Phát triển tƣ duy sáng tạo toán học cho học sinh ở trƣờng phổ thông

7. Cấu trúc của luận văn

1.3. Phát triển tƣ duy sáng tạo toán học cho học sinh ở trƣờng phổ thông

Toán học có thể xem xét theo hai phƣơng diện. Nếu chỉ trình bày lại những kết quả toán học đã đạt đƣợc thì nó là một khoa học suy diễn và tính lôgic nổi bật lên. Nhƣng nếu nhìn toán học trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi và phát minh, thì trong phƣơng pháp của nó vẫn có tìm tòi, dự đoán, vẫn có thực nghiệm và quy nạp. Nhƣ vậy sự thống nhất giữa suy đoán và suy diễn là một đặc điểm của tƣ duy toán học.

Ngày nay, khi khoa học và công nghệ có những bƣớc phát triển mạnh mẽ, trở thành lực lƣợng sản xuất trực tiếp trong nền kinh tế tri thức, thì mục tiêu giáo dục nói chung và nhiệm vụ phát triển tƣ duy sáng tạo cho thế hệ trẻ nói riêng có vai trò đặc biệt quan trọng. Sứ mệnh của nhà trƣờng hiện đại là phát triển tối ƣu nhân cách của học sinh, trong đó năng lực sáng tạo cần đƣợc bồi dƣỡng để thúc đẩy mọi tài năng.

Môn toán với vị trí của nó trong nhà trƣờng phổ thông, có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện tƣ duy chính xác, hợp lôgic, phƣơng pháp khoa học trong suy nghĩ, lập luận, trong học tập và giải quyết các vấn đề: Biết quan sát, thí nghiệm, mò mẫm, dự đoán, dùng tƣơng tự, quy nạp, chứng minh...và qua đó có tác dụng lớn rèn luyện cho học sinh trí thông minh sáng tạo. Phát triển tƣ duy sáng tạo toán học nằm trong việc phát triển năng lực trí tuệ chung, một nội dung quan trọng của mục đích dạy học môn toán. Mục đích đó cần đƣợc thực hiện có ý thức, có hệ thống, có kế hoạch chứ không phải tự phát. Về phía ngƣời giáo viên, trọng hoạt động dạy học toán cần vạch ra những biện pháp cụ thể và thực hiện đầy đủ một số mặt sau đây:

- Rèn luyện tƣ duy lôgic và ngôn ngữ chính xác. - Phát triển khả năng suy đoán và tƣởng tƣợng.

- Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản, các thao tác tƣ duy nhƣ: Phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, trừu tƣợng hóa.

- Hình thành, rèn luyện những phẩm chất trí tuệ nhƣ: Tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo trong tƣ duy.

KẾT LUẬN CHƢƠNG I

Qua những nội dung đã đề cập trong chƣơng, dựa trên cơ sở lý luận về tƣ duy và tƣ duy sáng tạo, chúng ta thấy: Nếu vận dụng tốt các lý luận này vào giảng dạy, không những phát huy đƣợc sự độc lập suy nghĩ của học sinh, mà còn kích thích đƣợc tƣ duy sáng tạo trong quá trình học tập, nó còn giúp học sinh có thể phát triển năng lực toán học, một thành tố cơ bản của học sinh khá giỏi toán.

Bên cạnh đó, ngƣời giáo viên phải áp dụng những phƣơng pháp dạy học tích cực, khoa học và hợp lý, mang lại cho học sinh sự say mê môn toán, tìm thấy trong toán niềm vui lớn khi đƣợc học tập, qua đó giáo dục các em những phẩm chất đạo đức tốt đẹp khác.

Một điều quan trọng nữa, có thể nói trong dạy học sáng tạo, vai trò của ngƣời thầy hết sức quan trọng. Để trở thành một giáo viên dạy giỏi, ngoài lòng tâm huyết, ngoài sự nỗ lực học tập không ngừng, thì ngƣời thầy giáo cần có và cần biết dạy cho học trò cách tƣ duy sáng tạo. Giáo sƣ Nguyễn Cảnh Toàn nói trong một quyển sách về cách dạy học: Không ai có thể đi dạy cho ngƣời khác cái mà bản thân mình chƣa có, ngƣời thầy không những luôn tự nghiên cứu khoa học mà còn phải là ngƣời thiết kế và thi công đƣợc óc thông minh sáng tạo ở học trò, do đó ngƣời thầy giáo phải là một nhà khoa học chân chính.

