6. Cấu trúc của luận án
2.2. Thuật toán chiếu cho bài toán cân bằng
Thuật toán 2.1
Bước khởi tạo. Chọn x0 ∈ C và các tham số chính quy η ∈(0,1), ρ >0.
Bước lặp thứ k (k = 0, 1, 2, ...). Có xk ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Giải bài toán quy hoạch lồi mạnh
minnf(xk, y) + 1
ρ
h
h(y)−h(xk)− h∇h(xk), y −xkii : y ∈Co CP(xk)
thu được nghiệm duy nhất yk.
Nếu f(xk, yk) + ρ1hh(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk−xkii ≥0, thì dừng thuật toán: xk là một nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f). Ngược lại, thực hiện
Bước 2 (quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo). Tìm số nguyên dương mk nhỏ nhất trong các số nguyên dương m thỏa mãn
zk,m = (1−ηm)xk+ηmyk, wk,m ∈∂2f(zk,m, zk,m), hwk,m, xk −yki ≥ 1 ρ h h(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk −xkii. (2.5) Bước 3. Đặt ηk := ηmk, zk := zk,mk, wk := wk,mk, Ck := {x ∈C :hwk, x−zki ≤0}, và tính xk+1 := PCk(xk), (2.6) rồi chuyển sang Bước lặp thứ k với k được thay bằng k+ 1.
Nhận xét 2.1.
• Nếu thuật toán dừng lại ở Bước 1 của Bước lặp thứ k, tức là,
f(xk, yk) + 1 ρ h h(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk−xkii ≥0, thì f(xk, y) + 1 ρ h h(y)−h(xk)− h∇h(xk), y−xkii≥ 0 ∀y ∈C.
Do đó, theo Bổ đề 1.1, xk là nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f). • wk 6= 0 ∀k, thật vậy, ở đầu Bước 2 ta có xk 6= yk. Theo quy tắc tìm kiếm
theo tia Armijo và do hàm h lồi mạnh với hệ số δ, ta có hwk, xk −yki ≥ 1 ρ h h(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk −xkii ≥ ρδkxk −ykk2. Mặt khác ta có hwk, xk −yki ≤ kwkkkxk−ykk.
Kết hợp với bất đẳng thức trên ta thu được
• Để áp dụng quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo, ở Bước lặp thứ k, với mỗi số nguyên dương m, ta kiểm tra bất đẳng thức
hwk,m, xk −yki ≥ 1
ρ
h
h(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk −xkii
với một dưới đạo hàm nào đó (mà ta tìm được) wk,m ∈∂2f(zk,m, zk,m).
Nếu bất đẳng thức này được nghiệm đúng thì m là số cần tìm. Ngược lại, ta tăng m lên một đơn vị và kiểm tra lại bất đẳng thức trên với
wk,m ∈ ∂2f(zk,m, zk,m) ứng với số nguyên dương m mới. Bổ đề 2.6 dưới đây sẽ chỉ ra rằng, với mỗi bước lặp thứ k, tồn tại một số m > 0 sao cho bất đẳng thức trong quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo được thỏa mãn với mọi wk,m ∈ ∂2f(zk,m, zk,m). Do vậy, khi thực hiện quy tắc tìm kiếm theo tia, ở mỗi bước ta chỉ cần tính một dưới đạo hàm của hàm f.
Bây giờ ta chứng minh tính đúng đắn và sự hội tụ của thuật toán trên.
Bổ đề 2.6. Giả sử song hàm f thỏa mãn các giả thiết (A1), (A2) khi đó, quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo (2.5) được xác định tốt theo nghĩa, ở mỗi bước lặp thứ k, tồn tại một số nguyên dương m thỏa mãn bất đẳng thức trong (2.5) với mọi wk,m ∈ ∂2f(zk,m, zk,m), thêm vào đó, nếu song hàm f thỏa mãn giả thiết (A3), thì với mỗi nghiệm x∗ của bài toán cân bằng EP(C, f), ta có
kxk+1−x∗k2 ≤ kxk −x∗k2− kxk+1−x¯kk2− ρηkδ kwkk 2 kxk −ykk4 ∀k, (2.8) ở đó x¯k =PH zk(xk).
Chứng minh. Trước tiên ta sẽ chỉ ra tồn tại một số nguyên dương m0 sao cho
hwk,m0, xk −yki ≥ 1
ρ
h
h(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk −xkii,
∀wk,m0 ∈∂2f(zk,m0, zk,m0).
