Hệ thống bài tập về đường tròn và đường cônic

7. Cấu trúc của luận văn

2.2.2.5. Hệ thống bài tập về đường tròn và đường cônic

BT82. Viết phƣơng trình đƣờng tròn qua 3 điểm: A = (2,6), B = (-3,-4), C =

(5,0).

BT83. Viết phƣơng trình đƣờng tròn qua A = (1,2) và tiếp xúc với 2 trục tọa độ. BT84. Viết phƣơng trình đƣờng tròn

a) Qua A = (0,-1), B = (0,- 4) và tiếp xúc Ox. b) Qua A = (1,2), B = (5,4) và tiếp xúc Oy.

c) Qua A = (1,0), B = (2,0) và tiếp xúc đƣờng thẳng (d): x - y = 0.

BT85. Viết phƣơng trình đƣờng tròn tiếp xúc (d): x – y - 1 = 0 tại A = (2,1) và

có tâm nằm trên đƣờng thẳng (d'): x - 2y - 6 = 0.

BT86. Viết phƣơng trình đƣờng tròn qua A = (1,0) và tiếp xúc với 2 đƣờng

thẳng (d): x + y - 2 = 0 và (d'): x + y + 3 = 0.

BT87. Viết phƣơng trình đƣờng tròn qua A = (1,2) và tiếp xúc với 2 đƣờng

thẳng (d): 3x – y + 3 = 0 và (d'): x - 3y + 9 = 0.

BT88. Viết phƣơng trình đƣờng tròn qua A = (1,1), tiếp xúc đƣờng thẳng

(d): 2x – y - 1 = 0, có tâm nằm trên đƣờng thẳng (d'): x + y = 0.

BT89. Viết phƣơng trình đƣờng tròn qua A = (2,1), B = (-2,3) và tiếp xúc

đƣờng tròn (C'): x2 + y2 = 1.

BT90. Viết phƣơng trình đƣờng tròn qua A = (4,-1) và tiếp xúc với đƣờng

tròn (C): x2 + y2 = 5 tại điểm B = (2,1).

BT91. a) Viết phƣơng trình đƣờng tròn nội tiếp OAB với A = (4,0), B = (0,3).

b) Viết phƣơng trình đƣờng tròn nội tiếp () tạo bởi 3 đƣờng thẳng: 2x - 3y + 21 = 0, 2x + 3y + 9 = 0 và 3x - 2y - 6 = 0.

BT93.Cho đƣờng tròn (C): (x - 1)2 + (y + 4)2 = 16. Tiếp tuyến qua M = (-4,-6) tiếp xúc với đƣờng tròn tại A, B. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng AB.

BT94. Cho đƣờng tròn (C): (x + 2)2 + (y - 3)2 = 9. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua A = (1,1) và cắt (C) theo một dây cung độ dài 2 đơn vị.

BT95. Cho đƣờng tròn (C): (x + 2)2 + (y - 3)2 = 9. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua A = (1,1) và cắt (C) theo một dây cung có độ dài ngắn nhất.

BT96. Cho 2 đƣờng tròn (C1): x2 + y2 - 2x - 6y - 15=0 và

(C2): x2 + y2 - 6x - 2y - 3= 0. Tìm M trên Ox, Oy, (d): x + y + 4 = 0 sao cho 2 đoạn tiếp tuyến kẻ từ M đến hai đƣờng tròn bằng nhau.

BT97.Cho đƣờng tròn (C): x2 + (y - 2)2 = 16. Qua điểm M trên (d): x + y - 2 = 0 kẻ đến (C) các tiếp tuyến. Chứng minh các đƣờng thẳng qua 2 tiếp điểm qua một điểm cố định.

BT98. Cho đƣờng tròn (C): (x - 2)2 + y2 = 36 và điểm M = (1,2) trong (C). Qua M kẻ một cát tuyến bất kỳ cắt (C) tại A,B. Chứng minh giao điểm các tiếp tuyến tại A và B thuộc một đƣờng thẳng cố định.

