4.3. 4.3.
4.3. Ấn định khoảng trong mạng hai chiềuẤn định khoảng trong mạng hai chiều Ấn định khoảng trong mạng hai chiềuẤn định khoảng trong mạng hai chiều
Như phần trước, vấn đề RA đã được phân tích cho trường hợp mạng một chiều, cho thấy sự gia tăng đáng kể độ phức tạp tính toán so với trường hợp giải bài toán CTR đơn giản hơn. Việc gia tăng độ phức tạp tính toán thậm chí còn trở nên lớn hơn trong trường hợp của các mạng hai chiều hoặc ba chiều, như sẽ được phát biểu dưới đây.
Định nghĩa 4.3-1: Việc giải bài toán RA trong các mạng hai chiều và ba chiều là NP-hard.
Tính chất NP-hard trong việc tìm giải pháp tối ưu cho bài toán RA trong các mạng ba chiều đã được chứng minh trong [25]. Trước đó, bài toán đã được chứng minh rằng nó có cả tính NP-hard trong trường hợp mạng hai chiều [12].
Mặc dù việc giải bài toán RA cho mạng hai hoặc ba chiều là khó khăn, việc xấp xỉ đến giải pháp tối ưu có thể tính được dễ dàng bằng việc xây dựng một cây tối thiểu MST trên các nút. Việc xây dựng ấn định khoảng là như sau:
Gọi N ={u1,……,un} là tập các điểm (nút) trong không gian hai hoặc ba chiều.
1. Xây dựng một graph đầy đủ có trọng số vô hướng G=(N,E), với trọng số của cạnh (ui, uj) ∈ E làδ(ui, uj)α.
2. Tìm cây tối thiểu (minimum weight spanning tree) T của G.
Một ví dụ minh họa cây tối thiểu được trình bày trên Hình 4-3 và tương ứng là là ấn định khoảng RAT.
Thuật toán cho việc xây dựng RAT có thời gian thực hiện là O(n2) (độ phức tạp thời gian của việc xây dựng cây MST trên n nút) và tạo ra xấp xỉ hai của giải pháp tối ưu.
Định nghĩa 4.3-2: [25] Gọi N là tập các điểm (nút) trong không gian hai hoặc ba chiều, và RAT là ấn định khoảng định nghĩa ở trên . Gọi RApppp là ấn định khoảng tối ưu cho bài toán RA. Thì C(RAT)< 2c(pppp)
Chứng minh. Việc chứng minh sẽ bao gồm hai bước. Bước đầu, cần chứng minh rằng c(pppp) lớn hơn chi phí c(T) của cây tối thiểu T. Sau đó, cần chứng minh rằng C(RAT) < 2c(pppp).
1. c(pppp) > c(T)
Bắt đầu từ ấn định khoảng pppp nào đó cho N, có thể xây dựng một cây cho graph vô hướng đầy đủ G bằng việc lựa chọn một nút u∈N, và có thể xây dựng một cây đích đường dẫn ngắn nhất có gốc tại u, với tất cả các cạnh hướng đến gốc, biểu thị các đường dẫn trọng số tối thiểu từ một nút bất kỳ đến nút gốc. Khi đưa ra một cây đích đường dẫn ngắn nhất, cây T’ tương
ứng được tạo bởi việc thay đổi các cạnh có hướng trong cây đường dẫn ngắn nhất theo các cạnh vô hướng trong G. Do mỗi một trong các nút n-1 khác nút gốc phải được ấn định khoảng để tối thiểu cũng đủ để thiết lập các cạnh trong cây đích đường dẫn ngắn nhất, chúng ta có c(pppp) > c(T’). Bất đẳng thức sít sao cho phép từ thực tế là pppp ấn định một dải dương sít sao đến nút gốc u (điều này là cần thiết cho khả năng kết nối mạnh), mà không được tính đến trong c(T’). Ngược lại, c(T’) tối thiểu lớn bằng chi phí c(T) của cây tối thiểu.
2. c(RA) > 2c(T)
Trong trường hợp này, có thể quan sát thấy rằng trong thời gian khởi tạo của RA, mỗi cạnh của T có thể được chọn như là cạnh dài nhất (tức là khoảng phát) bởi hai nút của cạnh.
4.4. 4.4. 4.4.
4.4. TínTính đối xứngTínTính đối xứngh đối xứngh đối xứng
Trong bài toán ấn định khoảng, chúng ta quan tâm về việc thiết lập graph thông tin có kết nối bền vững. Vì nói chung các nút các các khoảng phát khác nhau, các liên kết đơn hướng có thể xảy ra và chúng có thể là các liên kết quan trọng cho việc đảm bảo sự kết nối bền vững.
Mặc dù, việc thiết lập các liên kết không dây đơn hướng là công nghệ linh hoạt nhưng lợi thế của việc sử dụng các liên kết vô hướng lại đang còn phải xem xét.
