7. Cấu trúc của luận văn
2.2.2.7. Một số lời giải tiêu biểu cho từng chùm bài tập
Toàn bộ gợi ý lời giải ở phần phụ lục. Sau đây là lời giải một số bài tiêu biểu cho mỗi dạng bài tập, thể hiện các thành phần của tƣ duy sáng tạo.
* Chùm bài tập về đẳng thức vectơ
Hệ thống bài tập phần này đƣợc xây dựng trên các kiến thức cơ bản của khái niệm và các phép toán về vectơ.
Đặc biệt có thể khái quát hóa đƣợc nhiều dạng toán trong phần này để làm cơ sở xây dựng hệ thống bài tập nhƣ: Phân tích vectơ theo cơ sở để xây dựng nên hệ thống bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng, vuông góc, song song... hoặc hệ thống bài trọng tâm hệ điểm, tâm tỉ cự của hệ điểm đƣợc xây dựng trên cơ sở suy luận tổng quát và tƣơng tự .
Sau đây là một số bài minh hoạ:
BT1. Cho ABC nội tiếp đƣờng tròn (O), trực tâm H, trọng tâm G. Gọi B' là điểm đối tâm của B. Chứng minh:
a) AH B'C và AB' HC ; b) OA OB OC OH c) HA HB HC 2HO ;
d) Chứng minh G,H,O thẳng hàng và tính OG:OH. ( Đƣờng thẳng Ơle)
Giải: a) Ta có: AHBC, B'CBC AH//B'C CHAB, B'AAB HC//AB'
Vậy AHCB' là hbh đpcm.
b) Ta có: OA OB OC OH Hình 2.14 2OM OH OA 2OM AH
Điều này đúng vì: 2OM B'C AH, theo a).
c) Ta có: HA HB HC 3HO OA OB OC 3HO OH 2HO . d) Ta có theo b): OA OB OC OH và OA OB OC 3OG
* Qua lời giải bài toán trên ta thấy, ngoài các thành phần của tƣ duy sáng tạo đã đƣợc thể hiện, trong đó tính nhuần nhuyễn đƣợc thể hiện khá rõ nét, cụ thể: - Việc chứng minh hai vectơ bằng nhau, khi đã nắm đƣợc định nghĩa, ta đƣa về chứng minh tứ giác AHCB' là hình bình hành, khi đó thì dễ thấy có điều phải chứng minh.
- Ở phần b) sử dụng phƣơng pháp tƣơng đƣơng để biến đổi đẳng thức vectơ rồi sử dụng phép trừ cũng thể hiện đƣợc tính nhuần nhuyễn trong suy luận.
- Trong phần c), thể hiện rõ việc chèn điểm vế trái để dẫn đến vế phải, không những thể hiện đƣợc sự nhuần nhuyễn trong tƣ duy, mà còn thể hiện đƣợc tính nhạy cảm khi kết hợp đƣợc kết quả ý b).
- Ngoài ra, sự nhuần nhuyễn và nhạy cảm còn thể hiện rất rõ trong ý d) khi kết hợp đƣợc các kết quả trên với nhau.
BT17. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, F, K là các điểm đƣợc xác định bởi:
AI AB;AF AC;AK AD, với 0.
Chứng minh điều kiện cần và đủ để I,F,K thẳng hàng là: 1 1
.
Giải: Chọn cơ sở (AB,AD) . Ta có:
IF = IA+ AF = -AB+AC = -AB+( AB+ AD) = (-) AB+AD IK = IA+ AK = -AB+AD. Ta thấy I,F,K thẳng hàng 1 1 .
* Trên cơ sở bài toán này có thể xây dựng hàng loạt bài toán ở dạng cụ thể khi cho , , các giá trị cụ thể, nhằm củng cố kỹ năng thực hành phân tích vectơ cho học sinh.
* Chùm bài tập về tập hợp điểm
Đối với bài tập phần này, ngoài sự nhuần nhuyễn về kiến thức, còn đòi hỏi phải linh hoạt trong từng bài cụ thể. Dạng này cũng đƣợc xây dựng hệ
thống bài tập dựa trên kiến thức cơ bản về vectơ, có thể tƣơng tự và tổng quát trong tam giác, tứ giác qua một số bài tập cụ thể, tính sáng tạo đƣợc thể hiện trong mỗi dạng bài tập cụ thể. Đặc biệt khi sử dụng kiến thức về tâm tỉ cự để xây dựng bài tập dạng này.