BT99. Cho đƣờng tròn (C): x2 + y2 - 4x + 2y - 5 = 0. Viết phƣơng trình các đƣờng thẳng qua A = (0,3) và không có điểm chung với (C).

BT100. Cho đƣờng tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 20 = 0 và đƣờng thẳng (d) có phƣơng trình: x - 7y + 10 = 0.Lập phƣơng trình đƣờng tròn qua C = (1,-2) và hai giao điểm của (d) và (C).

BT101. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C): x2 + y2 + 6x - 2y + 5 = 0: a) Tại giao điểm của (C) với (d): x + y - 1 = 0;

b) Qua A = (-1,0); B = (1,4).

BT102.Viết phƣơng trình tiếp tuyến với đƣờng tròn (C): x2 + y2 + 4x - 2y - 5 = 0 tạo với đƣờng thẳng (d): 2x + y - 1 = 0 một góc 450.

BT103. Cho đƣờng tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y - 8 = 0. Tìm trên Ox, Oy,

(d): x – y + 1 = 0 các điểm kẻ đến (C) đƣợc 2 tiếp tuyến vuông góc nhau, tạo với nhau góc 600.

BT104. Viết phƣơng trình tiếp tuyến chung của 2 đƣờng tròn:

a) (C1): x2 + y2 - 6x -5 = 0 và (C2): x2 + y2 - 12x - 6y + 44 = 0. b) (C1): x2 + y2 - 4x - 8y + 11 = 0 và (C2): x2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0. c) (C1): x2 + y2 - 4x - 6y + 4 = 0 và (C2): x2 + y2 - 10x - 14y + 70 = 0.

BT105. Cho A = (0,a), B = (b,0), C = (-b,0), với a, b > 0.

a) Viết phƣơng trình đƣờng tròn () tiếp xúc AB tại B và AC tại C. b) Gọi M là điểm trên () và d1, d2, d3 là khoảng cách từ M đến AB, AC, BC. Chứng minh: d1.d2 = 2

3

d .

BT106. Cho A = (a,0), B = (0,a).

a) Viết phƣơng trình đƣờng tròn (C) tiếp xúc Ox tại A, tâm C với yC =

m 2

2 . Xác định giao điểm thứ hai P của (C) với AB.

b) Viết phƣơng trình đƣờng tròn (C') qua P và tiếp xúc Oy tại B.

c) (C) và (C') cắt nhau tại P,Q. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng PQ. Chứng minh khi m thay đổi, PQ qua một điểm cố định.

BT107. Cho A = (a,0), B = (0,b) với ab0. Gọi (C) là đƣờng tròn tiếp xúc Ox tại A với tâm C, yC = m, với m0, ma2 b2

2b 

.

a) Đƣờng thẳng AB cắt (C) tại giao điểm thứ hai P. Xác định P. b) Xác định tâm K đƣờng tròn (K) tiếp xúc Oy tại B và qua P.

c) (C) cắt (K) tại P,Q. Chứng minh khi m thay đổi PQ qua một điểm cố định.

BT108. Cho (E):

2 2

2 2

x y

1

a  b  . Chứng minh tích các khoảng cách từ 2 tiêu điểm đến một tiếp tuyến bất kỳ bằng bình phƣơng độ dài nửa trục nhỏ.

BT109. Cho (E):

2 2

2 2

x y

1

a b  . Tìm tập hợp các điểm M,N trên một tiếp tuyến bất kỳ mà hai tiêu điểm luôn nhìn M,N dƣới một góc vuông.

BT110. Cho (E):

2 2

x y

1

50 8  , (d) là một tiếp tuyến bất kỳ của (E), (d) cắt Ox tại A, Oy tại B. Xác định M để diện tích OAB nhỏ nhất.

