6. Cấu trúc của luận án
1.4. Bài toán cân bằng hai cấp
Giả sửC là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian HilbertHvàf, g: C×C →
R∪ {+∞} là các song hàm cân bằng xác định trên C. Chúng tôi xét bài toán cân bằng hai cấp (bilevel equilibrium problem) hay bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán cân bằng BEP(C, f, g) sau
Tìm điểm x∗ ∈Sf sao cho g(x∗, y)≥0 ∀y ∈Sf (1.2) ở đó, Sf là tập nghiệm của bài toán cân bằng
Tìm điểm u∈ C sao cho f(u, y)≥ 0 ∀y∈C. (1.3) Bài toán BEP(C, f, g) theo sự hiểu biết của chúng tôi được tác giả A. Moudafi (xem [45]) xét đến đầu tiên và xây dựng phương pháp điểm gần kề cho lớp bài toán này khi các song hàm f, g là đơn điệu trên C. Tuy có dạng đơn giản nhưng bài toán BEP(C, f, g) khá tổng quát vì nó chứa nhiều lớp bài toán quan trọng khác như là các trường hợp riêng của nó, chẳng hạn như:
1.4.1. Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp.
Giả sử C ⊂ H, là tập lồi đóng khác rỗng và các ánh xạ G, F : C → H. Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BVIP(C, F, G) là bài toán
Tìm x∗ ∈ SF sao cho hG(x∗), y−x∗i ≥ 0, ∀y∈ SF, (1.4) ở đó, SF là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân sau
Tìm điểm u∈ C sao cho hF(u), y−ui ≥0, ∀y ∈C. (1.5) Bằng cách đặt g(x, y) = hG(x), y−xi; f(x, y) = hF(x), y−xi, x, y ∈ C, thì bài toán BVIP(C, F, G) trở thành bài toán BEP(C, f, g).
Bài toán BVIP(C, F, G) đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu xây dựng các phương pháp giải (xem [5, 34]), các định lý hội tụ của các thuật toán đưa ra dựa trên tính đơn điệu tổng quát, hay đơn điệu của các ánh xạ G, F.
1.4.2. Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng
Giả sử, C ⊂ H, là tập lồi đóng khác rỗng, ánh xạ G : C → H, và f(x, y) là song hàm cân bằng xác định trên C. Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng VIEP(C, f, G) là bài toán
Tìm x∗ ∈Sf sao cho hG(x∗), y −x∗i ≥0, ∀y ∈Sf (1.6)
ở đó, Sf là tập nghiệm của bài toán cân bằng sau
Tìm điểm u∈ C sao cho f(u, y)≥ 0, ∀y ∈C. (1.7)
Với mỗix, y ∈ Cđặtg(x, y) =hG(x), y−xi,ta đưa được bài toán VIEP(C, f, G)
về bài toán BEP(C, f, g).
Một trường hợp riêng của bài toán VIEP(C, f, G) là khi G(x) =x−xg, trong trường hợp này bài toán VIEP(C, f, G) tương đương với bài toán MNEP(C, f) sau:
min
x∈Sf||x−xg||, (1.8) tức là bài toán tìm hình chiếu của điểm xg xuống tập nghiệm của bài toán cân bằng Sf. Bài toán MNEP(C, f) xuất hiện khi ta áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán cân bằng (xem [32]).
Chương 2
MỘT PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO MỘT LỚP BÀI TOÁN
CÂN BẰNG HAI CẤP
Thông thường, các phương pháp giải bài toán cân bằng được phát triển chủ yếu từ các phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân. Trong các phương pháp đó, phương pháp chiếu (projection method) đóng một vai trò quan trọng vì sự đơn giản và thuận tiện khi tính toán. Ta bắt đầu chương này bằng việc nhắc lại một số thuật toán thuộc loại chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(C, F)
Tìm x∗ ∈ C sao cho hF(x∗), y−x∗i ≥0, ∀y∈ C (2.1) Ký hiệu SF là tập nghiệm của bài toán VIP(C, F). Thuật toán Chiếu cơ bản (Basic Projection Algorithm)(xem [28, Algorithm 12.1.1]) được xác định theo quy tắc lặp sau:
Bước khởi tạo. x0 ∈C, k = 0.
Bước lặp thứ k (k = 0,1,2, ...). Có xk ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Tính xk+1 = PC(xk −F(xk)).
Bước 2. Nếu xk+1 = xk thì dừng, xk là nghiệm.
Ngược lại, thay k bởi k+ 1 và chuyển về Bước lặp thứ k.