Sau đây là lời giải một số bài cụ thể:
BT25. Cho ABC, tìm tập hợp các điểm M thoả mãn: 1) | 3MA 2MB MC| | MB MA | 2) 2| MA MB MC| 3| MB MC| 3) | MA 3MB 2MC| | 2MA MB MC| 4) 2| MA MB MC| | MA 2MB 3MC| ; 5) | 2MA MB| | 4MB MC| Giải:
* Đánh giá chung về phƣơng pháp suy luận bài này: Nếu các tổng, hiệu vectơ ở 1 vế có hệ số bằng nhau đôi một, thì sử dụng phép cộng hoặc trừ vectơ hoặc tính chất trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác (tâm tỉ cự hệ 2 điểm, 3 điểm), còn nếu không sử dụng tâm tỉ cự tổng quát. Qua đó ta thấy có thể tổng quát hóa phƣơng pháp giải loại toán này. Cụ thể:
1) | 3MA 2MB MC| | MB MA |
Vế trái sử dụng tâm tỉ cự I cỉa 3 điểm A, B, C theo bộ số (3,-2,1), thì VT = 2MI
Vế phải là hiệu hai vectơ, nên VP = AB Vậy M(I,AB/2).
2) 2| MA MB MC| 3| MB MC|
VT = 2.3.MG = 6MG, với G là trọng tâm ABC (tâm tỉ cự của 3 điểm A, B, C theo bộ số (1,1,1)).
VP = 3.2.MI = 6MI, với I trung điểm BC (tâm tỉ cự của 2 điểm A, B theo bộ số (1,1). Vậy M(d) là trung trực của GI.
E A C B F D H M' 3) | MA 3MB 2MC| | 2MA MB MC|
Tƣơng tự: VT = 2MI, với I là tâm tỉ cự của A, B, C theo bộ số (1,3,-2) VP = 2JA, với J trung điểm BC. Vậy M(I,JA).
4) 2| MA MB MC| | MA 2MB 3MC| ; 5) | 2MA MB| | 4MB MC|
Các ý còn lại làm tƣơng tự.
BT27. Cho ABC vuông tại A, M là điểm thay đổi trong tam giác; D,E,F là hình chiếu của M lên BC, CA, AB.
Tìm tập hợp các điểm M sao cho: | MD ME MF| | MA | .
Giải: Vẽ đƣờng cao AH, lấy M' trên AH sao cho
AM' MD AMDM' là hình bình hành. Khi đó: | MD ME MF| | MA |
| MD MA | | MA | | MM'| | MA | Hình 2.15 | MM'| | DM'| M'trung trực của MD M'H = MD/2 M'H = M'A/2 MD = 2/3AH.
Vậy tập hợp M là phần đƣờng thẳng song song với BC, cách BC một khoảng bằng 2/3AH, nằm trong tam giác.
* Đối với bài toán này, việc tìm đƣợc tổng ở vế trái đòi hỏi phải nắm vững kiến thức, sáng tạo trong khi giải toán. Điều này đƣợc thể hiện bởi tính nhuần nhuyễn và độc đáo khi dựng thêm điểm M' và thay thế các vectơ bằng nhau phù hợp trong bài toán.
* Chùm bài tập về tọa độ trên trục
Hệ thống bài tập này mở đầu về tọa độ. Qua hệ thống bài tập này học sinh đƣợc trang bị kiến thức và kỹ năng cơ bản về tọa độ trên trục. Qua đó cũng thấy lại đƣợc nhiều kết quả hình học phẳng quen thuộc trong chƣơng trình THCS, hơn nữa bƣớc đầu các em đƣợc làm quen với việc đại số hóa bài toán hình học.
Bài tập sau minh hoạ bằng hai phƣơng pháp: Dùng hình học bởi hệ thức Salơ và bằng tọa độ.
BT40. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D; I trung điểm AB, K trung điểm
CD. Chứng minh các điều kiện sau là tƣơng đƣơng.
CA DA
CB DB; 2 1 1
AB AC AD ( Hệ thức Đềcác)
IA2 IC.ID( Hệ thức Newton);
AC.AD AB.AK (Hệ thức Macloranh)
Giải: Cách 1: CA DA AB AC AB AD AB AC AB AD AC DA 2 AB AB 2 1 1 AC AD AB AC AD
2 1 1 AI(AC AD) AC.AD
2AI AC AD
AI(AI IC AI ID) (AI IC)(AI ID)
2 2
2AI AI(IC ID) AI AI(IC ID) IC.ID
IA2 IC.ID
IA2 (IA IC)(IA ID) IA 2IA(AC AD) AC.AD
AC.AD IA.2AK 1AB.2AK AB.AK
2
.
Cách 2: (Dùng tọa độ). Gọi tọa độ A, B, C, D lần lƣợt là a, b, c, d thì I, K có tọa độ là (a + b)/2 và (c + d)/2.
Thay vào các biểu thức, cả 4 biểu thức đều đƣa đƣợc về một biểu thức giống nhau là: 2(ab + cd) = (a + b)(c + d). Tức là 4 biểu thức tƣơng đƣơng với nhau.