Thực tế, hầu hết các giao thức định tuyến trong mạng ad hoc dựa trên giả thuyết là các liên kết đơn hướng có thể “đảo ngược” được tức là sẽ thành liên kết hai chiều. Các quan sát giống nhau ứng dụng với cài đặt đồng thời của lớp MAC trong chuẩn IEEE 802.11, trên cơ sở trao đổi thông điệp RequestToSend/ClearToSend: khi nút u muốn gửi một thông điệp đến nút v trong cùng khoảng phát, thì nó sẽ gửi một RTS và chờ đợi CTS từ nút v. Nếu CTS không được nhận trong cùng thời gian, thông điệp truyền sẽ bị hủy bỏ và nút u lại cố gắng truyển lại. Nếu liên kết không dây giữa các nút u và v là đơn hướng thì hoặc một trong hai thông điệp RTS/CTS không được nhận, và truyền thông không thể xảy ra.
Hỗ trợ cho các liên kết đơn hướng ở lớp MAC sẽ có tác dụng làm cho các nút trung gian tiếp âm nhận được thông báo RTS/CTS thay cho các nút u và v. Do vậy, cơ chế truy nhập kênh khác nhau được sử dụng ở đây.
Các lý lo trên chính là động lực để nghiên cứu xem xét về các phiên bản giới hạn của bài toán ấn định khoảng, các điều kiện ràng buộc đối xứng được trình bày trên graph thông tin. Đặc biệt, có hai định nghĩa sau đã được xem xét:
Định nghĩa 4.4-1 (Bài toán WSAR): N là tập hợp các nút trong không
gian d chiều với d=1,2,3. RA là ấn định khoảng cho N và G là graph thông tin (có hướng) tương ứng. Subgraph đối xứng của G, là graph vô hướng thu được từ G bằng cách loại bỏ các cạnh đơn hướng. WSAR xác định một hàm ấn định khoảng pppp sao cho được kết nối và (pppp) = q (r∈s pppp()),
là tối thiểu với α là distance-power gradient.
Định nghĩa 4.4-2 (Bài toán SRA): Cho N là tập các nút trong không gian
d chiều, với d=1,2,3. Ấn định khoảng RA cho N được gọi là đối xứng nếu nó sinh ra graph thông tin chỉ chứa các liên kết hai chiều, với (K) ≥ C(K, |) ⇔ (|) ≥ C(K, |). Bài toán ấn định khoảng đối xứng SRA
(Symmetric Range Assignment) là xác định một hàm SRA, pppp sao cho graph thông tin tương ứng được kết nối và () = q (r∈s pppp()), (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
là tối thiểu.
Hình 4-4. Các yêu cầu đối xứng khác nhau giữa bài toán WSRA và WRA
Lưu ý rằng các yêu cầu đối xứng khác nhau trong hai phiên bản của bài toán: trong WSRA (Weakly Symmetric Range Assignment) graph thông tin có thể chứa các liên kết đơn hướng. Còn trong SRA graph thông tin chỉ chứa các liên kết hai chiều. Đây là yêu cầu bền vững hơn trong graph thông tin, xem Hình 4-4.
4.4.1. Tính đối xứng trong mạng một chiều
Trường hợp các nút cùng trên một đường thẳng, SRA tối ưu cho tập các nút dưới đây:
1. Thứ tự các nút tuân theo tọa độ không gian của chúng {^, ,. . . } 2. Gán cho nút ^khoảng phát C(^, , nút khoảng phát là C(}^, ),
và mỗi nút khác nút K có khoảng phát tương ứng với max{C(K}^, K), C(K, Ke^)}
3. Việc gia tăng khoảng phát của một số nút dể đảm bảo tính đối xứng: đối với bất kỳ cạnh vô hướng (K, |) nào trong graph thông sinh ra ở bước trước, thì làm tăng khoảng phát của nút | và có thể tới được nút K. Quá trình này được lặp lặp lại cho đến khi tất cả các cạnh trong graph là hai chiều.
Ấn định khoảng RApppp sinh ra một graph thông tin kết nối trong đó tất cả các liên kết là hai chiều. Để chứng minh RApppp tối ưu, đó là điều kiện đủ để xem xét rằng, để đạt được kết nối, mỗi nút phải được kết nối tối thiểu bên trái và bên phải với các nút lân cận gần nhất của nó. Thêm nữa, hàm tham số ở bước 3 tăng khoảng phát của nút đó tối thiểu cần đạt được bằng ấn định khoảng đối xứng.