Thật vậy, giả sử phản chứng rằng, với mọi số nguyên dương m và zk,m = (1−ηm)xk +ηmyk đều tồn tại wk,m ∈ ∂2f(zk,m, zk,m) sao cho
hwk,m, xk −yki< 1
ρ
h
h(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk −xkii.
Do zk,m → xk khi m → ∞, theo Định lý 1.5, ta suy ra dãy {wk,m}∞m=1 bị chặn. Vì vậy, không mất tính tổng quát, ta giả sử wk,m → w¯ với một véc tơ
¯
w nào đó. Chuyển qua giới hạn khi m→ ∞, thì từ zk,m → xk, wk,m → w, và¯
kết hợp với Bổ đề 2.2, ta suy ra w¯ ∈ ∂2f(xk, xk) và hw, x¯ k −yki ≤ ρ1hh(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk −xkii. (2.9) Vì w¯ ∈∂2f(xk, xk), nên ta có f(xk, yk)≥ f(xk, xk) +hw, y¯ k −xki= hw, y¯ k−xki. Kết hợp với (2.9) ta suy ra f(xk, yk) + 1 ρ h h(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk −xkii≥ 0,
điều này mâu thuẫn với sự thật là quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo chỉ thực hiện khi
f(xk, yk) + 1
ρ
h
h(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk −xkii< 0.
Bây giờ ta chứng minh (2.8). Để đơn giản về mặt kí hiệu, ta đặt dk :=
xk −yk, Hk := Hzk. Bởi vì xk+1 = PC∩Hk(¯xk) và x∗ ∈ Sf, theo Bổ đề 2.1, ta suy ra x∗ ∈ C∩Hk, do đó theo Mệnh đề 1.1 ta suy ra
kxk+1−x¯kk2 ≤ hx∗ −x¯k, xk+1−x¯ki, kết hợp điều này với
kxk+1−x∗k2 = kx¯k −x∗k2 +kxk+1−x¯kk2+ 2hxk+1−x¯k,x¯k −x∗i ta thu được kxk+1−x∗k2 ≤ kx¯k −x∗k2− kxk+1−x¯kk2. (2.10) Thế ¯ xk =PHk(xk) = xk− hw k, xk −zki kwkk2 wk vào (2.10) ta thu được
kxk+1−x∗k2 ≤ kxk −x∗k2− kxk+1−x¯kk2−2hwk, xk −x∗ihw
k, xk −zki kwkk2
+ hwk, xk −zki2 kwkk2 .
Thay xk =zk +ηkdk vào bất đẳng thức trên ta nhận được kxk+1−x∗k2 ≤ kxk −x∗k2− kxk+1−x¯kk2+ηkhwk, dki kwkk 2 − 2ηkhw k, dki kwkk2 hwk, xk−x∗i =kxk −x∗k2− kxk+1−x¯kk2−ηkhw k, dki kwkk 2 − 2ηkhw k, dki kwkk2 hwk, zk−x∗i. (2.11)
Thêm vào đó, theo quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo và sử dụng tính δ-lồi mạnh của hàm h ta có hwk, dki= hwk, xk −yki ≥ 1 ρ h h(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk−xkii ≥ δρkxk −ykk2. Mặt khác, theo Bổ đề 2.1 ta có x∗ ∈ Hk, nên hwk, zk −x∗i ≥ 0 và do đó, từ (2.11) suy ra kxk+1−x∗k2 ≤ kxk −x∗k2− kxk+1−x¯kk2−ρηkδ kwkk 2 kxk −ykk4. Đó là điều phải chứng minh.
Định lí 2.1. Giả sử bài toán cân bằng EP(C, f) có nghiệm và song hàm f
liên tục theo cả hai biến trênΩ. Khi đó, nếu các giả thiết (A2), (A3) được thỏa mãn thì dãy {xk} sinh bởi Thuật toán 2.1 hội tụ về một nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f).
Chứng minh. Giả sửx∗ là một nghiệm nào đó của bài toán cân bằng EP(C, f). Theo Bổ đề 2.6 ta có
kxk+1−x∗k2 ≤ kxk −x∗k2− kxk+1−x¯kk2− ηkδ
ρkwkk
2
kxk −ykk4, (2.12) do đó, {kxk−x∗k} là dãy số không âm đơn điệu giảm, nên hội tụ. Vì vậy, dãy
{xk} bị chặn, theo Bổ đề 2.3, ta suy ra dãy {yk} bị chặn, và do đó {zk} cũng là dãy bị chặn. Từ Định lý 1.5 ta suy ra dãy {wk} cũng bị chặn, nên lấy giới hạn hai vế của (2.12) ta nhận được
lim
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1. lim supk→∞ηk > 0. Trong trường hợp này, tồn tại số η >¯ 0 và dãy con {ηki} ⊂ {ηk} sao cho ηki >η¯∀i, và do đó, từ (2.13), ta có
lim
i→∞kxki −ykik= 0. (2.14) Do dãy {xk} bị chặn, nên không mất tính tổng quát, ta giả sử xki hội tụ tới
¯
x khi i → ∞. Từ (2.14) ta suy ra yki → x¯ khi i → ∞, và do đó zki → x¯ khi i→ ∞.
