Hướng việc bồi dưỡng năng lực giải toán vào các phương pháp tiêu biểu để

7. Cấu trúc của luận văn

2.1.5. Hướng việc bồi dưỡng năng lực giải toán vào các phương pháp tiêu biểu để

biểu để giải toán hình học phẳng bằng vectơ và tọa độ

* Suy luận trong chứng minh toán học

- Thông qua giải bài tập, rèn luyện cho học sinh một số quy tắc kết luận lôgic: Quy tắc 1: A B,A B  Quy tắc 2: A B,B A  Quy tắc 3: A B,B C A C   

- Truyền thụ các tri thức phƣơng pháp chứng minh.

Trong chứng minh toán học, thƣờng chia ra hai phƣơng pháp suy luận: trực tiếp và gián tiếp.

Giả sử A là những định nghĩa, định lý, tiên đề, mệnh đề đúng nào đó, còn B là mệnh đề cần chứng minh, thì:

1/ Phép chứng minh trực tiếp gồm có:

+ Phép suy xuôi: Là quá trình suy luận theo sơ đồ: A A1 A2... An = B.

+ Phép suy ngƣợc (lùi): Là quá trình suy luận theo sơ đồ sau:

1 2 n

BB B  ... B A

+ Phép suy ngƣợc tiến: Mang tính chất dự đoán kết quả, dự đoán con đƣờng chứng minh.

Sơ đồ lôgic: BB1B2 ... Bn A

2/ Phép chứng minh gián tiếp (phản chứng): Để chứng minh B, giả sử có B , suy luận theo sơ đồ sau để có A :

1 2 n

BA A  ... A A. Vậy B đúng.

- Khắc phục những sai lầm trong chứng minh: Một chứng minh toán học đƣợc cấu thành bởi ba bộ phận:

H A

+ Luận cứ: Là những tiên đề, định lý, định nghĩa, giả thiết bài toán. + Luận chứng: Là các phép suy luận sử dụng trong chứng minh. Nhƣ vậy phải có ba điều kiện để đảm bảo một chứng minh toán học là đúng:

+ Luận đề không đƣợc đánh tráo. + Luận cứ phải đúng.

+ Luận chứng phải hợp lôgic.

Trong quá trình dạy học chứng minh toán học cho học sinh, giáo viên cần có ý thức phát hiện và sửa chữa những sai lầm nêu trên. Phần này sẽ nghiên cứu ở chƣơng sau.

* Một số phương pháp giải toán bằng phương pháp vectơ và tọa độ trong hình học phẳng ở trường THPT

Phƣơng pháp này khá phong phú, sau đây là một số phƣơng pháp tiêu biểu:

Chứng minh đẳng thức vectơ

Để chứng minh một đẳng thức vectơ ta có thể biến đổi một vế, biến đổi tƣơng đƣơng...bằng cách sử dụng quy tắc về phép cộng, trừ, phép nhân với một số, tích vô hƣớng...

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD, chứng minh: AB AC AD 2AC      Đây là một bài toán khá đơn giản, ta có thể chứng minh nhƣ sau:

Cách 1: Dùng phép cộng vectơ theo quy tắc hình bình hành cho 2 vectơ ở VT,

rồi so sánh với VP.

Cách 2: Nhóm VT nhờ tính chất hình bình hành: AB AD AC    VT = AC AC 2AC  = VP

Cách 3: Biến đổi tƣơng đƣơng: Đẳng thức  AB AC AD AC AC    AB AD AC  , đúng vì ABCD là hình bình hành.

Ví dụ 2: Cho ABC có trực tâm H, M trung điểm BC.

Chứng minh: 1 2 MH.MA BC 4    Biến đổi một vế ta có VT =

= MH.MA 1(BH CH) (BA CA)1

2 2

   

      = 1(BH.BA BH.CA CH.BA CH.CA)

4           . Hình 2.8 Vì BH CA, CH BA nên: BH.CA 0,CH.BA 0    .

Do đó VT = 1(BH.BA CH.CA) 1[BH(BC CA) CH(BA BC) 4      4       =

= 1 1 1 2

(BH.BC CH.BC) BC(BH CH) BC VP

4      4     4  .

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta có thể chứng minh hai trong ba vectơ tạo từ 3 điểm cùng phƣơng, hoặc với M ta có:

mMA nMB pMC 0    với m + n + p = 0.

Ví dụ 1: Cho ABC, điểm J chia BC theo tỉ số -3, điểm N chia AC theo tỉ số -1, điểm K chia BA theo tỉ số 3. Chứng minh J,N,K thẳng hàng .

Giải: Ta phân tích JN,JK  theo một cơ sở nào đó, chẳng hạn (AB,AC ). Từ giả thiết ta có: 1 1 1 KN KA AN AB AC (AB AC) 2 2 2              3 3 KJ KB BJ AB BC 2 4           3 3 3 1

AB (AC AB) . (AB AC)

2 4    2 2   KJ 3KN 2    , hay K,N,J thẳng hàng.