Độ phức tạp của giải thuật để giải quyết bài toán SRA trong mạng một chiều O(nlogn) (thời gian cần thiết để nút n phối kết hợp với các nút khác) so sánh với độ phức tạp cao hơn của giải thuật giải quyết bào toán về phiên bản giới hạn. Vì vậy, chúng ta có thể kết luận lại rằng, trong bài toán mạng một chiều dễ dàng đưa ra ấn định khoảng tối ưu.
4.4.2. Tính đối xứng trong mạng hai chiều
Trái với trường hợp mạng một chiều, mạng hai, ba chiều đưa ra điều kiện đối xứng cho việc ấn định khoảng không làm thay đổi độ phức tạp tính toán của giải thuật. Chú ý rằng, việc chứng minh là khá dài dòng và phức tạp. Khi nghiên cứu độ phức tạp của các vấn đề trong mạng ad hoc, vấn đề hình học không thể bỏ qua được. Nói cách khác, khi xem xét làm giảm các vấn đề phức tạp (bài toán MINWEIGHTEDVERTEXCOVER trong ví dụ dưới đây), chúng ta cần phải chứng minh rằng các nút thực sự được đặt trong không gian hai hay ba chiều, và như vậy bất kỳ một thực thể nào của bài toán cần được giản lược, có thể được thay thế bởi một hằng số tương ứng đồng thời. Điều này thường được thực hiện bằng cách sử dụng các chỉ dẫn hình học hay gadget.
Cách trình bày đơn giản là giả sử α =2. Để chứng minh độ phức tạp mũ N của SPA, chúng ta sẽ đưa ra biến đổi đa thức thời gian từ bài toán MINWEIGHTEDVERTEXCOVER cho gragh bậc ba, được biết đến là NP-hard [14]. Việc chứng minh được dựa trên sự giản lược theo hướng dẫn được sử dụng trong [12] để chứng minh rằng giải pháp RA trong mạng hai chiều chính là NP-hard. Hướng dẫn có thể được tóm tắt như sau:
- Cho một graph phẳng bậc ba G, Vẽ đường trực giao phẳng của G. - Bổ sung hai đỉnh cho mỗi bên uốn cong của hình vẽ để chứa đường
thẳng D(G).
- Thay thế mỗi đường thẳng (cạnh) trong D(G) bằng tập hợp các nút (gadget). Kết quả tập hợp các điểm trong không gian hai chiều từ việc thay thế được biệu thị bở S(G).
Các thuộc tính có đặc điểm (gadget) sau:
Cho D(G) = (V,E) là các đường thẳng trực giao của graph phẳng bậc ba G. Cho , , o ≥ 0 sao cho + o ≥ và cho b > 1. Bất kỳ (, ) ∈ A, tập gadget V> tương ứng được tạo bởi tập các điểm > = {, }, > = {S>, S>}, > = {T^, . . . , T^} và > = {Q^, . . . , Q^}, với M^, M phụ thuộc vào chiều dài (a,b) trong hình vẽ. Tập hợp các điểm đó được vẽ trong và tuân theo các thuộc tính sau:
a) C(, S>) = C(, S>) = + o
b) > là một chuỗi điểm được vẽ sao cho C(, T^) = C(Q^, Q) = . . . . C(Q^, ) = và với bất kỳ giá trị i ≠ j+1, j-1, C(QK, Q|) ≥ λ
c) > là một chuỗi điểm được vẽ sao cho C(S>, T^) = C(T^, T) = . . . . C(T^, S>) = và với bất kỳ giá trị i ≠ j+1, j-1, C(TK, T|) ≥
d) Cho giá trị QK ∈ > T| ∈ > bất kỳ, C(QK, T|) > + o , với P = 1,2,3. . . M^, C(QK, S>) ≥ + o và C(QK, S>) ≥ + o
e) Cho hai giá trị khác nhau V> và V9 bất kỳ, với v ∈ V>\V9 và w ∈ V9\V>, có C(, w) ≥ . Nếu v ∉ >∪ > và w ∉ 9 ∪ 9 thì C(v, c) ≥ b
Trong [12] đã chỉ ra rằng, đối với các hằng số lựa chọn phù hợp , , o và b, các gadget các điểm của chúng có các thuộc tính a, e có thể vẽ trong
cho bất kỳ đường trực giao phẳng nào D(G). Nó có thể được xem là lựa chọn giống nhau cho các giá trị , , o và b, các điểm đạt trong gadget cần có các thuộc tính bổ sung sau:
b’) C(a, Q|) > + o với bất kỳ giá trị j ≠1 và C(QK, ) > + o với bất kỳ giá trị P ≠ M^
c’) C(S>, T|) > + o với bất kỳ giá trị j ≠1 và C(TK, S>) > + o với bất kỳ giá trị i P ≠ M
d’) Cho giá trị QK ∈ >, T| ∈ > bất kỳ, C(QK, S>) > + o, C(QK, S> > + o, C(T|, > + o, và C(T|, ) > + o.
