Trái với trường hợp mạng một chiều, mạng hai, ba chiều đưa ra điều kiện đối xứng cho việc ấn định khoảng không làm thay đổi độ phức tạp tính toán của giải thuật. Chú ý rằng, việc chứng minh là khá dài dòng và phức tạp. Khi nghiên cứu độ phức tạp của các vấn đề trong mạng ad hoc, vấn đề hình học không thể bỏ qua được. Nói cách khác, khi xem xét làm giảm các vấn đề phức tạp (bài toán MINWEIGHTEDVERTEXCOVER trong ví dụ dưới đây), chúng ta cần phải chứng minh rằng các nút thực sự được đặt trong không gian hai hay ba chiều, và như vậy bất kỳ một thực thể nào của bài toán cần được giản lược, có thể được thay thế bởi một hằng số tương ứng đồng thời. Điều này thường được thực hiện bằng cách sử dụng các chỉ dẫn hình học hay gadget.
Cách trình bày đơn giản là giả sử α =2. Để chứng minh độ phức tạp mũ N của SPA, chúng ta sẽ đưa ra biến đổi đa thức thời gian từ bài toán MINWEIGHTEDVERTEXCOVER cho gragh bậc ba, được biết đến là NP-hard [14]. Việc chứng minh được dựa trên sự giản lược theo hướng dẫn được sử dụng trong [12] để chứng minh rằng giải pháp RA trong mạng hai chiều chính là NP-hard. Hướng dẫn có thể được tóm tắt như sau:
- Cho một graph phẳng bậc ba G, Vẽ đường trực giao phẳng của G. - Bổ sung hai đỉnh cho mỗi bên uốn cong của hình vẽ để chứa đường
thẳng D(G).
- Thay thế mỗi đường thẳng (cạnh) trong D(G) bằng tập hợp các nút (gadget). Kết quả tập hợp các điểm trong không gian hai chiều từ việc thay thế được biệu thị bở S(G).
Các thuộc tính có đặc điểm (gadget) sau:
Cho D(G) = (V,E) là các đường thẳng trực giao của graph phẳng bậc ba G. Cho , , o ≥ 0 sao cho + o ≥ và cho b > 1. Bất kỳ (, ) ∈ A, tập gadget V> tương ứng được tạo bởi tập các điểm > = {, }, > = {S>, S>}, > = {T^, . . . , T^} và > = {Q^, . . . , Q^}, với M^, M phụ thuộc vào chiều dài (a,b) trong hình vẽ. Tập hợp các điểm đó được vẽ trong và tuân theo các thuộc tính sau:
a) C(, S>) = C(, S>) = + o
b) > là một chuỗi điểm được vẽ sao cho C(, T^) = C(Q^, Q) = . . . . C(Q^, ) = và với bất kỳ giá trị i ≠ j+1, j-1, C(QK, Q|) ≥ λ
c) > là một chuỗi điểm được vẽ sao cho C(S>, T^) = C(T^, T) = . . . . C(T^, S>) = và với bất kỳ giá trị i ≠ j+1, j-1, C(TK, T|) ≥
d) Cho giá trị QK ∈ > T| ∈ > bất kỳ, C(QK, T|) > + o , với P = 1,2,3. . . M^, C(QK, S>) ≥ + o và C(QK, S>) ≥ + o
e) Cho hai giá trị khác nhau V> và V9 bất kỳ, với v ∈ V>\V9 và w ∈ V9\V>, có C(, w) ≥ . Nếu v ∉ >∪ > và w ∉ 9 ∪ 9 thì C(v, c) ≥ b
Trong [12] đã chỉ ra rằng, đối với các hằng số lựa chọn phù hợp , , o và b, các gadget các điểm của chúng có các thuộc tính a, e có thể vẽ trong
cho bất kỳ đường trực giao phẳng nào D(G). Nó có thể được xem là lựa chọn giống nhau cho các giá trị , , o và b, các điểm đạt trong gadget cần có các thuộc tính bổ sung sau:
b’) C(a, Q|) > + o với bất kỳ giá trị j ≠1 và C(QK, ) > + o với bất kỳ giá trị P ≠ M^
c’) C(S>, T|) > + o với bất kỳ giá trị j ≠1 và C(TK, S>) > + o với bất kỳ giá trị i P ≠ M
d’) Cho giá trị QK ∈ >, T| ∈ > bất kỳ, C(QK, S>) > + o, C(QK, S> > + o, C(T|, > + o, và C(T|, ) > + o.