Luật giáo dục, chƣơng II, mục 2, điều 23: " Giáo dục trung học phổ thông nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục trung học cơ sở, hoàn thiện học vấn phổ thông và những hiểu biết thông thƣờng về kỹ thuật và hƣớng nghiệp để tiếp tục học Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động". Dù đi theo hƣớng nào cũng luôn cần đến tƣ duy sáng tạo.

CHƢƠNG 2

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP THEO CÁC CHỦ ĐỀ ĐƢỢC GIẢI BẰNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ, TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG NHẰM PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH 2.1. Các định hƣớng phát triển tƣ duy sáng tạo toán học cho học sinh ở trƣờng THPT qua nội dung giải bài tập bằng vectơ và tọa độ trong hình học phẳng

Ở phần trƣớc ta đã nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của vấn đề tƣ duy và tƣ duy sáng tạo. Việc trang bị kiến thức, kỹ năng cơ bản cho học sinh đại trà, đặc biệt bồi dƣỡng tƣ duy nói chung, tƣ duy sáng tạo nói riêng cho học sinh là một quá trình liên tục, trải qua nhiều giai đoạn với những mức độ khác nhau. Điều quan trọng nhất trong dạy học sáng tạo là giải phóng hoạt động tƣ duy của học sinh bằng cách hƣớng hoạt động cho các em, các em tự hoạt động, tự khám phá tìm tòi, phải kết hợp tốt giữa hoạt động học tập và hoạt động nhận thức. Bên cạnh việc nâng dần tính tích cực theo mức độ từ thấp đến cao: Tính tích cực động não, độc lập suy nghĩ đến tích cực sáng tạo, ngƣời thầy cần rèn luyện học trò nâng dần các hoạt động từ dễ đến khó: Theo dõi cách chứng minh, đến hoạt động mò mẫm dự đoán kết quả và cuối cùng tự lực chứng minh. Việc dự đoán, mò mẫm kết quả không chỉ tập cho học sinh phong cách nghiên cứu khoa học, tập các thao tác tƣ duy tiền lôgic cần thiết, mà còn là biện pháp quan trọng nhằm nâng cao tính tích cực của học sinh. Khi tự đƣa ra dự đoán, học sinh sẽ hào hứng và có trách nhiệm hơn trong quá trình tìm tòi lời giải cho kết quả dự đoán của mình.

Để bồi dƣỡng, phát triển tƣ duy sáng tạo toán học cho học sinh, có thể tiến hành theo các phƣơng hƣớng sau:

2.1.1. Rèn luyện năng lực giải toán theo các thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo

A

d1 d2

- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tƣợng hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa và các phƣơng pháp suy luận nhƣ: Quy nạp, suy diễn, tƣơng tự; dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác; điều chỉnh kịp thời hƣớng suy nghĩ nếu gặp trở ngại.

- Suy nghĩ không dập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào trong hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi; có khả năng thóat khỏi ảnh hƣởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phƣơng pháp, những suy nghĩ đã có từ trƣớc.

- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tƣợng quen biết.

Qua cơ sở lý luận tính mềm dẻo trong tƣ duy, ta thấy để giải một bài tập cụ thể có vƣớng mắc, hoặc thấy cách giải còn chƣa hay, thì gợi mở cho học sinh theo các hƣớng trên thì hiệu quả đạt đƣợc sẽ tốt hơn.

Ví dụ.

Cho ABC, biết A = (1,3) và hai trung tuyến có phƣơng trình (d1): x – y + 1 = 0 và (d2): 3x + 2y - 2 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh B,C.

Nếu theo suy nghĩ thông thƣờng, từ giả thiết tính đƣợc trung điểm M của BC, viết phƣơng trình BC qua M, cho MB = MC thì bài toán khá phức tạp, vì phƣơng trình tổng quát một đƣờng thẳng có 3 ẩn, một điểm thuộc một đƣờng thẳng có 2 ẩn. Theo các sách hƣớng dẫn, đa số dùng cách đối xứng A qua trọng tâm G đƣợc A', thì có A'B, A'C song song (d2), (d1), tìm ra B, C. Nhƣng việc nghĩ ra đối xứng A qua G không tự nhiên lắm. Nếu ta mềm dẻo hơn khi tƣ duy về phƣơng trình đƣờng thẳng dƣới dạng tham số, thì từ một điểm trên đƣờng thẳng phụ thuộc 2 ẩn, ta đƣa về sự phụ thuộc một ẩn:

Từ giả thiết  A(d1), A(d2), gọi (d1) là trung tuyến qua đỉnh B, (d2) là trung tuyến qua đỉnh C.

thì tọa độ G là nghiệm của hệ:

x - y +1= 0 3x+ 2y - 2= 0

 

  G = (0,1). Nếu M trung điểm của BC thì:

AG 2GM G A M G G A M G x - x = 2(x - x ) y - y = 2(y - y )         M = ( 1 2  ,0). (d1) có dạng tham số: x = t, y = 1 + t; (d2) có dạng tham số: x = 2t', y = 1-3t'. Vì B(d1), C(d2) nên: B = (t,1+t), C = (2t',1-3t'). Do M trung điểm BC nên ta có: B C M

B C M x x 2x y y 2y         t = -7/5, t' = 1/5. Vậy B = (-7/5,-2/5), C = (2/5,2/5).

+ Tính nhuần nhuyễn: Đƣợc thể hiện rõ nét ở hai đặc trƣng sau:

- Tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán: Khả năng tìm đƣợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau: Đứng trƣớc một vấn đề khi giải quyết, ngƣời có tƣ duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất nhiều phƣơng án khác nhau và từ đó đƣa ra đƣợc phƣơng án tối ƣu.

- Khả năng xem xét đối tƣợng dƣới nhiều khía cạnh khác nhau, có một cách nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tƣợng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiếm diện, cứng nhắc.

Khi thực hành giải toán, để thực hiện đƣợc điều này, ta cần phân tích cho học sinh thấy rõ các bƣớc để giải một bài toán (đã nêu ở phần trên), tìm sự quan hệ gần gũi giữa bài toán đã cho với các bài toán đã biết...Qua đó thể hiện dƣợc tính nhuần nhuyễn của tƣ duy, tính độc lập trong suy nghĩ.

Ví dụ: Cho ABC đều tâm O, điểm M trong tam giác. Kẻ MD, ME, MF lần lƣợt vuông góc với BC, CA, AB. Chứng minh: MD ME MF 3MO

2

  

    . Bài toán này nếu suy nghĩ theo đẳng thức vectơ thông thƣờng sẽ rất khó khăn. Sử dụng các lý luận trên ta thấy: Khi M ≡ O, ta đƣợc đẳng thức cơ bản

A' B C A M D O M B C A F1 D2 D1 E2 F2 E1 E D F

về trọng tâm trong tam giác. Hơn nữa, nếu nhận xét đƣợc tam giác đều thì việc kẻ đƣờng phụ đƣa về bài toán cơ bản sẽ dễ dàng hơn.

Giải: Qua M kẻ các đƣờng thẳng song song với các cạnh  ABC, các đƣờng thẳng này lần lƣợt cắt tại các điểm nhƣ hình vẽ. Dễ thấy ta có các tam giác đều MD1D2, ME1E2, MF1F2 và các hình bình hành MF1AE2, ME1CD2, MD1BF2. Ta có: 1 2 1 2 1 2 1 MD (MD MD ) 2 1 ME (ME ME ) 2 1 MF (MF MF ) 2                        . Cộng từng vế 3 đẳng thức và nhóm ta đƣợc: Hình 2.2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 MD ME MF (MF ME ) (MD MF ) (ME MD ) 2 2 2                   1 1 3 (MA MB MC) .3MO MO 2 2 2        .

Trong cách giải trên thể hiện đƣợc rõ nét tính nhuần nhuyễn của tƣ duy nhƣ đã nêu ở trên. Việc nghĩ ra kẻ các đƣờng phụ nhƣ vậy do đã có những suy nghĩ thấu đáo, nhờ tính chất của tam giác đều, và sự liên tƣởng đến tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng, của trọng tâm tam giác.

Ngoài ra, đối học sinh khá giỏi, đã biết tính chất tâm tỉ cự trong tam giác có thể suy nghĩ theo hƣớng dùng đƣờng cao, cũng thể hiện tính nhuần nhuyễn của tƣ duy: Gọi AA', BB', CC' là các đƣờng cao của ABC.