* Chùm bài tập về hệ trục và đƣờng thẳng
Hệ thống bài tập này đƣợc xây dựng dựa trên các khái niệm, tính chất của vectơ trên hệ trục, phƣơng trình của đƣờng thẳng trong mặt phẳng. Ngoài ra, việc tạo nên cấu trúc bài tập còn dựa vào các tính chất của tam giác, tứ
giác trong hình học phẳng ở THCS. Do đó, sử dụng thành thạo đƣợc các tính chất cơ bản của đƣờng cao, đƣờng trung bình, đƣờng phân giác...của tam giác cũng là thể hiện tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính nhạy cảm của tƣ duy sáng tạo.
Mặt khác việc phát triển hệ thống bài tập cũng đƣợc dựa trên cơ sở vận động của vấn đề, chẳng hạn nhƣ: Khi biết 1 đỉnh và 2 đƣờng cao của tam giác, ta xác định đƣợc các yếu tố còn lại. Khi cho 2 đƣờng cao thành trung tuyến, phân giác... hay một đƣờng này một đƣờng kia, ta đƣợc một hệ thống bài khá hoàn chỉnh về loại này. Loại này đã nói trong ví dụ phần trƣớc.
Sau đây chỉ giải minh hoạ hai bài nói về tính nhuần nhuyễn và nhạy cảm vấn đề trong tƣ duy sáng tạo:
BT70. Cho hai điểm A = (-2,2), B = (0,10) và đƣờng thẳng (d): x – y + 1 = 0.
Tìm M trên (d) sao cho MA + MB nhỏ nhất, N trên (d) sao cho |NA - NP| lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải: Bài này có liên quan đến phép đối xứng trục đã học ở lớp 8, cho nên học
sinh dễ thấy sẽ phải xét vị trí tƣơng đối của hai điểm A và B so với đƣờng thẳng (d): Ta có d(A).d(B) = (-3)(-9)>0 nên A,B ở cùng 1 phía so với (d)
a) Gọi A' là điểm đối xứng của A qua (d) A' = (1,-1). Với M(d) thì: MA+MB = MA'+MB > A'B (MA+MB)nn = A'B
khi M ≡ M' = A'B(d) M' = (3/4,7/4).
* Việc đối xứng điểm A qua (d) để đƣa về đƣờng gấp khúc là một suy luận đã biết, đó cũng là một trong các bƣớc suy luận trong các bƣớc tìm hƣớng giải bài toán của Pôlya.
b) Ta có: |NA-NB| > 0 |NA-NB|nn = 0 khi NA = NB N(d') trung trực của AB N = (d)(d') N = (19/5,24/5).
c) Ta có: |NA-NB| < AB |NA-NB|ln = AB khi A,N,B thẳng hàng N = AB(d) N = (-3,-2).
* Hai ý b) và c) thì dễ thấy chỉ là các suy luận đơn giản, nhƣng để có các suy luận nhƣ vậy cũng phải đòi hỏi sự nhuần nhuyễn, nhạy cảm vấn đề trong tƣ duy.
BT77. Cho ABC vuông cân tại A, biết A = (2,4) và trọng tâm G = (-1,1). Xác định B, C?
* Đây là một bài toán có nhiều hƣớng suy luận, nhiều cách giải. Nhƣng nếu linh hoạt trong tƣ duy, sẽ có cách giải độc đáo trong số các cách suy luận, đó là sử dụng đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác vuông, suy luận này sẽ hình thành một phƣơng pháp khá độc đáo cho các bài tƣơng tự đối với hình vuông, hình chữ nhật, tổng quát hơn là tứ giác nội tiếp một đƣờng tròn (sẽ dùng trong chùm bài tập này ở phần sau).
Giải: Gọi M trung điểm BC, ta có: AG 2GM M = (0,4), AM(-3,-1). Do ABC cân nên AM BC Phƣơng trình BC: 3x+y-4 = 0, MA = 10. Vì ABC vuông tại A nên đƣờng tròn tâm M bán kính MA cắt BC tại B và C. Đƣờng tròn (M,MA): x2 + (y - 4)2 = 10, thay y = 4 - 3x vào và giải hệ có B = (-1,7), C = (1,1).
* Chùm bài tập về đƣờng tròn và cônic
Trong chùm bài tập này, nếu không sử dụng đƣợc tính chất của đƣờng tròn và cônic kết hợp với phƣơng pháp tọa độ thì bài toán trở nên rất phức tạp. Điều này cũng thể hiện đầy đủ các thành phần của tƣ duy sáng tạo. Bài tập phần này nhiều bài khá phức tạp, đặc biệt về đƣờng cônic. Do vậy việc sử dụng các thành phần của tƣ duy sáng tạo tốt sẽ giúp cách giải bài toán gọn nhẹ hơn.