Cho các đặc tính a…e và b’…d’, nó chỉ ra rằng mọi gadget bao gồm hai thành phần có liên quan đến khoảng cách + o: trong đó thành phần VX bao gồm chuỗi các điểm thuộc >∪ > và thành phần YZ gồm chuỗi các điểm >∪ >. Cho bất kỳ một cặp nút (v, w) sao cho v thuộc thành phần VX, w thuộc thành phần YZ, ta sẽ có: C(, c) = + o khi và chỉ khi = và c = S> hoặc = và c = S>. Gadget của cạnh (a,b) được biểu thị trong Hình 4-5.
Giả sử rằng trong ấn định khoảng kết nối bất kỳ nút nào cũng phải có một khoảng phát tối thiểu bằng khoảng cách đối với lân cận gần nhất của nó. Cho là ấn định khoảng của S(G) thì mỗi nút sẽ có khoảng phát bằng khoảng cách từ nút đó đến lân cận gần nhất của nó. Cho các thuộc tính
của gadget như trên, chính là các nút nằm trong thành phần VX có khoảng phát là λ và các nút nằm trong thành phần YZ có khoảng phát là λ’. Vì tính đối xứng của các điểm trong mặt phẳng, là đối xứng. Graph thông tin cho bởi bao gồm các thành phần kết nối m+1 khi m=|E|: thành phần YZ của m gadget và hợp nhất VX của các thành phần gadget trong VX. Vì vậy, để có graph thông tin kết nối và đối xứng, chúng ta cần định nghĩa một số điểm cầu nối (bridge points) giữa VX và mọi thành phần YZ.
Đặt = ⋃>,∈t>, = ⋃>,∈t>, = ⋃>,∈t> và = ⋃>,∈t>. Các bổ đề sau đây miêu tả các thuộc tính của ấn định khoảng đối xứng đối xứng tối ưu cho ().
Định nghĩa 4.4-3 (Ấn định khoảng tiêu chuẩn) Một ấn định khoảng đối
xứng đang kết nối cho () được coi là tiêu chuẩn nếu:
Q^ Q Qi Q' Q T^ T Ti T' T T T S> S> + o > + o > + o + o > + o Thành phần Thành phần
- () = đối với bất kỳ ∈ ; - () = đối với bất kỳ ∈ ;
- () = hoặc () = + o đối với bất kỳ ∈ ; - () = hoặc () = + o đối với bất kỳ ∈ ;
Bổ đề 4.4-4 Gọi () là một tập điểm nằm trong theo như mô tả ở trên, b, , và o là các hằng số dương sao cho:
(b)2 > − 1 ( + o)2− 2 +( + o)2 (4.1) Khi đó, đối với ấn định khoảng đối xứng đang kết nối bất kỳ , tồn tại một ấn định khoảng tiêu chuẩn sao cho () ≥ ().
Chứng minh: Ta sẽ chứng minh rằng ấn định khoảng tiêu chuẩn đối
xứng đang kết nối có thể biến đổi thành ấn định khoảng tiêu chuẩn khả thi qua một dãy các bước lặp, trong đó mỗi bước không làm tăng giá của ấn định khoảng. Mỗi bước tính toán tại một nút có khoảng phát không tiêu chuẩn, và nhận được một ấn định khoảng đối xứng đang kết nối sao cho khoảng phát của là tiêu chuẩn. Do số điểm không tiêu chuẩn trong () giảm sau mỗi bước, quá trình lặp kết thúc sau một số lần lặp giới hạn.
