6. Cấu trúc của luận án
2.4. Áp dụng vào bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn Euclide trên
trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu
Trong mục này, chúng tôi sẽ kết hợp Thuật toán 2.1 với kĩ thuật siêu phẳng cắt để thu được thuật toán cho bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn Euclide trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu MNEP(C, f) sau
min{kx−xgk :x ∈Sf} (2.24) ở đó, xg ∈ C là một véc tơ cho trước (thường đóng vai trò là nghiệm phỏng đoán) và Sf là tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f). Bài toán trên nảy sinh khi ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán cân bằng (xem [32]). Như ta đã biết, với các giả thiết(A1),(A2)và(A3), thì tập nghiệm Sf của bài toán cân bằng EP(C, f) là một tập lồi đóng. Cần chú ý rằng, điểm khó khăn nhất của bài toán trên nằm ở chỗ tập chấp nhận được Sf mặc dù là một tập lồi đóng nhưng nó không được cho dưới dạng tường minh như trong dạng chuẩn tắc của bài toán quy hoạch toán học. Theo các tác giả Stephen Boyd và Lieven Vandenberghe trong cuốn sách nổi tiểng Convex Optimization [17] thì MNEP(C, f) không phải là một bài toán tối ưu lồi (xem [17, Section 4.2]).
Trong mục này, ta giả sử rằng các giả thiết (A1), (A2) và (A3) luôn được thỏa mãn.
Thuật toán 2.3.
Bước khởi tạo. Chọn x0 = xg và các tham số ρ >0, η, σ ∈ (0,1).
Bước lặp thứ k (k = 0,1,2, ...). Có xk ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Giải bài toán quy hoạch lồi mạnh
minnf(xk, y) + 1
ρ
h
để thu được nghiệm duy nhất yk.
Nếu xk = yk, lấy uk = xk và chuyển sang Bước 4. Ngược lại, chuyển sang
Bước 2.
Bước 2. Tìm mk là số nguyên dương nhỏ nhất trong các số nguyên dương m thỏa mãn zk,m = (1−ηm)xk +ηmyk : wk,m ∈∂2f(zk,m, zk,m), hwk,m, xk −yki ≥ 1ρhh(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk −xkii. (2.25) Đặt ηk = ηmk, zk =zk,mk, wk =wk,m.
Bước 3. Lấy uk = PCk(xk), với
Ck = {x ∈C : hwk, x−zki ≤ 0}. (2.26)
Bước 4. Xác định hai nửa không gian sau
Bk = {x :kuk −xk ≤ kxk −xk}, (2.27)
Dk ={x: hx−xk, xg−xki ≤ 0} (2.28) và tính
xk+1 =PAk(xg), (2.29) với Ak =Bk ∩Dk ∩C.
Nếu xk+1 =xk, thì dừng thuật toán, xk là nghiệm của bài toán MNEP(C, f). Ngược lại, quay lại Bước lặp thứ k với k được thay bởi k+ 1.
Nhận xét 2.3. Nếu ở Bước lặp thứ k xảy ra xk+1 = xk thì xk là nghiệm của bài toán MNEP(C, f). Thật vậy, thay x bởi xk+1 trong (2.27) ta suy ra
uk = xk = xk+1, kết hợp với (2.26) và (2.25) ta suy ra xk = yk nên xk là nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f). Mà Sf ⊆ Ak, ∀k (ta sẽ chứng minh điều này trong phần đầu chứng minh Định lý 2.1 dưới đây) nên từ (2.29) ta suy ra xk =xk+1 =PSf(xg), hay xk là nghiệm của bài toán MNEP(C, f).
Bổ đề dưới đây cho ta thấy uk gần tập nghiệm Sf hơn xk. Cụ thể ta có
Bổ đề 2.7. Giả sử uk = PCk(xk) và x∗ là một nghiệm bất kì của bài toán cân bằng EP(C, f). Khi đó ta có
kuk −x∗k2 ≤ kxk−x∗k2− kuk −x¯kk2− ηkδ
ρkwkk
2
kxk −ykk4 ∀k. (2.30)
Chứng minh. Bổ đề này được chứng minh một cách tương tự như chứng minh Bổ đề 2.6. Vì vậy, ta chỉ trình bày chứng minh này một cách vắn tắt. Kí hiệu Hk =Hzk và dk =xk−yk.