BT95. Cho đƣờng tròn (C): (x + 2)2 + (y - 3)2 = 9. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua A = (1,1) và cắt (C) theo một dây cung có độ dài ngắn nhất.
Giải : (C) có tâm I = (2,3), R = 3. Dễ thấy A nằm trong đƣờng tròn (C).
Giả sử đƣờng thẳng (d) qua A cắt (C) tại M,N. Gọi H là trung điểm của MN thì ta có: AM.AN = (MH-AH)(NH+AH) = MH2-AH2 = R2-(IH2+AH2) = = R2-IA2 = const, vì A cố định . Vậy MN = AM+ AN nhỏ nhất khi AM = AN A trung điểm dây MN MN IA .
M I N d A Ta có: AI = (1,1) là pháp tuyến (d) và (d) qua A Phƣơng trình (d) là: x+y-2 = 0.
* Qua bài toán này, ta thấy việc suy luận để tích AM.AN không đổi không có gì xa lạ trong
phần đƣờng tròn ở lớp 9. Nhƣng điều quan trọng là Hình 2.16
biết dùng nó để đánh giá MN nhỏ nhất là một thể hiện rõ nét tính nhạy cảm vấn đề, tính hoàn thiện trong tƣ duy sáng tạo.
BT114. Viết phƣơng trình các cạnh hình vuông ngoại tiếp (E):
2 2
x y
1 6 3 . Dễ thấy cạnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (E) phải có hệ số góc a0.
Giả sử cạnh AB: y = ax + b ax – y + b = 0 cạnh CD//AB: ax – y + b' = 0 Cạnh ADAB: x + ay + b1 = 0, cạnh BC//AD: x + ay + b1' = 0
Điều kiện tiếp xúc (E) cho: 6a2 + 3 = b2; 6a2 + 3 = b'2 b = -b' và 6 + 3a2 = b12; 6 + 3a2 = b1'2 b1 = -b1' Lấy M = (0,b)AB, N = (-b1',0).
Vì ABCD là hình vuông nên d(M,CD) = d(N,AD)
1 1 2 2 | b b' | | b b ' | a 1 a 1 b 2 = b12. Thay vào trên đƣợc: a2 = 1, b2 = 9.
Vậy phƣơng trình các cạnh hình vuông là: y = x 3.
* Đối với bài toán trên, nếu phƣơng trình AB để ở dạng tổng quát cũng đƣợc cách giải gọn nhẹ. Trong cách giải đã thể hiện sự nhuần nhuyễn của tƣ duy khi định dạng tứ giác ABCD để nó là hình vuông và ngoại tiếp elip.
* Chùm bài tập về bất đẳng thức
Phần bài tập này đòi hỏi sự kết hợp gữa bất đẳng thức đại số với vectơ và tọa độ. Điều đó cũng thể hiện mọi thành phần của tƣ duy sáng tạo để giải toán. Hệ thống bài tập về phần này khá phong phú và độc đáo. Sau đây là minh hoạ một bài trong đề thi đại học khối B năm 2006.
B145. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = (x 1) 2 y2 (x 1) 2 y2| y 2 |
Giải: Trong mỗi căn là tổng hai bình phƣơng, là dấu hiệu của độ dài vectơ.
Xét a (1 x, y),b (x 1, y) . Vì | a | | b | | a | | b | , nên ta có:
A > 4 4y 2| y 2 | ( 32 1 )(12 2 y ) | y 2 |2 ( 3 y) 2| y 2 | = = | 3 y | | 2 y | | 3 y 2 y | 3 2 .
Vậy MinA = 3 2 , khi x = 0,y = 1
3.
So sánh với đáp án, cách giải trên gọn nhẹ hơn nhiều, thể hiện đƣợc rõ nét tính độc đáo trong tƣ duy sáng tạo.
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2
Trong chƣơng 2, luận văn đã đề cập đến việc phát huy các thành phần của tƣ duy sáng tạo vào cụ thể từng dạng toán, phân tích cụ thể viẹc áp dụng vào từng bƣớc giải toán, phân loại dạng bài tập, các phƣơng pháp chứng minh từng loại toán bằng vectơ và tọa độ trong chƣơng trình hình học phẳng lớp 10. Mặt khác, cũng nhờ lý luận của tƣ duy sáng tạo, định hƣớng việc xây dựng và sáng tạo hệ thống bài tập. Các bài tập đƣợc xây dựng mới chỉ là định hƣớng và minh hoạ tối thiểu việc phát triển hệ thống bài tập này.
Căn cứ vào đó, đƣa ra một số chùm bài tập tiêu biểu và giải mẫu mỗi dạng một đến hai bài tiêu biểu thể hiện một số thành phần của tƣ duy sáng tạo