Ta mô tả các bước của tiến trình. Gọi là một điểm không tiêu chuẩn và () là khoảng phát của nó. Ta có các trường hợp sau:
1. () < b. Trong trường hợp này, khoảng phát của có độ lớn chưa đủ để phạm vào các điểm thuộc thành phần của các gadget khác. Chú ý rằng nếu () < + o thì không thể trở thành cầu nối giữa thành phần và thành phần . Do đó khoảng phát của nó có thể giảm xuống hoặc (tùy theo ∈ ∪ hay ∈ ∪ ) mà không phải ngắt kết nối khỏi graph và bảo tồn tính đối xứng. Bây giờ xét trường hợp () ≥ + o. Không làm mất tính tổng quát, giả sử rằng ∈ V>, với (, ) ∈ A. Nếu ∈ >∪ >, khoảng phát của nó có thể giảm xuống + o mà không phải ngắt kết nối khỏi graph và bảo tồn tính đối xứng. Nếu không, xét phân khoảng sao cho
- >() = >(S>) = + o; - >() = và >(S>) = ; - >(Q) = với bất kỳ Q ∈ >; - >(T) = với bất kỳ T ∈ >;
Các tính chất của của các điểm trong một gadget, dẫn đến > là đối xứng. Hơn nữa graph thông tin thu được từ > đã kết nối và > là tiêu chuẩn trong V>, và do đó trong . Đặt (()\V>) =
∑ ()
¡∈(¢)\]£¤ . Đã cho các đòi hỏi của tính đối xứng, ta có:
() ≥ (()\V>) + 2 ∙ ()+ (M^+ 1) ∙ + (M+ 1) ∙
trong đó M^ = |>| và M = |>|. Nói cách khác, ta có:
(>) ≥ (()\V>) + 2 ∙ ( + o)+ (M^+ 1) ∙ + (M+ 1) ∙
Do RA(v) ≥ λ + ε , ta kết luận rằng c(RA) − c(RA¦§) ≥ RA(v)− (λ + ε) ≥ 0.
2. () ≥ b. Trong trường hợp này có thể là điểm cầu nối giữa nhiều thành phần và . Không làm mất tính tổng quát, giả sử rằng ∈ V>, với (, ) ∈ A.Trước hết ta chuyển đổi ấn định khoảng như đã mô tả ở trên, sẽ nhận được RA¦§, với c(RA) − c(RA¦§) ≥ γλ− (λ + ε).Tuy nhiên RA¦§thường sẽ không đối xứng và có thể cô lập một số thành phần . Vì lý do này ta xét các thành phân cô lập ^, …, dtrong graph sinh ra bởi RA¦§, và với mỗi thành phần này ta áp dụng cùng cách dựng như đối với gadget V>. Ấn định khoảng thu được RA¦§ là đối xứng và kết nối. Để chứng minh bổ đề, ta phải chỉ ra rằng cDRA¦§E ≤ c(RA). Lưu ý rằng chi phí gắn với thành phần bất kỳ K nên tăng lên trong ấn định khoảng mới RA¦§. Tuy nhiên, do sự đối xứng của ít nhất 1 nút trong K phải có khoảng phát ít nhất là b, giá trị tăng cho mỗi thành phần bị giới hạn bởi 2( + o)− (b)− . Xét © ≤ m − 1, ta có:
c(RA) − cDRA¦§E ≥ γλ− (λ + ε)− (m − 1)(2(λ + ε)− (b)− ) ≥ 0
theo bất đẳng thức (4.1). Bổ đề đã được CM.
Xét một graph cubic phẳng và hình trực giao phẳng (planar orthogonal drawing) ª() của , gọi 2ℎ là số nút được thêm vào ở bước thứ hai của quá trình dựng. Gán cho từng nút của và ª() một trọng số bằng góc nghiêng của nó. Bổ đề sau chỉ ra mối liên quan đến giá của (a vertex cover for G with that of vertex cover for D(G)) :
Bổ đề 4.4-5 Gọi là một graph cubic phẳng, ª() là hình trực giao phẳng của và đặt 2ℎ là số nút được thêm vào ở bước thứ hai của quá trình dựng. Gán cho từng nút của và ª() một trọng số bằng góc nghiêng của nó. sẽ có một vertex cover với giá ≤ © nếu và chỉ nếu ª() có 1 vertex cover có giá ≤ © + 2ℎ.
Bổ đề 4.4-6 Giải quyết bài toán SRA cho mạng hai và ba chiều có độ phức tạp / (NP-hard).