Đặt S(MBC) = Sa, S(MCA) = Sb, S(MAB) = Sc, S(ABC) = S. Ta có: S .MA S .MB S .MC 0a  b  c   và

a a

MD S 3 S

MD .AA' .AA' . .AO

AA' S 2 S        Tƣơng tự: 3 Sb 3 Sc ME . .BO; MF . .CO 2 S 2 S       . Hình 2.3

I O M N y x A' A M' F1 F2 Từ đó ta có: MD ME MF 3 (S AO S BO S CO)a b c 2S            =

= 3 [S (MO MA) S (MO MB) S (MO MC)]=a b c

2S        

= 3 (Sa Sb S )MOc 3 (S MA S MB S MC)a b c 3 .S.MO 3 MO

2S   2S    2S  2. + Tính độc đáo: Tính độc đáo của tƣ duy đƣợc đặc trƣng bởi các khả năng:

- Khả năng tìm ra những liên tƣởng và những kết hợp mới.

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tƣởng nhƣ không có liên hệ với nhau.

- Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những phƣơng pháp khác.

Ví dụ: Cho M, N là 2 điểm trên một tiếp tuyến (d) bất kỳ của (E):

2 2

2 2

x y + = 1 a b

sao cho mỗi tiêu điểm F1, F2 của (E) nhìn đoạn MN dƣới một góc vuông. Xác định vị trí M,N.

Nếu theo suy nghĩ thông thƣờng, viết phƣơng trình tiếp tuyến (d) tại (x0,y0), rồi cho F1M  F1N, F2M F2N (các sách hƣớng dẫn đều giải theo cách này), rất dài và khó. Nhờ cơ sở lý luận tƣ duy sáng tạo ta có một cách giải độc đáo sau đây, dựa vào ý F1, F2 cùng nhìn MN dƣới 1 góc vuông, gợi cho ta tính chất của tứ giác nội tiếp (chỉ cần xét trƣờng hợp a > b):

Giải: Nếu F1 = (-c,0) và F2 = (c,0) nhìn đoạn MN dƣới một góc vuông thì ta có tứ giác MF1F2N nội tiếp đƣờng kính MN, tâm I là trung điểm MN và bán kính là IF1 = IF2, do đó tâm IOy. Vậy I = (0,n),

2 1

IF c2 + n2, đƣờng tròn (I) có phƣơng trình (I): x2 + (y - n)2 = c2 + n2. Dễ thấy tiếp tuyến (d) có hệ số góc k và qua I = (0,n), nên (d) có phƣơng trình:

y = kx + n  kx – y + n = 0.

Vậy M, N có tọa độ là nghiệm hệ sau: 2 2 2 2 x +(y - n) = c + n y = kx+ n    .

Dùng điều kiện tiếp xúc ở trên và giải hệ, dễ dàng có nghiệm là: x = - a và x = a.

Vậy M, N là các điểm trên 2 tiếp tuyến với (E) tại 2 đỉnh thuộc trục lớn của (E) là A' = (-a,0) và A = (a,0).

Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại, chúng quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ, bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm đƣợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất nhiều phƣơng án khác nhau mà có thể tìm đƣợc những phƣơng án lạ, đặc sắc (tính độc đáo). Các yếu tố cơ bản này lại có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác nhƣ: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề...Tất cả các yếu tố đặc trƣng nói trên cùng góp phần tạo nên tƣ duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con ngƣời.

Hoạt động giải toán là một hoạt động chủ yếu giúp rèn luyện tƣ duy sáng tạo toán học cho học sinh, mỗi dạng bài tập đều có tác dụng nhất định đối với từng thành phần cơ bản của tƣ duy sáng tạo.

2.1.2. Hướng vào rèn luyện các hoạt động trí tuệ của học sinh qua giải các bài tập toán bài tập toán

Các hoạt động trí tuệ trong môn toán có thể kể đến nhƣ: Dự đoán, bác bỏ, lật ngƣợc vấn đề, các thao tác tƣ duy toán học...Rèn luyện cho học sinh những hoạt động đó là khâu quan trọng nhất trong dạy học sáng tạo.

Xét một số bài toán sau đây, rèn luyện khả năng khái quát hóa và tƣơng tự của học sinh:

BT1. Cho 2 điểm A, B phân biệt.

a) Chứng minh tồn tại duy nhất một điểm G sao cho: GA GB 0  b) M ta có: MA MB 2MG  .

Giải: a) Từ đẳng thức GA GB 0   GB BA GB 0   2GB AB . Đẳng thức này chứng tỏ G tồn tại duy nhất, chính là trung điểm AB.