BT111. Cho (E):

2 2

x y

1

18  8  , (d) là một tiếp tuyến bất kỳ của (E), (d) cắt Ox tại A, Oy tại B. Xác định M để MN nhỏ nhất. BT112. Cho (E): 2 2 x y 1 9  4  và đƣờng thẳng (d): 3x+4y+24 = 0. Tìm M trên (E) có khoảng cách đến (d) lớn nhất, nhỏ nhất.

BT113. Cho (E): 16x2 + 25y2 = 400. Tìm điểm M(E) luôn nhìn F1F2 dƣới một góc 900, 600.

BT114. Viết phƣơng trình các cạnh hình vuông ngoại tiếp (E):

2 2

x y

1 6  3  .

BT115. Cho (E): x2 + 4y2 = 4 và 2 điểm M = (-2,m), N = (2,n).

a) Gọi A1, A2 là các đỉnh trên trục lớn. Viết phƣơng trình A1N và A2M. Xác định tọa độ giao điểm I của chúng.

b) Cho MN thay đổi và luôn tiếp xúc (E). Tìm quỹ tích I.

BT116. Cho (E):

2 2

2 2

x y

1

a  b  . Gọi AA' là trục lớn của (E), dựng các tiếp tuyến At, A't'. Một tiếp tuyến qua điểm M(E) cắt At và A't' tại T và T'.

a) Chứng minh: AT.A'T' không phụ thuộc M.

b) Tìm quỹ tích giao điểm N của AT' và A'T khi M chạy trên (E).

BT117. Trong tất cả các hình chữ nhật ngoại tiếp (E). Xác định hình chữ nhật

có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất.

BT118. Cho (E):

2 2

x y

1

9  4  và hai đƣờng thẳng d: ax-by = 0, d': bx+ay = 0 với a2+b20. a) Xác định giao điểm M,N của d với (E) và P,Q của d' với (E).

b) Tính SMNPQ;

BT119. Cho góc vuông xOy. A và B theo thứ tự là các điểm chuyển động trên

các tia Ox, Oy sao cho AB = l không đổi. Chứng minh mỗi điểm trên đoạn AB di động trên một elip, trừ trung điểm của AB.

BT120. Cho đƣờng tròn đƣờng kính AB tâm O. Một dây cung MN chuyển

động và luôn vuông góc với AB tại H, I là điểm thuộc đoạn HM sao cho HI = kHM, với 0 < k < 1. Tìm quỹ tích I.

BT121. Cho 2 đƣờng tròn đồng tâm O, bán kinh a,b ( a>b). Một tia Ot chuyển

động, quay quanh gốc O, cắt hai đƣờng tròn theo thứ tự ở P và Q. Đƣờng thẳng d qua P song song Oy cắt đƣờng thẳng d' qua Q song song Ox tại M. Tìm quỹ tích của M khi Ot chuyển động.

BT122. Cho (E):

2 2

2 2

x y

1

a b  . Trục lớn AA' = 2a, M là điểm chuyển động trên (E). Tìm quỹ tích trực tâm H của MAA'.

BT123. Cho (E):

2 2

2 2

x y

1

a  b  , a >b. M = (x0,y0) (E). Chứng minh rằng tiếp tuyến tại M là phân giác ngoài của FMF1 2 (Định lý Pascal).

BT124. Cho (E), M là điểm ngoài (E). Từ M vẽ các tiếp tuyến với (E), với

tiếp điểm T,T'. Chứng minh:

a) FMT F'MT '   ; b) FM là phân giác trong của TFT ' và F'M là  phân giác trong của T 'F'T ( Bài toán Poncelet) 

BT125. Cho (E), a>b. Tìm tập hợp các điểm M mà qua đó vẽ đƣợc 2 tiếp

tuyến vuông góc nhau. ( Bài toán Monge).

BT126. Cho (E):

2 2

2 2

x y

1

a  b  . Dựng 2 tia Ot Ot' cắt (E) tại M,M'. Chứng minh: 1) 1 2 1 2 12 12

OM OM'  a  b

BT127. Cho (H):

2 2

2 2

x y

1

a  b  . (d) là một tiếp tuyến bất kỳ của (H) tại M. (d) cắt hai tiệm cận tại A,B.

a) Chứng minh M là trung điểm của AB. b) Chứng minh OAB có diện tích không đổi.

