6. Cấu trúc của luận án
1.3.Bài toán cân bằng tương đương
Thông thường, khi xem xét, tìm kiếm lời giải cho bài toán cân bằng, ngoài những đặc tính chung của song hàm cân bằng ban đầuf, người ta thường quan tâm đến những khía cạnh đặc biệt thêm vào nào đó của nó, chẳng hạn như tính lồi mạnh của nó theo biến thứ hai, hay tính đơn điệu mạnh của nó, các tính chất này thường giúp cho việc tìm kiếm lời giải trở nên dễ dàng hơn, nói một cách khác, để giải bài toán cân bằng EP(C, f) người ta thường tìm cách đưa về việc giải một bài toán cân bằng EP(C, g) tương đương với nó nhưng dễ giải hơn theo phương pháp tiếp cận tìm kiếm lời giải. Trong mục này ta giả thiết C là một tập lồi trong không gian Rn
Định lí 1.10. (xem [20, Theorem 2.2]) Giả sử C ⊆ Rn là một tập lồi và
f, g : Rn×Rn → R∪ {+∞} là các song hàm sao cho với mỗi x ∈ C cố định, thỏa mãn các điều kiện sau
(a) f(x, x) =g(x, x) = 0;
(b) f(x, .) và g(x, .) là các hàm lồi trên C;
(c) ri dom f(x, .)∩riC 6= ∅ và ri dom g(x, .)∩riC 6= ∅;
(d) S
r>0r∂yf(x, x) =S
s>0s∂yg(x, x).
Khi đó, bài toán cân bằngEP(C, f)tương đương với bài toán cân bằngEP(C, g), tức là Sf =Sg.
Một hệ quả trực tiếp của Định lý 1.10 là nguyên lý bài toàn phụ được đề xuất bởi G. Cohen (xem [22]) cho bài toán bất đẳng thức biến phân và được G. Mastroeni (xem [41]) mở rộng cho bài toán cân bằng.
Hệ quả 1.2. ([41]) Giả sử
(a) f : C×C → R là song hàm cân bằng sao cho f(x, .) lồi và khả vi trên C
với mỗi x∈ C cố định;
(b) l : C ×C → R là hàm không âm sao cho l(x, .) khả vi với mỗi x∈ C và thỏa mãn các điều kiện
l(x, x) = 0, ∇yl(x, x) = 0,∀x ∈C.
Khi đó, x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán EP(C, f) khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán EP(C, fǫ) với fǫ(x, y) = f(x, y) +ǫl(x, y) và ǫ là một số dương bất kì.
Các bổ đề dưới đây cần thiết cho việc xây dựng và chứng minh sự hội tụ của các thuật toán ở các chương sau.
Bổ đề 1.1. ([41]) Giả sử h là một hàm số khả vi liên tục và δ-lồi mạnh trên
C, f : C × C → R là song hàm cân bằng xác định trên C sao cho với mỗi
đó điểm x∗ ∈ C là một nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f) khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán cân bằng sau
Tìm x∗ ∈C :f(x∗, y)+h(y)−h(x∗)−h∇h(x∗), y−x∗i ≥0, ∀y ∈C. (AEP)
Hàm
d(x, y) =h(y)−h(x)− h∇h(x), y−xi
được gọi là hàm Bregman (Bregman function). Hàm Bregman được sử dụng để xây dựng các phép chiếu tổng quát, thường được gọi là phép chiếu d (d- projection), xem chẳng hạn trong [21]. Một trường hợp đặc biệt là khi hàm h(x) = 12kxk2. Trong trường hợp này phép chiếu d trở thành phép chiếu Euclide.
Bổ đề 1.2. ([41]) Với các giả thiết của Bổ đề 1.1 thì điểm x∗ ∈C là nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f) nếu và chỉ nếu
x∗ =argmin{f(x∗, y) +h(y)−h(x∗)− h∇h(x∗), y−x∗i: y ∈C}. (CP)
Cần chú ý rằng hàm f(x, .) là lồi và hàm h là lồi mạnh nên (CP) là một bài toán quy hoạch lồi mạnh, do đó nghiệm của bài toán (CP) luôn luôn tồn tại và duy nhất (xem Định lý 1.6).
Bổ đề 1.3. Giả sử bài toán cân bằng EP(C, f) có nghiệm với f : C ×C →
R∪ {+∞} là song hàm cân bằng xác định trên C sao cho, với mỗi x∈C hàm số f(x, .) là lồi, nửa liên tục dưới trên C, f(., y) là hàm số nửa liên tục trên với mỗi y ∈ C và f là giả đơn điệu trên C theo tập nghiệm Sf của nó. Khi đó, Sf là một tập lồi đóng và ta có
f(x∗, y) ≥ 0 ∀y ∈C khi và chỉ khi f(y, x∗)≤0 ∀y∈ C. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bổ đề 1.3 được chứng minh, chẳng hạn trong các tài liệu tham khảo [36, Proposition 2.1.15], [49], khif là giả đơn điệu và đơn điệu trênC. Trong trường hợp f là giả đơn điệu theo tập Sf, việc chứng minh được tiến hành một cách tương tự.