6. Cấu trúc của luận án
2.5.Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm
nghiệm của bài toán cân bằng
Trong mục này, chúng tôi xây dựng thuật toán cho bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh và Lipschitz trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu. Thuật toán lai ghép giữa thuật toán đạo hàm tăng cường với phương pháp siêu phẳng cắt (the hybrid extragradient-viscosity methods) cho bài toán này đã được đưa ra, chúng tôi chứng minh tính đúng đắn và sự hội tụ của thuật toán đề xuất đồng thời áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp. Cần chú ý rằng, bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn Euclide trên tập nghiệm của bài toán cân bằng mà chúng tôi đã xét ở mục 2.4 có thể
coi là một trường hợp riêng của bài toán này, tuy nhiên nhờ có cấu trúc đặc biệt nên ta xây dựng được thuật toán chiếu siêu phẳng cắt (hybrid projection algorithm) khai thác được cấu trúc đặc biệt của bài toán này, do vậy việc chứng minh sự hội tụ của thuật toán chiếu siêu phẳng cắt mà ta đã xét ở trên đơn giản hơn nhiều so với việc chứng minh sự hội tụ của thuật toán lai ghép giữa thuật toán đạo hàm tăng cường với phương pháp siêu phẳng cắt mà ta xét dưới đây.
2.5.1. Đặt bài toán
Giả sử C là một tập lồi đóng trong không gian Rn và Ω là một tập mở chứa C; G : Ω → Rn và f : Ω×Ω → R lần lượt là các toán tử và song hàm cân bằng xác định trên Ω. Chúng tôi xét bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng VIEP(C, f, G) sau:
Tìm x∗ ∈Sf sao cho hG(x∗), y−x∗i ≥ 0 ∀y ∈Sf, (2.44)
ở đó Sf = {u ∈ C : f(u, y) ≥ 0, ∀y ∈ C}, tức là, Sf là tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f) sau
Tìm u∈ C sao cho f(u, y)≥0 ∀y ∈C. (2.45)
Như thông thường, ta gọi bài toán (2.44) là bài toán cấp trên và (2.45) là bài toán cấp dưới. Bài toán (2.44) là một trường hợp riêng của bài toán cân bằng hai cấp và nó bao hàm nhiều lớp bài toán quan trọng khác như: bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn trên tập nghiệm của bài toán cân bằng MNEP(C, f). Cần chú ý rằng, tập nghiệm Sf của bài toán cấp dưới (2.45) là một tập lồi khi song hàm f thỏa mãn các giả thiết (A1), (A2) và (A3). Tuy nhiên, cái khó khăn chính nằm ở chỗ, mặc dù tập ràng buộc Sf là lồi, nhưng nó không được cho dưới dạng tường minh như trong các dạng chuẩn tắc của bài toán quy hoạch toán học, do đó các
phương pháp hiện có cho bài toán tối ưu lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân không thể áp dụng trực tiếp cho bài toán (2.44).
Trong mục này, chúng tôi xây dựng thuật toán giải bài toán hai cấp (2.44) khi bài toán cấp dưới (2.45) là giả đơn điệu theo tập nghiệm của bài toán cân bằngSf của nó, bằng cách mở rộng phương pháp lai ghép giữa thuật toán đạo hàm tăng cường và phương pháp siêu phẳng cắt (the hybrid extragradient- viscosity methods) được giới thiệu bởi P. E. Maingé cho bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp đơn điệu trong công trình [39] cho bài toán (2.44). Dãy các phép lặp được chứng minh hội tụ về nghiệm duy nhất của bài toán hai cấp (2.44).
2.5.2. Thuật toán chiếu cho bài toán VIEP(C, f, G)
Thuật toán 2.5.
Bước khởi tạo. Chọn x0 ∈ C và các tham số η∈ (0,1), ρ >0.
Bước lặp thứ k (k = 0,1,2, ...). Có xk thực hiện các bước sau:
Bước 1. Giải bài toán quy hoạch lồi mạnh
minnf(xk, y) + 1
ρ
h
h(y)−h(xk)− h∇h(xk), y−xkii: y ∈Co CP(xk)
để thu được nghiệm duy nhất yk.
Nếuyk =xk, thì đặtuk = xk và chuyển tớiBước 4. Ngược lại, chuyển sang
Bước 2.