Với các điều kiện toán tử F là τ-đơn điệu mạnh và L-Lipchitz trên C thì dãy
{xk} được xác định bởi Thuật toán Chiếu cơ bản hoặc sẽ dừng lại sau một số hữu hạn bước lặp tới nghiệm duy nhất của bài toán VIP(C, F) hoặc sẽ hội tụ tới nghiệm của bài toán VIP(C, F) (xem [28, Theorem 12.1.2]). Bằng phản ví dụ (xem [28, Example 12.1.3]) các tác giả cũng đã chỉ ra rằng thuật toán này
không hội tụ khi toán tửF là đơn điệu trên C.Hay nói cách khác, Thuật toán Chiếu cơ bản không áp dụng được cho lớp bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu.
Để thu được thuật toán chiếu cho lớp toán tử khác, thì Thuật toán Chiếu với độ dài bước thay đổi, một biến thể của thuật toán chiếu, đã được đề xuất, cụ thể ta có:
Thuật toán Chiếu với độ dài bước thay đổi (Projection Algorithm with Variable Steps) (xem [28, Algorithm 12.1.4]) được xác định như sau
Bước khởi tạo. x0 ∈C, k = 0.
Bước lặp thứ k (k = 0,1,2, ...). Có xk ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Tính xk+1 = PC(xk −τkF(xk)).
Bước 2. Nếu xk+1 = xk thì dừng, xk là nghiệm.
Ngược lại, thay k bởi k+ 1 và chuyển về Bước lặp thứ k.
Trong đó τk (k = 0,1,2, ...) là các số dương (đóng vai trò là độ dài bước) và được chọn trong mỗi bước lặp.
Với các giả thiết toán tử F là τ-đơn điệu mạnh ngược (hoặc đồng bức) (co- coercive) trên C (tức là hF(y)−F(x), y−xi ≥τkF(y)−F(x)k2, ∀x, y ∈C) và bài toán VIP(C, F) có nghiệm, bằng cách chọn các tham số τk thỏa mãn
0 < infkτk ≤ supkτk < 2τ, thì dãy {xk} được xác định bởi Thuật toán Chiếu với độ dài bước thay đổi hoặc sẽ dừng lại sau một số hữu hạn bước lặp tới nghiệm của bài toán VIP(C, F) hoặc sẽ hội tụ tới nghiệm của bài toán VIP(C, F) (xem [28, Theorem 12.1.8]).
Hai thuật toán chiếu ở trên, chỉ hội tụ cho lớp toán tử F tương đối hẹp, đó là lớp toán tử Lipchitz, đơn điệu mạnh hoặc lớp toán tử đơn điệu mạnh ngược. Để thu được thuật toán chiếu cho lớp toán tử đơn điệu tổng quát hơn, người ta đã mở rộng Thuật toán Đạo hàm tăng cường (Extragradient Algorithm) của Korpelevich [37] cho bài toán bất đẳng thức biến phân và được gọi là Thuật toán đạo hàm tăng cường (Extragradient Algorithm)hayThuật toán Chiếu kép
(Double Projection Algorithm).
Thuật toán đạo hàm tăng cường (Extragradient Algorithm) (xem [28, Algo- rithm 12.1.9])
Bước khởi tạo. x0 ∈ C, τ >0, k = 0.
Bước lặp thứ k (k = 0,1,2, ...). Có xk ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Tính xk+1/2 = PC(xk −τ F(xk))
Bước 2. Nếu xk+1/2 = xk, thì dừng, xk là nghiệm. Ngược lại, tính xk+1= PC(xk −τ F(xk+1/2)), thay k bởi k+ 1 và chuyển đến Bước lặp thứ k.
Với các giả thiết toán tử F là liên tục Lipchitz với hằng số L và giả đơn điệu trênC theo tập nghiệmSF của nó, bằng cách chọn tham số hiệu chỉnh τ < L1, thì dãy {xk} sinh bởi Thuật toán Đạo hàm tăng cường hội tụ tới nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(C, F) (xem [28, Theorem 12.1.11]).