Theo Bổ đề 2.4 ta có uk =PC∩Hk(¯xk) với x¯k = PHk(xk) và x∗ ∈C ∩Hk, nên từ Bổ đề 2.1 ta có kuk −x¯kk2 ≤ huk −x¯k, uk −x∗i, từ đây suy ra kuk −x∗k2 ≤ kx¯k −x∗k2− kuk −x¯kk2. (2.31) Thay thế ¯ xk =PHk(xk) = xk− hw k, xk −zki kwkk2 wk vào (2.31) ta thu được
kuk −x∗k2 ≤ kxk −x∗k2− kuk −x¯kk2−2hwk, xk −x∗ihw k, xk −zki kwkk2 + hwk, xk −zki2 kwkk2 . Mặt khác do xk = zk +ηkdk, nên bất đẳng thức trên trở thành kuk−x∗k2 ≤ kxk −x∗k2− kuk −x¯kk2+ηkhwk, dki kwkk 2 − 2ηkhw k, dki kwkk2 hwk, xk −x∗i =kxk −x∗k2− kuk −x¯kk2−ηkhw k, dki kwkk 2 − 2ηkhw k, dki kwkk2 hwk, zk −x∗i. (2.32)
Theo quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo và do tính δ-lồi mạnh của hàm h, ta có hwk, xk −yki ≥ 1 ρ h h(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk −xkii ≥ δ ρkxk −ykk2. Vì x∗ ∈Hk nên hwk, zk −x∗i ≥ 0 do đó từ (2.32) ta có thể viết kuk−x∗k2 ≤ kxk −x∗k2− kuk −x¯kk2−ρηkδ kwkk 2 kxk −ykk4.
Định lí 2.2. Giả sử các giả thiết của Định lý 2.1 được thỏa mãn, khi đó dãy {xk} và {uk} sinh bởi Thuật toán 2.3 hội tụ tới nghiệm duy nhất của bài toán
MNEP(C, f).
Chứng minh. Từ Bổ đề 2.7 ta suy ra kuk − x∗k ≤ kxk − x∗k với mọi k và với mọi x∗ ∈ Sf. Do đó, theo định nghĩa của Bk, ta suy ra Sf ⊆ Bk với mọi k. Ta sẽ chứng minh Sf ⊆ Dk bằng quy nạp theo k. Thật vậy, với k = 0
thì D0 = Rn nên khẳng định là đúng. Giả sử Sf ⊆ Dk với k ≥ 0, tức là
hx∗−xk, xg−xki ≤0 ∀ x∗ ∈ Sf. Từ đây ta suy ra Sf ⊆ Ak. Theo định nghĩa xk+1 = PAk(xg), nên ta có hx∗ −xk+1, xk+1−xgi ≤ 0, ∀x∗ ∈ Sf điều này có nghĩa là x∗ ∈Dk+1. Vì vậy ta có Sf ⊆ Dk với mọi k. Kết hợp với Sf ⊆ Bk ta suy ra Sf ⊆ Ak = Bk ∩Dk ∩C, ∀k.
Theo biểu thức xác định của Dk, ta thấy xk = PDk(xg) với mọi k. Bởi vì xk+1 ∈Dk, nên
kxk −xgk ≤ kxk+1−xgk ∀k. (2.33) Tức là{kxk−xgk}là dãy số không giảm, mặt khácxk+1 = PAk(xg)vàSf ⊆ Ak nên kxk+1−xgk ≤ kx∗−xgk với mọi k và với mọi x∗ ∈ Sf, do đó {xk}là dãy bị chặn, kết hợp với (2.33) suy ra giới hạn limkxk −xgk là tồn tại.
Bây giờ ta sẽ chỉ ra{xk}là dãy chính quy tiệm cận (asymptotically regular), tức là, kxk+1− xkk → 0 khi k → ∞. Thật vậy, vì xk ∈ Dk và xk+1 ∈ Dk, mà Dk là tập lồi nên xk+1+xk
mạnh của hàm kxg −.k2 ta có kxg−xkk2 ≤ kxg − x k+1+xk 2 k2 =kx k−xg 2 + xk+1−xg 2 k2 = 1 2kxg−xk+1k2+ 1 2kxg−xkk2− 14kxk+1−xkk2 điều này chỉ ra rằng 1 2kxk+1−xkk2 ≤ kxg−xk+1k2 − kxg−xkk2.
Vì limkxk−xgk tồn tại, nên ta suy ra kxk+1−xkk →0khi k → ∞. Vậy {xk}
là dãy chính quy tiệm cận. Mặt khác ta có,
kxk −ukk= kxk−xk+1+xk+1−ukk ≤ kxk−xk+1k+kxk+1−ukk.
Bởi vì xk+1 ∈ Bk, nên theo định nghĩa của Bk, rút ra được kxk+1− ukk ≤ kxk −xk+1k. Do vậy, ta có
kxk −ukk ≤ kxk−xk+1k+kxk+1−xkk,
kết hợp điều này với kxk+1−xkk →0 ta suy ra kuk −xkk →0 khi k → ∞. Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra bất kì điểm tụ nào của dãy {xk} cũng là nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f).