BT128. Chứng minh tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ của (H):

2 2 2 2 x y 1 a  b  đến các tiệm cận của nó là một hằng số. BT129. Cho (H): 2 2 2 2 x y 1 a b  .

a) Tính độ dài phần tiệm cận chắn bởi hai đƣờng chuẩn.

b) Tính khoảng cách từ tiêu điểm của (H) đến các đƣờng tiệm cận. c) Chứng minh chân đƣờng vuông góc hạ từ một tiêu điểm tới các đƣờng tiệm cận nằm trên đƣờng chuẩn tƣơng ứng với tiêu điểm đó.

BT130. Tìm điều kiện của a, b, c, d để (E):

2 2 2 x y 1 a  b  trực giao với (H): 2 2 2 2 x y 1 c d  . BT131. Cho (H): 2 2 x y 1 4  9  . Gọi (d) là đƣờng thẳng qua O và có hệ số góc k, (d') là đƣờng thẳng qua O và vuông góc (d).

a) Tìm điều kiện của k để (d) và (d') đều cắt (H).

b) Tính theo k diện tích hthoi với 4 đỉnh là 4 giao điểm của (d) và (d') với (H).

c) Xác định k để hình thoi trên có diện tích nhỏ nhất.

BT132. Trên mặt phẳng (P) cho đoạn AA' = 2a và điểm M chuyển động sao

BT133. Cho (H): 2 2 2 2 x y 1 a b  . Một đƣờng thẳng  cắt (H) tại M,N cắt hai tiệm cận tại P,Q. Chứng minh PM = NQ.

BT134. Cho (H):

2 2

2 2

x y

1.

a b  Tìm quỹ tích các điểm M sao cho từ M kẻ đƣợc 2 tiếp tuyến vuông góc đến (H). ( Bài toán Monge).

BT135. Cho (H) vuông xy = k2. Gọi A,B,C là 3 điểm phân biệt trên (H) có hoành độ a,b,c. Các đƣờng thẳng AB, BC, CA cắt trục hoành theo thứ tự tại M,N,P. Chứng minh các đƣờng thẳng d1, d2, d3 theo thứ tự qua M vuông góc AB, qua N vuông góc với BC, qua P vuông góc với CA đồng quy. (Bài toán Simson).

BT136. Cho (P): y2 = 2px. Gọi PT và PT' là hai tiếp tuyến xuất phát từ một điểm P, T và T' là tiếp điểm. Pd là tia qua P song song với Ox cắt đƣờng chuẩn (D) tại Q và dây cung TT' của (P) tại M.

a) Chứng minh M là trung điểm của TT'.

b) Gọi tiêu điểm của (P) là F, chứng minh QFTT'.

c) Pd cắt (P) tại N. Chứng minh tiếp tuyến  tại N của (P) song song với TT'.

BT137. Cho (P): y2 = 2px. Gọi P là điểm sao cho qua P kẻ đƣợc hai tiếp tuyến đến (P) và vuông góc nhau.

Chứng minh hai tiếp điểm và tiêu điểm F thẳng hàng và PFMN.

BT138. Tìm tập hợp các điểm mà từ đó kẻ đƣợc hai tiếp tuyến đến (P):

y2 = 2px và vuông góc nhau.

BT139: Cho M là điểm trên (P): y2 = 64x, N là điểm trên đƣờng thẳng (d) có phƣơng trình: 4x + 3y + 64 = 0. a) Xác định M,N để MN ngắn nhất.

b) Với kết quả trên, chứng minh MN  tiếp tuyến của (P) tại M.

BT140. Cho A = (3,0) và (P): y = x2.

a) M là điểm trên (P) có xM = a. Tính AM. Xác định a để AM ngắn nhất.