Bước 2. (Quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo). Tìm mk là số nguyên dương nhỏ nhất trong các số nguyên dương m thỏa mãn
zk,m = (1−ηm)xk +ηmyk, wk,m ∈∂2f(zk,m, zk,m), hwk,m, xk −yki ≥ 1 ρ h h(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk −xkii. (2.46) Bước 3. Đặt ηk = ηmk, zk = zk,mk, wk = wk,mk, Ck ={x ∈C : hwk, x−zki ≤ 0},và tính uk = PCk(xk). (2.47)
Bước 4. Tính xk+1 = PC(uk−λkG(uk)) và chuyển về Bước lặp thứ k với k được thay thế bởi k+ 1.
Nhận xét 2.4.
• Nếu ở Bước 3 của Bước lặp thứ k xảy ra uk = xk, thì xk là nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f). Nếu uk = xk = xk+1 thì xk là nghiệm của bài toán VIEP(C, f, G).
• wk 6= 0 ∀k, thật vậy, ở đầu Bước 2 thì xk 6= yk. Theo quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo và tính δ-lồi mạnh của hàm h, ta có
hwk, xk −yki ≥ ρ1hh(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk −xkii
≥ δ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ρkxk −ykk2 >0.
Tiếp theo, ta nghiên cứu tính đúng đắn và sự hội tụ của Thuật toán 2.5. Một số phần trong các chứng minh dưới đây được dựa trên lược đồ chứng minh trong bài báo [39].
Bổ đề 2.8. Giả sử các giả thiết (A1), (A2), (A3) và (A4) được thỏa mãn, khi đó, quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo (2.46) được xác định đúng đắn theo nghĩa, ở mỗi bước lặp k, tồn tại số nguyên dương m thỏa mãn bất đẳng thức trong (2.46) với mọi wk,m ∈∂2f(zk,m, zk,m), thêm vào đó, với mỗi nghiệm x∗
của bài toán cân bằng EP(C, f), ta có
kxk+1−x∗k2 ≤ kxk −x∗k2− kuk −x¯kk2− ηkδ ρkwkk 2 kxk −ykk4 −2λkhuk −x∗, G(uk)i+λ2kkG(uk)k2 ∀k, (2.48) ở đó x¯k =PH zk(xk).
Chứng minh. Trước tiên, ta chỉ ra tại mỗi bước lặp k đều tồn tại số nguyên dương m0 sao cho
hwk,m0, xk −yki ≥ 1
ρ
h
h(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk −xkii
Thật vậy, giả sử phản chứng rằng, với mọi số nguyên dương m và zk,m = (1−ηm)xk +ηmyk đều tồn tại wk,m ∈ ∂2f(zk,m, zk,m) sao cho
hwk,m, xk −yki< 1
ρ
h
h(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk −xkii.
Vì zk,m → xk khi m → ∞, nên theo Định lý 1.5 (Định lý 24.5 trong [57]),
{wk,m}∞
m=1 là dãy bị chặn. Do đó, không giảm tổng quát ta giả sử wk,m →w¯
với một điểm w¯ nào đó. Chuyển qua giới hạn khi m → ∞, từ zk,m → xk và wk,m →w, theo Bổ đề 2.2, ta suy ra¯ w¯ ∈∂2f(xk, xk) và
hw, x¯ k −yki ≤ ρ1hh(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk −xkii. (2.49) Do w¯ ∈∂2f(xk, xk), nên
f(xk, yk)≥ f(xk, xk) +hw, y¯ k −xki= hw, y¯ k−xki. Kết hợp với (2.49) ta thu được
f(xk, yk) + 1
ρ
h
h(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk −xkii≥ 0,
điều này là mâu thuẫn vì quy tắc tìm kiếm theo tia chỉ thực hiện khi
f(xk, yk) + 1
ρ
h
h(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk −xkii< 0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Do đó, quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo được xác định đúng đắn.
Bây giờ ta chứng minh (2.48). Để đơn giản về mặt kí hiệu, đặtdk =xk−yk, Hk = Hzk. Từ uk = PC∩Hk(¯xk), x∗ ∈ Sf và theo Bổ đề 2.1, x∗ ∈ C ∩Hk, ta suy ra kuk −x¯kk2 ≤ hx∗ −x¯k, uk −x¯ki, kết hợp với kuk −x∗k2 = kx¯k −x∗k2+kuk −x¯kk2+ 2huk−x¯k,x¯k −x∗i, ta thu được kuk −x∗k2 ≤ kx¯k −x∗k2− kuk −x¯kk2. (2.50) Thay thế ¯ xk =PHk(xk) = xk− hw k, xk −zki kwkk2 wk
vào (2.50) ta nhận được kuk−x∗k2 ≤ kxk−x∗k2− kuk −x¯kk2−2hwk, xk −x∗ihw k, xk−zki kwkk2 + hwk, xk−zki2 kwkk2 .