Cho các đặc tính a…e và b’…d’, nó chỉ ra rằng mọi gadget bao gồm hai thành phần có liên quan đến khoảng cách + o: trong đó thành phần VX bao gồm chuỗi các điểm thuộc >∪ > và thành phần YZ gồm chuỗi các điểm >∪ >. Cho bất kỳ một cặp nút (v, w) sao cho v thuộc thành phần VX, w thuộc thành phần YZ, ta sẽ có: C(, c) = + o khi và chỉ khi = và c = S> hoặc = và c = S>. Gadget của cạnh (a,b) được biểu thị trong Hình 4-5.
Giả sử rằng trong ấn định khoảng kết nối bất kỳ nút nào cũng phải có một khoảng phát tối thiểu bằng khoảng cách đối với lân cận gần nhất của nó. Cho là ấn định khoảng của S(G) thì mỗi nút sẽ có khoảng phát bằng khoảng cách từ nút đó đến lân cận gần nhất của nó. Cho các thuộc tính (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
của gadget như trên, chính là các nút nằm trong thành phần VX có khoảng phát là λ và các nút nằm trong thành phần YZ có khoảng phát là λ’. Vì tính đối xứng của các điểm trong mặt phẳng, là đối xứng. Graph thông tin cho bởi bao gồm các thành phần kết nối m+1 khi m=|E|: thành phần YZ của m gadget và hợp nhất VX của các thành phần gadget trong VX. Vì vậy, để có graph thông tin kết nối và đối xứng, chúng ta cần định nghĩa một số điểm cầu nối (bridge points) giữa VX và mọi thành phần YZ.
Đặt = ⋃>,∈t>, = ⋃>,∈t>, = ⋃>,∈t> và = ⋃>,∈t>. Các bổ đề sau đây miêu tả các thuộc tính của ấn định khoảng đối xứng đối xứng tối ưu cho ().
Định nghĩa 4.4-3 (Ấn định khoảng tiêu chuẩn) Một ấn định khoảng đối
xứng đang kết nối cho () được coi là tiêu chuẩn nếu:
Q^ Q Qi Q' Q T^ T Ti T' T T T S> S> + o > + o > + o + o > + o Thành phần Thành phần
- () = đối với bất kỳ ∈ ; - () = đối với bất kỳ ∈ ;
- () = hoặc () = + o đối với bất kỳ ∈ ; - () = hoặc () = + o đối với bất kỳ ∈ ;
Bổ đề 4.4-4 Gọi () là một tập điểm nằm trong theo như mô tả ở trên, b, , và o là các hằng số dương sao cho:
(b)2 > − 1 ( + o)2− 2 +( + o)2 (4.1) Khi đó, đối với ấn định khoảng đối xứng đang kết nối bất kỳ , tồn tại một ấn định khoảng tiêu chuẩn sao cho () ≥ ().
Chứng minh: Ta sẽ chứng minh rằng ấn định khoảng tiêu chuẩn đối
xứng đang kết nối có thể biến đổi thành ấn định khoảng tiêu chuẩn khả thi qua một dãy các bước lặp, trong đó mỗi bước không làm tăng giá của ấn định khoảng. Mỗi bước tính toán tại một nút có khoảng phát không tiêu chuẩn, và nhận được một ấn định khoảng đối xứng đang kết nối sao cho khoảng phát của là tiêu chuẩn. Do số điểm không tiêu chuẩn trong () giảm sau mỗi bước, quá trình lặp kết thúc sau một số lần lặp giới hạn.
Ta mô tả các bước của tiến trình. Gọi là một điểm không tiêu chuẩn và () là khoảng phát của nó. Ta có các trường hợp sau:
1. () < b. Trong trường hợp này, khoảng phát của có độ lớn chưa đủ để phạm vào các điểm thuộc thành phần của các gadget khác. Chú ý rằng nếu () < + o thì không thể trở thành cầu nối giữa thành phần và thành phần . Do đó khoảng phát của nó có thể giảm xuống hoặc (tùy theo ∈ ∪ hay ∈ ∪ ) mà không phải ngắt kết nối khỏi graph và bảo tồn tính đối xứng. Bây giờ xét trường hợp () ≥ + o. Không làm mất tính tổng quát, giả sử rằng ∈ V>, với (, ) ∈ A. Nếu ∈ >∪ >, khoảng phát của nó có thể giảm xuống + o mà không phải ngắt kết nối khỏi graph và bảo tồn tính đối xứng. Nếu không, xét phân khoảng sao cho
- >() = >(S>) = + o; - >() = và >(S>) = ; - >(Q) = với bất kỳ Q ∈ >; - >(T) = với bất kỳ T ∈ >;
Các tính chất của của các điểm trong một gadget, dẫn đến > là đối xứng. Hơn nữa graph thông tin thu được từ > đã kết nối và