a − b + 2c ) Mà |a | = b = c = a, a . b = b . c = c . a = 0 nên: HK2 = 1 36 a − b + 2c 2 = 1 36 a 2 + b 2 + 4 c 2 = a2 6 Vậy d AC, DB′ = HK = a2 6. Cách 2. Dùng phƣơng pháp tổng hợp.
31
Hình 1.3
Ta chỉ ra đƣờng vuông góc chung của AC và B’D.
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong mp(BDB’) kẻ OH⊥ BD. (1) Có AC ⊥ BD
AC ⊥ BB′ ⇒ AC⊥ OH. (2)
Từ (1)(2) ta suy ra OH là đoạn vuông góc chung của AC và DB’ và d(AC, DB’) =OH. Ta dễ thấy ΔBDB′ ∼ ΔHDO nên BB ′ HO = DB′ DO suy ra HO = DO DB′ . BB′. (3) Mặt khác có: BB′ = a, DO = BD 2 = a 2 , DB ′ = a 3 thay vào 3 đƣợc: HO = a 2 a 3 . a = a 6 hay d AC, DB’ = a 6 .
Nhƣ vậy ta thấy rằng với bài toán trên với những cách nhìn nhận và tiếp cận khác nhau ta có những cách giải khác nhau. Mỗi cách giải có những ƣu điểm và nhƣợc điểm riêng, lời giải theo phƣơng pháp vectơ dài nhƣng không đòi hỏi học sinh phải suy nghĩ nhiều, còn lời giải theo phƣơng pháp tổng hợp thì ngắn gọn nhƣng khó tìm ra đƣợc đoạn vuông góc chung của hai đƣờng thẳng AC và DB’. Để tìm ra đƣợc lời giải theo cách 2 đòi hỏi học sinh phải suy nghĩ phân tích, phán đoán... Từ đó phát triển khả năng tƣ duy của mình.
32
Ngƣời thầy cần khuyến khích các em tìm nhiều lời giải cho một bài Toán, nhƣ vậy mới có thể phát huy tính linh hoạt, mềm dẻo và từ đó kích thích sự sáng tạo của học sinh.