Thế xk −zk =ηkdk vào bất đẳng thức trên ta được
kuk−x∗k2 ≤ kxk −x∗k2− kuk −x¯kk2+ηkhwk, dki kwkk 2 − 2ηkhw k, dki kwkk2 hwk, xk −x∗i =kxk −x∗k2− kuk −x¯kk2−ηkhw k, dki kwkk 2 − 2ηkhw k, dki kwkk2 hwk, zk −x∗i. (2.51)
Mặt khác, theo quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo và tính δ-lồi mạnh của hàm h ta có hwk, xk −yki ≥ 1ρhh(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk −xkii ≥ δρkxk −ykk2, vì x∗ ∈ Hk nên hwk, zk −x∗i ≥0, từ (2.51) ta suy ra kuk −x∗k2 ≤ kxk −x∗k2− kuk −x¯kk2−ρηkδ kwkk 2 kxk −ykk4. (2.52) Ta có, kxk+1−x∗k2 =kPC(uk −λkG(uk))−PC(x∗)k2 ≤ kuk −x∗−λkG(uk))k2 =kuk −x∗k2−2λkhuk −x∗, G(uk)i+λ2kkG(uk)k2, kết hợp với (2.52) ta nhận được kxk+1−x∗k2 ≤ kxk −x∗k2− kuk −x¯kk2− ηkδ ρkwkk 2 kxk −ykk4 −2λkhuk−x∗, G(uk)i+λ2kkG(uk)k2 ∀k. (2.53)
Bổ đề 2.9. Giả sử các giả thiết (A1), (A2), (A3) và (A4) được thỏa mãn thì các dãy {xk},{uk} sinh bởi Thuật toán 2.5 là bị chặn.
Chứng minh. Ta có kxk+1−x∗k= kPC(uk−λkG(uk))−PC(x∗)k ≤ kuk −λkG(uk)−x∗k ≤ k(uk −λkG(uk))−(x∗−λkG(x∗))k+λkkG(x∗)k = k(1−L2λk β )(uk −x∗)−L2λk β ( β L2G−I)uk −( β L2G−I)x∗ k +λkkG(x∗)k ≤ (1−L2λk β )kuk−x∗k+L2λk β Tk +λkkG(x∗)k, (2.54) với Tk = k(Lβ2G−I)uk −(Lβ2G−I)x∗k.
Do toán tử G là Lipschitz với hệ số L và đơn điệu mạnh với hệ số β nên ta có
Tk2 = k β L2(G(uk)−G(x∗))−(uk −x∗)k2 = β 2 L4kG(uk)−G(x∗)k2−2 β L2hG(uk)−G(x∗), uk −x∗i+kuk −x∗k2 ≤ β 2 L2kuk −x∗k2−2β 2 L2kuk −x∗k2+kuk −x∗k2 = (1− β 2 L2)kuk −x∗k2,
do đó Tk ≤ q1− Lβ22kuk −x∗k, kết hợp với (2.54) ta thu được
kxk+1−x∗k ≤(1−λkL 2 β (1− r 1− β2 L2 ))kuk −x∗k+λkkG(x∗)k = (1−λkL 2 β γ)kuk −x∗k+λkkG(x∗)k = (1−γk)kuk −x∗k+γk( β L2γkG(x∗)k), (2.55) ở đó, γ = 1−q1− Lβ22 và γk = λkLβ2γ ∈ (0; 1). Từ (2.52) và (2.55) ta suy ra kxk+1−x∗k ≤(1−γk)kxk −x∗k+γk( β L2γkG(x∗)k).
Bằng quy nạp ta nhận được
kxk+1−x∗k ≤ max{kxk−x∗k, Lβ2γkG(x∗)k} ≤ ...≤ max{kx0−x∗k, Lβ2γkG(x∗)k}. Từ đây ta suy ra dãy {xk} bị chặn, từ (2.52) ta có dãy {uk} cũng bị chặn.
Bổ đề 2.10. Tồn tại một dãy con {xki} ⊂ {xk} hội tụ về một điểm x¯ ∈ C, hơn nữa các dãy {yki},{zki} và {wki} đều bị chặn.
Chứng minh. Bổ đề này có thể được chứng minh dựa vào Bổ đề 2.3, chúng tôi trình bày ở đây một chứng minh khác của nó.