Điểm ưu việt của Thuật toán Đạo hàm tăng cường là nó có thể áp dụng được cho một lớp rộng lớn các bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu theo tập nghiệm. Lớp toán tử giả đơn điệu này khá tổng quát, vì nó chứa các lớp toán tử giả đơn điệu, đơn điệu, đơn điệu mạnh ngược hay đơn điệu mạnh như là các trường hợp riêng. Mặc dù vậy, nó vẫn còn một số hạn chế như là tại mỗi bước lặp, chúng ta phải tính hai phép chiếu thay vì một phép chiếu như trong các thuật toán trước đó. Trong nhiều trường hợp, tập ràng buộc C không có cấu trúc đặc biệt (như là nửa không gian, đơn hình, hay đa diện lồi, ...) thì việc tìm một hình chiếu tương ứng với việc giải một bài toán quy hoạch PC(x) := argminy∈C ky−xk do đó, về mặt tính toán, thuật toán đạo hàm tăng cường có chi phí tính toán lớn hơn so với các thuật toán trên, điều này dẫn đến chi phí để giải bài toán sẽ rất lớn khi số các bước lặp k lớn. Ngoài ra, thuật toán này cũng đòi hỏi phải biết hằng số Lipchitz L của toán tử F mà trong nhiều trường hợp, khi hằng sốL khó tìm hoặc toán tử F không Lipchitz thì chúng ta không thể áp dụng thuật toán này một cách trực tiếp. Do vậy,
vấn đề đặt ra là cần phải xây dựng các thuật toán mới cho bài toán VIP(C, F) khi toán tử F là giả đơn điệu và không nhất thiết phải có tính Lipchitz, ngoài ra khi thực thi, nó còn phải có số các bước lặp k nhỏ, nhất là trong các trường hợp tập lồi C không có cấu trúc đặc biệt để giảm chi phí tính toán. Để giải quyết những vấn đề này, M. V. Solodov và B. F. Svaiter (xem [59]) đã đề xuất thuật toán (gọi là thuật toán Solodov-Svaiter) bằng cách kết hợp giữa thuật toán chiếu, quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo và kỹ thuật siêu phẳng cắt như sau
Thuật toán Solodov-Svaiter (xem [59, Algorithm 2.1])
Bước khởi tạo. x0 ∈ C, γ, σ ∈(0,1), k = 0.
Bước lặp thứ k (k = 0,1,2, ...). Có xk ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Tính r(xk) = xk−PC(xk−F(xk)). Nếu r(xk) = 0 thì dừng, xk là nghiệm, ngược lại, chuyển sang Bước 2.
Bước 2. Tìm mk là số nhỏ nhất trong các số nguyên dương m thỏa mãn
hF(xk −γmr(xk)), r(xk)i ≥σkr(xk)k2, đặt ηk = γmk, zk =xk −ηkr(xk).
Bước 3. Tính xk+1 = PC∩Hk(xk),
ở đó Hk = {x ∈Rn : hF(zk), x−zki ≤ 0}, thay k bởi k+ 1 và chuyển đến Bước lặp thứ k.
Với giả thiết toán tửF là giả đơn điệu theo tập nghiệm của bài toán VIP(C, F) và liên tục trên Rn thì dãy {xk} sinh bởi Thuật toán Solodov-Svaiter hội tụ tới nghiệm của bài toán VIP(C, F) (xem [59, Theorem 2.1]).
Điểm ưu việt của thuật toán này là nó có thể áp dụng được cho một lớp khá rộng các toán tửF vì nó chỉ cần đòi hỏi tính giả đơn điệu theo tập nghiệm, tính liên tục, mà không cần đòi hỏi tính Lipchitz của toán tửF. Ngoài ra, cũng theo [59] thì nói chung, số các bước lặp giải bài toán VIP(C, F) theo thuật toán này là ít hơn đáng kể so với các thuật toán khác. Tuy nhiên, trong thuật toán này, ở mỗi bước lặp ta phải tính hình chiếu trên tập C∩Hk thay vì trên
C như trong các thuật toán chiếu khác. Vì vậy như các tác giả của [59] đã gợi ý, thuật toán này không nên sử dụng khi tập C có cấu trúc đặc biệt, vì khi thực thi, thuật toán này có thể làm mất đi cấu trúc đặc biệt của C.
Từ những đặc điểm nổi bật của Thuật toán Solodov-Svaiter cho bài toán VIP(C, F) ở trên, dẫn đến việc mở rộng thuật toán này cho bài toán cân bằng EP(C, f) và các bài toán khác là hết sức cần thiết.
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu xây dựng các thuật toán giải bài toán cân bằng, bài toán tối ưu của hàm chuẩn trên tập nghiệm của bài toán cân bằng và tổng quát hơn là bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng. Bằng cách mở rộng thuật toán của Solodov-Svaiter chúng tôi xây dựng thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng giả đơn điệu theo tập nghiệm của nó, chứng minh tính đúng đắn và sự hội tụ của thuật toán đưa ra và áp dụng thuật toán này vào mô hình cân bằng Nash-Cournot trong thị trường điện bán độc quyền. Tiếp theo, chúng tôi kết hợp thuật toán này với các kỹ thuật siêu phẳng cắt để xây dựng phương pháp giải cho bài toán tối ưu của hàm chuẩn trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu và bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng.
Nội dung của chương này dựa trên các bài báo [2], [3] trong Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án.