Thật vậy, gọi x¯ là một điểm tụ bất kì của dãy {xk}. Để đơn giản về mặt kí hiệu, không giảm tổng quát, ta giả sử, xk hội tụ về x¯ khi k → ∞.
Ta xét hai trường hợp có thể xảy ra sau:
Trường hợp 1. Có vô hạn các số k sao cho uk = xk xảy ra ở Bước 1. Trong trường hợp này, rõ ràng, x¯ là nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f).
Trường hợp 2. Chỉ có hữu hạn các số k sao cho uk = xk xảy ra ở Bước 1. Khi đó, theo cách xác định củauk trong thuật toán, chúng ta có thể giả thiết rằng uk =PCk(xk) với mọi k. Áp dụng Bổ đề 2.7 với x∗ ∈Sf, ta có
kuk −x∗k2 ≤ kxk −x∗k2− δηk ρkwkk 2 kxk −ykk4 ∀k, từ đây suy ra δηk ρkwkk 2 kxk −ykk4 ≤ kxk−x∗k − kuk −x∗k kxk −x∗k+kuk −x∗k .
Theo bất đẳng thức tam giác kxk − x∗k − kuk −x∗k ≤ kxk −ukk và từ bất đẳng thức trên ta nhận được δηk ρkwkk 2 kxk −ykk4 ≤ kxk −ukk kxk −x∗k+kuk −x∗k ∀k.
Do dãy{xk}bị chặn nên theo Bổ đề 2.3, dãy {yk} bị chặn và do đó{zk} cũng là dãy bị chặn. Từ đây suy ra {wk} là dãy bị chặn. Kết hợp điều này với dãy
{uk} bị chặn và kuk −xkk → 0 khi k → ∞, nên chuyển qua giới hạn hai vế của bất đẳng thức trên ta thu được limkηkkxk −ykk = 0.
Ta xét hai khả năng sau:
Khả năng 1.lim supkηk > 0. Từ đây ta suy ra tồn tại dãy con{xki} ⊆ {xk},
{yki} ⊆ {yk} sao cho limikxki − ykik = 0. Do đó, bốn dãy {xki},{yki},
{uki},{zki} hội tụ tới cùng một điểm x¯ . Bằng các lý luận tương tự như trên, ta nhận được x¯ là nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f).
Khả năng 2. limkηk = 0. Bởi vì dãy {xk} bị chặn nên theo Bổ đề 2.3 ta suy ra dãy {yk} bị chặn. Do đó, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử yk hội tụ về điểm y. Bởi vì¯ yk là nghiệm của bài toán CP(xk), nên ta có
f(xk, yk) + ρ1hh(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk −xkii
≤f(xk, y) + 1
ρ
h
h(y)−h(xk)− h∇h(xk), y−xkii,∀y ∈C.
Do tính liên tục của hàm f trên C×C và tính khả vi liên tục của hàm h trên C nên chuyển qua giới hạn bất đẳng thức trên khi k → ∞ ta thu được
f(¯x,y¯) + 1ρhh(¯y)−h(¯x)− h∇h(¯x),y¯−x¯ii
≤f(¯x, y) + 1
ρ
h
h(y)−h(¯x)− h∇h(¯x), y −x¯ii,∀y ∈C. (2.34) Mặt khác, theo quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo, thì với số mk −1, phải tồn tại wk,mk−1 ∈ ∂2f(zk,mk−1, zk,mk−1), sao cho
hwk,mk−1, xk −yki< 1
ρ
h
h(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk−xkii.
Chuyển qua giới hạn khi k → ∞ ta suy ra zk,mk−1 hội tụ về x,¯ wk,mk−1 hội tụ về w¯∈ ∂2f(¯x,x¯), do đó bất đẳng thức cuối cùng ở trên trở thành
hw,¯ x¯−y¯i ≤ 1
ρ
h
Do w¯ ∈∂2f(¯x,x¯) nên
f(¯x, y)≥ f(¯x,x¯) +hw, y¯ −x¯i ∀y∈ C.