Theo Bổ đề 2.9 ta có dãy {xk} bị chặn, vì C là tập đóng nên tồn tại dãy con {xki} ⊂ {xk} hội tụ về một điểm x¯ ∈ C. Ta sẽ chỉ ra tồn tại hằng số M > 0 sao cho kxki −ykik ≤ M với mọi chỉ số i đủ lớn.
Thật vậy, từ tính δ-lồi mạnh của hàm
fki(.) = ρf(xki, .) +h(.)−h(xki)− h∇h(xki), .−xkii, nên với mỗi s(xki)∈∂fki(xki) và s(yki)∈∂fki(yki) ta có
hs(xki)−s(yki), xki −ykii ≥ δkxki −ykik2, suy ra
hs(xki), xki −ykii ≥ hs(yki), xki −ykii+δkxki −ykik2. (2.56) Theo định nghĩa của yki: yki =argmin{fki(y) : y ∈C}, nên ta có
0∈∂fki(yki) +NC(yki), tức là s(yki)∈ −NC(yki), điều này tương đương với
hs(yki), y−ykii ≥ 0 ∀y ∈ C, đặc biệt là hs(yki), xki −ykii ≥0.
Kết hợp điều này với (2.56) ta được
hs(xki), xki −ykii ≥δkxki −ykik2. Từ đây ta suy ra
kxki −ykik ≤ √1
δ ks(xki)k, ∀s(xki)∈ ∂fki(xki). (2.57) Bởi vì xki → x¯ và dãy {fki} hội tụ điểm trên C về hàm f¯với
¯
nên theo Định lý 1.5 ta suy ra tồn tại số nguyên i0 > 0, đủ lớn sao cho
∂fki(xki)⊂∂f¯(¯x) +B[0; 1], ∀i > i0 (2.58) với B[0; 1] là hình cầu đơn vị đóng có tâm tại 0 và bán kính 1 trong không gian Rn. Mặt khác ta có ∂fki(xki) = ρ∂2f(xki, xki) ∀i và ∂2f¯(¯x) = ρ∂ 2f(¯x,x¯) nên (2.58) trở thành ∂2f(xki, xki)⊂∂2f(¯x,x¯) + 1 ρB[0; 1], ∀i > i0 (2.59) Do tập hợp ∂2f(¯x,x¯) bị chặn, kết hợp với (2.57) và (2.59) ta suy ra dãy số (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
{kxki −ykik} bị chặn. Mà dãy {xki} bị chặn nên ta suy ra dãy {yki} cũng bị chặn. Theo định nghĩa của zki : zki = (1−ηki)xki +ηkiyki nên {zki} cũng bị chặn. Không mất tính tổng quát, ta giả sử zki hội tụ về điểm z¯nào đó. Bởi vì wki ∈∂2f(zki, zki), nên áp dụng Định lý 1.5 một lần nữa, ta suy ra dãy {wki}
bị chặn.
Bổ đề 2.11. Nếu dãy con {xki} ⊂ {xk} hội tụ về một điểm x¯ nào đó và kyki −xkik4( ηki
kwkik)
2 → 0 khi i→ ∞, (2.60)
thì x¯ ∈Sf.
Chứng minh. Ta xét hai trường hợp phân biệt
Trường hợp 1.lim inf ηki
kwkik >0. Từ (2.60), ta suy ralimi→∞kyki−xkik= 0, do đó yki → x¯ và zki → x¯ khi i→ ∞.
Theo định nghĩa của yki ta có
f(xki, y) + ρ1[h(y)−h(xki)− h∇h(xki), y−xkii] ≥f(xki, yki) + 1
ρ[h(yki)−h(xki)− h∇h(xki), yki −xkii], ∀y ∈C dof, hvà ∇h liên tục, nên chuyển qua giới hạn bất đẳng thức trên khi i→ ∞
ta thu được
f(¯x, y) + 1
điều này có nghĩa là x¯∈ Sf.
Trường hợp 2. lim ηki
kwkik = 0. Trong trường hợp này do dãy {wki} bị chặn ta thu được limηki = 0, bởi vậy zki = (1−ηki)xki +ηkiyki → x¯ khi i→ ∞. Không giảm tổng quát, ta giả sử rằng wki → w¯ ∈ ∂2f(¯x,x¯) và yki → y¯ khi i→ ∞. Ta có
f(xki, y) + ρ1[h(y)−h(xki)− h∇h(xki), y−xkii] ≥ f(xki, yki) + 1
ρ[h(yki)−h(xki)− h∇h(xki), yki −xkii] ∀y ∈C. Cho i→ ∞, ta thu được
f(¯x, y) + ρ1[h(y)−h(¯x)− h∇h(¯x), y−x¯i] ≥f(¯x,y¯) + 1
ρ[h(¯y)−h(¯x)− h∇h(¯x),y¯−x¯i] ∀y ∈ C.