Ví dụ 2: Trên các cạnh của ABC, lấy M,N,P sao cho:

MA 3MB 6NB NC PC 2PA 0       . Chứng minh: M,N,P thẳng hàng. Lấy điểm A làm gốc chung, nếu N chia BC theo tỉ số k thì ta có:

AB kAC AN 1 k      

, k1. Từ giả thiết AN 6AB AC 3AP 8AM

6 1 5 5                 

E M B C A H M I B C A I B C A d M

Chứng minh hai đường thẳng song song, vuông góc

Để chứng minh (d) //(d'), ta chứng minh hai chỉ phƣơng cùng phƣơng. Để chứng minh (d) (d'), ta chứng minh hai chỉ phƣơng của chúng  .

Ví dụ : Cho ABC cân tại A, M trung điểm BC, H là hình chiếu của M lên AC. Chứng minh: Nếu E là trung điểm MH thì AE  BH.

Giải: Sử dụng tính chất trung điểm và vuông góc ta có:

2AE.BH (AM AH)(BM MH)       = AM.BM AM.MH AH.BM AH.MH      =

= AM.MH AH.BM AM.MH (AM MH)BM           

= MH(AM BM)    = MH.(AM MC) MH.AC 0      . Hình 2.9 Vậy AE  BH.

Tìm tập hợp điểm

Để tìm tâp hợp M thoả mãn một hệ thức vectơ, ta biến đổi hệ thức tƣơng đƣơng để có một hệ thức xác định đƣợc tập điểm M, nhƣ: f(M) = c hoặc OM v , trong đó O cố định, v không đổi.

Ví dụ 1: Cho ABC, tìm tập hợp M sao cho: MA MB 2MC 0 

Gọi I trung điểm AB, đẳng thức đã cho Hình 2.10  2MI 2MCMI MC. Vậy tập hợp M là trung điểm của IC.

Ví dụ 2: Cho ABC, tìm tập hợp M sao cho | MA MB| | MC|   

Gọi I trung điểm AB, đẳng thức đã cho  2| MI | 2| MC| | MI | | MC|       .

Vậy tập hợp M là đƣờng trung trực (d) của IC.

G A x y C D B M O x y B' A' B A H Tọa độ hóa

Để giải một bài toán, có thể dùng phƣơng pháp tọa độ, kết hợp với phƣơng trình các đƣờng trong mặt phẳng.

Ví dụ 1: Cho góc vuông xOy. Trên cạnh Ox lấy A,A'; trên cạnh Oy lấy B,B' sao

cho: OA.OA ' OB.OB'   . Gọi M là trung điểm AB. Chứng minh: OM  A'B'.

Giải: Xây dựng hệ trục nhƣ hình vẽ.

Gọi A = (a,0), B = (b,0), A' = (0,a'), B' = (0,b'). Từ giả thiết OA.OA ' OB.OB'    aa' = bb'. M trung điểm AB nên M = (a b,

2 2). Xét OM.A 'B' 1aa'+ bb'1 2 2     1 (aa'-bb')=0 2   . Vậy OM A'B'. Hình 2.12

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a.

Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

MA2 + MB2 + MC2 - 3MD2 = 4 2

a 3

 .

Giải: Xây dựng hệ trục nhƣ hình vẽ. Hình 2.13

Trong hệ trục này ta có: A = (0,0), B = (a,0), C = (a,a) và D = (0,a). Giả sử M = (x,y), thay vào đẳng thức giả thiết ta có:

(0 - x)2 + (0 - y)2 + (a - x)2 + (0 - y)2 + (a - x)2 +(a-y)2-3[(0-x)2+(a-y)2 ] = 4 2 a 3   x- y -a 3 = 0. Vậy tập hợp M là đƣờng thẳng có phƣơng trình x – y – a 3 = 0.

Dễ thấy đƣờng thẳng này qua trọng tâm G của ABC và vuông góc với BD. Một bài toán có thể phải sử dựng, kết hợp nhiều phƣơng pháp mới đi đến lời giải, tuỳ vào từng tình huống bài toán cụ thể mà mỗi phƣơng pháp trên có ƣu điểm riêng. Trƣớc bất kỳ bài toán nào, công việc đầu tiên của ngƣời giải toán là từ giả thiết và những yêu cầu của bài toán phải xác định đƣợc:

- Định ra đƣợc phƣơng hƣớng giải.

- Tìm đƣợc phƣơng pháp và công cụ thích hợp để giải.

Để làm đƣợc những việc đó ngƣời ta thƣờng tiến hành một số các biện pháp tìm lời giải sau đây:

- Khai thác triệt để giả thiết bài toán: Nghiên cứu đặc điểm về dạng của bài toán, nghiên cứu các điều kiện đặt ra cho các đại lƣợng và tính chất của các biểu thức có mặt trong bài toán.

- Phân tích, biến đổi đồng thời giả thiết và kết luận của bài toán, làm cho chúng gần nhau hơn, nổi bật mối quan hệ giữa các yếu tố đó.

- Chuyển hóa nội dung bài toán, chẳng hạn từ bất đẳng thức về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, từ bài toán hình học đƣa về giải tích... để thực hiện dễ dàng hơn yêu cầu của bài toán.

- Chuyển hóa hình thức bài toán nhƣ biến đổi giả thiết, kết luận về dạng tƣơng đƣơng, đƣa về dạng lƣợng giác, đại số hay hình học nhằm thực hiện lời giải đƣợc tốt hơn.

- Lựa chọn các công cụ giải toán, sử dụng trong lời giải tối ƣu nhất.