7. Cấu trúc của luận văn
2.1.2. Hướng vào rèn luyện các hoạt động trí tuệ của học sinh qua giải các bài tập
bài tập toán
Các hoạt động trí tuệ trong môn toán có thể kể đến nhƣ: Dự đoán, bác bỏ, lật ngƣợc vấn đề, các thao tác tƣ duy toán học...Rèn luyện cho học sinh những hoạt động đó là khâu quan trọng nhất trong dạy học sáng tạo.
Xét một số bài toán sau đây, rèn luyện khả năng khái quát hóa và tƣơng tự của học sinh:
BT1. Cho 2 điểm A, B phân biệt.
a) Chứng minh tồn tại duy nhất một điểm G sao cho: GA GB 0 b) M ta có: MA MB 2MG .
Giải: a) Từ đẳng thức GA GB 0 GB BA GB 0 2GB AB . Đẳng thức này chứng tỏ G tồn tại duy nhất, chính là trung điểm AB. b) M, ta có: MA MB MG GA MG GB
= 2MG GA GB 2MG ( theo kết quả trên).
Qua cách giải bài toán trên, ta gặp lại kết quả quen thuộc đã biết, nhƣng cách chứng minh hoàn toàn khác vì cách hỏi khác. Việc giải theo cách trên dựa vào phƣơng pháp chứng minh đẳng thức vetơ mà ta đã biết.
Vấn đề đặt ra là, theo phép suy luận tƣơng tự, ta có những bài toán nào khác không?
BT2. Cho ABC.
a) Chứng minh tồn tại duy nhất điểm G sao cho: GA GB GC 0 b) M: MA MB MC 3MG .
Giải: Rõ ràng bài toán này tƣơng tự trên. Nhƣng cách suy luận cũng phải suy
nghĩ thêm.
a) Sử dụng kết quả BT1 và gọi M trung điểm BC, từ đẳng thức giả thiết: GA GB GC 0 GA 2GM 0 GA 2GM, M trung điểm BC. Đẳng thức này chứng tỏ G tồn tại duy nhất, và chia trung tuyến AM theo tỉ số 2. Vậy G là trọng tâm ABC.
b) M ta có: MA MB MC MA AG MB BG MC CG = 3MG (GA GB GC) 3MG , (theo kết quả a).
BT3. Cho tứ giác ABCD.
a) Chứng minh tồn tại duy nhất điểm G sao cho: GA GB GC GD 0
b) M: MA MB MC MD 4MG
Giải: Đối với cách giải bài này, mỗi một cách nhóm khác nhau ta đƣợc một
điều thú vị là một định lý trong tứ giác. Sau đây ta nghiên cứu một số cách nhóm sau:
Cách 1: Dùng kết quả BT1, ta có:
MA MB 2MI , với I trung điểm AB. MC MD 2MJ , với J trung điểm CD.
Cộng lại ta có: MA MB MC MD 0 2(MI MJ) 0 4MG 0
Vậy M≡G là trung điểm IJ, chính là trọng tâm tứ giác ABCD.
Cách 2: Dùng kết quả BT1, ta có:
MA MD 2MP , với P trung điểm AD.
MB MC 2MQ , với Q trung điểm BC.
Cộng lại ta có: MA MB MC MD 0 2(MP MQ) 0 4MG 0
Vậy M≡G là trung điểm PQ, chính là trọng tâm tứ giác ABCD.
Cách 3: Dùng kết quả BT1, ta có:
MA MC 2MR , với R trung điểm AC MB MD 2MS , với S trung điểm BD
Cộng lại ta có: MA MB MC MD 0 2(MR MS) 0 4MG 0
Vậy M≡G là trung điểm RS, chính là trọng tâm tứ giác ABCD.
Nhƣ vậy, mỗi một cách nhóm khác nhau ta đều có kết quả G là trọng tâm tứ giác ABCD, và cũng từ đó ta có :
Định lý: Trong một tứ giác, 2 đƣờng nối trung điểm 2 cặp cạnh đối diện và
đƣờng nối trung điểm hai đƣờng chéo đồng quy tại trung điểm mỗi đƣờng (trọng tâm G của tứ giác).
b) Chèn điểm G nhƣ trên.
BT4. Ta có bài toán tổng quát sau: Cho n điểm A1, A2,...,An, n > 2, G là trọng tâm của hệ điểm, thì: a)
n i i 1 GA 0 ; b) M: n i i 1 MA n.MG .
Tổng quát hơn nữa ta có khái niệm tâm tỉ cự cho hệ điểm, ứng dụng của nó sẽ xét trong phần sau.
a) Tồn tại duy nhất điểm I sao cho: IA IB 0
b) M: MA MB ( )MI
Điểm I gọi là tâm tỉ cự của hệ 2 điểm A, B theo bộ số (,).
BT6. Cho ABC và 3 số thực , , thoả mãn: ++0, thì: a) Tồn tại duy nhất điểm I sao cho: IA IB IC 0
b) M: MA MB MC ( )MI.
Điểm I gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A, B, C theo bộ số (,,).
BT7. (Tổng quát) Cho n điểm A1, A2,...,An, n > 2 và n số thực 1, 2,...,n
thoả mãn: 1+2+...+n0, thì:
a) Tồn tại duy nhất điểm I sao cho: n i i 1 IA 0 b) M: n i 1 2 n i 1 MA ( ... )MI
Khi 1 = 2 = ... = n ta có khái niệm trọng tâm nhƣ trên.
Trong quá trình dạy toán ở trƣờng phổ thông, các thao tác tƣ duy nhƣ trên trở thành một phƣơng pháp tƣ duy cơ bản trong sáng tạo toán học, là yếu tố quan trọng giúp học sinh hình thành, nắm vững các khái niệm và tri thức lý thuyết, vận dụng để giải toán, mò mẫm, dự đoán kết quả, tìm ra phƣơng hƣớng và phƣơng pháp hay cho lời giải bài toán. Mặt khác các thao tác tƣ duy còn giúp học sinh đào sâu, mở rộng và hệ thống hóa kiến thức, giúp các em làm quen dần với nghiên cứu, sáng tạo toán học. Và nhƣ vậy, các thao tác tƣ duy toán học đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành, bồi dƣỡng những phẩm chất trí tuệ cho học sinh.