Mặt khác, theo quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo (2.46), với số mki −1 tồn tại wki,mki−1 ∈∂2f(zki,mki−1, zki,mki−1) sao cho
hwmki−1, xki −ykii< 1
ρ
h
h(yki)−h(xki)− h∇h(xki), yki −xkiii, (2.61) chuyển qua giới hạn khi i → ∞ và kết hợp với zki,mki−1 → x, w¯ ki,mki−1 →
¯ w ∈∂2f(¯x,x¯), từ (2.61) ta thu được hw,¯ x¯−y¯i ≤ 1ρhh(¯y)−h(¯x)− h∇h(¯x),y¯−x¯ii, do đó 0≤ hw,¯ y¯−x¯i+ 1 ρ h h(¯y)−h(¯x)− h∇h(¯x),y¯−x¯ii, điều này dẫn đến f(¯x,y¯) + 1 ρ h h(¯y)−h(¯x)− h∇h(¯x),y¯−x¯ii ≥0 vì vậy f(¯x, y) + 1 ρ h h(y)−h(¯x)− h∇h(¯x), y−x¯ii ≥0, ∀y ∈C. Tức là x¯ ∈Sf.
Định lí 2.3. Giả sử tập nghiệm Sf của bài toán cân bằng EP(C, f) là khác rỗng và hàm h(.), dãy {λk} thỏa mãn các điều kiện (B1), (B2) tương ứng, thì với các giả thiết (A1), (A2), (A3) và (A4), dãy {xk} sinh bởi Thuật toán 2.5 hội tụ về nghiệm duy nhất x∗ của bài toán VIEP(C, f, G).
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.8 ta có kxk+1−x∗k2− kxk −x∗k2+ ηkδ ρkwkk 2 kxk −ykk4 ≤ −2λkhuk −x∗, G(uk)i +λ2kkG(uk)k2 ∀k. (2.62) Từ Bổ đề 2.9 và tính Lipchitz của toán tử G, ta suy ra các dãy {xk}, {uk} và
{G(uk)} bị chặn, do đó tồn tại các hằng số dương A, B sao cho (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
|huk−x∗, G(uk)i| ≤A, kG(uk)k2 ≤B ∀k. Đặt ak =kxk −x∗k2, kết hợp với bất đẳng thức trên, (2.62) trở thành ak+1−ak + ηkδ ρkwkk 2 kxk −ykk4 ≤2λkA+λ2kB. (2.63) Ta xét hai trường hợp phân biệt:
Trường hợp 1. Tồn tại số k0 sao cho {ak} là dãy giảm khi k ≥k0.
Khi đó, do ak ≥0 ∀k nên tồn tại giới hạn limk→∞ak = a, lấy giới hạn hai vế của (2.63) ta nhận được lim k→∞ ηkδ ρkwkk 2 kxk −ykk4 = 0. (2.64) Thêm vào đó, kxk+1−ukk=kPC(uk −λkG(uk))−PC(uk)k ≤ kuk −λkG(uk)−ukk =λkkG(uk)k →0 khi k → ∞. (2.65)
Từ đây suy ra limk→∞kuk −x∗k2 = limk→∞kxk+1−x∗k2 = a.
Do {uk} bị chặn, nên tồn tại dãy con {uki} ⊂ {uk} sao cho uki → u¯ ∈ C và
lim infhuk −x∗, G(x∗)i= limi→∞huki −x∗, G(x∗)i. Kết hợp điều này với (2.64) và (2.65) ta thu được
xki+1 → u¯ và ηki+1δ ρkwki+1k
2
Theo Bổ đề 2.11 ta có u¯∈ Sf. Do đó
lim inf
k→∞ huk −x∗, G(x∗)i= lim
i→∞huki −x∗, G(x∗)i= hu¯−x∗, G(x∗)i ≥ 0. Bởi vì G là β-đơn điệu mạnh, nên
huk −x∗, G(uk)i=huk −x∗, G(uk)−G(x∗)i+huk −x∗, G(x∗)i ≥βkuk −x∗k2+huk −x∗, G(x∗)i.
Chuyển qua giới hạn khi k → ∞ và vì a = limkuk−x∗k2 ta thu được
lim inf
k→∞ huk −x∗, G(uk)i ≥βa. (2.66)