Đặc biệt là, hw,¯ x¯−y¯i ≥ −f(¯x,y¯). Kết hợp với (2.35) ta thu được
f(¯x,y¯) + 1 ρ h h(¯y)−h(¯x)− h∇h(¯x),y¯−x¯ii ≥0. (2.36) Từ (2.34) và (2.36) ta suy ra 0 ≤f(¯x, y) + 1 ρ h h(y)−h(¯x)− h∇h(¯x), y−x¯ii ∀y∈ C,
do đó x¯ là nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f). Vì kuk −xkk →0, ta suy ra mọi điểm tụ của dãy{uk} cũng là nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f). Cuối cùng ta còn phải chỉ ra {xk} hội tụ vềs = PSf(xg). Giả sử x∗ là một điểm tụ bất kì của dãy {xk}. Khi đó, tồn tại dãy con {xkj} của dãy {xk} sao cho xkj → x∗ khi j → ∞. Theo chứng minh trên ta có x∗ ∈ Sf và từ định nghĩa của s ta suy ra
ks−xgk ≤ kx∗−xgk= lim
j kxkj −xgk ≤lim sup
k kxk −xgk ≤ ks−xgk, bất đẳng thức cuối xảy ra là vì xk+1= PAk(xg) và s∈ Sf ⊆Ak với mọi k. Do vậy, limkxk −xgk = ks−xgk = kx∗ −xgk. Bởi vì x∗ ∈ Sf, s = PSf(xg)
và vì Sf là tập lồi đóng nên hình chiếu của xg lên Sf là duy nhất, ta suy ra x∗ = s, do đó xk → s khi k → ∞. Mà kxk −ukk → 0, nên ta rút ra được uk → s khi k → ∞.
Một trường hợp riêng rất quan trọng của bài toán cân bằng EP(C, f) là bài toán bất đẳng thức biến phân có dạng như sau
Tìm x∗ ∈C : hF(x∗), x−x∗i ≥0 ∀x ∈C,
ở đó F : Ω → Rn. Giả sử F là toán tử liên tục trên Ω và giả đơn điệu trên C theo tập nghiệm SF của bài toán VIP(C, F).
Bằng cách đặt
thì như trong [36] (trang 65) và [49] đã chỉ ra rằng điểm x∗ là nghiệm của bài toán VIP(C, F) khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f) với hàm f được xác định bởi (2.37). Do F liên tục nên f cũng liên tục. Vì F là giả đơn điệu trên C theo tập SF, nên f cũng là giả đơn điệu trên C theo tập Sf.
Bằng cách chọnh(x) =kxk2, thì Thuật toán 2.3 trở thành thuật toán chiếu - siêu phẳng cắt (hybrid projection cutting algorithm) để tìm hình chiếu của điểm xg lên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân MNVIP(C, F). Bài toán này xuất hiện khi ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu (xem [31]).
Thuật toán 2.4.
Bước khởi tạo. Lấy x0 =xg ∈C và chọn các tham số ρ >0, η, σ ∈(0,1).
Bước lặp thứ k, (k = 0,1,2, ...). Có xk, thực hiện các bước sau:
Bước 1. Tính yk =PC(xk − ρ2F(xk)).
Nếu yk =xk, thì lấy uk =xk và chuyển sang Bước 4. Ngược lại, thực hiện
Bước 2.
Bước 2. Tìm mk là số nguyên dương nhỏ nhất trong các số nguyên dương m thỏa mãn zk,m = (1−ηm)xk +ηmyk, hF(zk,m), xk −yki ≥ 1 ρkyk−xkk2. (2.38) Đặt ηk = ηmk, zk = zk,mk Bước 3. Tính uk = PCk(xk), với Ck = {x∈C : hF(zk), x−zki ≤ 0}. (2.39)
Bước 4. Xác định hai nửa không gian sau
Bk = {x :kuk −xk ≤ kxk −xk}, (2.40)
và tính
xk+1 =PAk(xg), (2.42) ở đó Ak = Bk ∩Dk ∩C. Nếu xk+1 = xk, thì dừng thuật toán, xk là nghiệm của bài toán MNVIP(C, f). Ngược lại, quay lạiBước lặp thứ k với k được thay bởi k+ 1.
Áp dụng Bổ đề 2.7 và Định lý 2.2 vào Thuật toán 2.4 ta thu được các hệ quả sau
Hệ quả 2.3. Giả sử bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(C, F) có nghiệm và toán tử F liên tục trên Ω, giả đơn điệu trên C theo tập nghiệm SF của bài toán VIP(C, F), khi đó với mỗi x∗ ∈ SF ta có
kuk −x∗k2 ≤ kxk−x∗k2− kuk −x¯kk2− ηk
ρkF(zk)k
2
kxk −ykk4 ∀k. (2.43)
ở đó Hk ={x∈ Rn :hF(zk), x−zki ≤0} và x¯k = PHk(xk).
Hệ quả 2.4. Giả sử bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(C, F) có nghiệm và toán tử F liên tục trên Ω, giả đơn điệu trên C theo tập nghiệm SF của bài toán VIP(C, F), khi đó các dãy {xk}, {uk} sinh bởi Thuật toán 2.4 hội tụ tới điểm x∗ là hình chiếu của điểm xg lên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(C, F).