Theo định nghĩa của yki, ta có
f(xki, y) + 1ρhh(y)−h(xki)− h∇h(xki), y−xkiii≥ ≥f(xki, yki) + 1
ρ
h
h(yki)−h(xki)− h∇h(xki), yki −xkiii ∀y∈ C. Do tính liên tục của các hàmf, h, ∇h, nên chuyển qua giới hạn bất đẳng thức trên khi i→ ∞, ta thu được
f(¯x, y) + 1ρhh(y)−h(¯x)− h∇h(¯x), y−x¯ii ≥ ≥ f(¯x,x¯) + 1 ρ h h(¯x)−h(¯x)− h∇h(¯x),x¯−x¯ii. Vì vậy f(¯x, y) + 1 ρ h h(y)−h(¯x)− h∇h(¯x), y −x¯ii≥ 0 ∀y∈ C.
Điều này dẫn đếnx¯ là nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f). Áp dụng (2.12) với x∗ = ¯x ta nhận được dãy {kxk −x¯k} hội tụ. Mà kxki −x¯k →0, ta suy ra cả dãy {xk} hội tụ về x¯∈ Sf.
Trường hợp 2. limk→∞ηk = 0. Theo cách xây dựng thuật toán ta có zk = (1−ηk)xk +ηkyk.
Cũng giống như trong Trường hợp 1, ta giả sử rằng dãy con {xki} ⊂ {xk} hội tụ về x. Theo Bổ đề 2.3 ta có¯ {yk} là dãy bị chặn. Do đó, không giảm tổng quát, ta giả sử dãy {yki} hội tụ về một điểm y¯ nào đó. Theo định nghĩa của yki ta có thể viết f(xki, yki) + ρ1hh(yki)−h(xki)− h∇h(xki), yki −xkiii ≤f(xki, y) + 1 ρ h h(y)−h(xki)− h∇h(xki), y −xkiii, ∀y ∈C.
Chuyển qua giới hạn khi i → ∞, do tính nửa liên tục dưới của hàm f(., .) và nửa liên tục trên của hàm f(., y) ta có
f(¯x,y¯) + 1ρhh(¯y)−h(¯x)− h∇h(¯x),y¯−x¯ii
≤f(¯x, y) + 1
ρ
h
h(y)−h(¯x)− h∇h(¯x), y −x¯ii ∀y ∈C. (2.15) Mặt khác, theo quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo (2.5), với số mki −1, tồn tại wki,mki−1 ∈∂2f(zki,mki−1, zki,mki−1) sao cho
hwki,mki−1, xki −ykii< 1
ρ
h
h(yki)−h(xki)− h∇h(xki), yki −xkiii. Bởi vì ηki → 0 khi i → ∞ nên zki,mki−1 → x¯ khi i → ∞, do đó theo Định lý 1.5 ta suy ra {wki,mki−1} là dãy bị chặn. Kết hợp điều này với Bổ đề 2.2 ta có thể giả thiết thêm rằng wki,mki−1 → w¯ ∈ ∂2f(¯x,x¯), và do vậy, chuyển qua giới hạn khi i→ ∞ bất đẳng thức ở trên trở thành
hw,¯ x¯−y¯i ≤ 1ρhh(¯y)−h(¯x)− h∇h(¯x),y¯−x¯ii. (2.16) Vì w¯ ∈ ∂2f(¯x,x¯) nên f(¯x, y) ≥ f(¯x,x¯) + hw, y¯ − x¯i ∀y ∈ C, đặc biệt là
hw,¯ x¯−y¯i ≥ −f(¯x,y¯). Kết hợp điều này với (2.16) ta nhận được
f(¯x,y¯) + 1 ρ h h(¯y)−h(¯x)− h∇h(¯x),y¯−x¯ii ≥0. (2.17) Từ (2.15) và (2.17) ta suy ra 0≤f(¯x, y) + 1 ρ h h(y)−h(¯x)− h∇h(¯x), y−xkiii ∀y ∈C,
điều này chỉ ra x¯ là nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f). Bây giờ ta áp dụng (2.12) với x∗ = ¯x, bằng các lý luận giống như trong Trường hợp 1, ta suy ra dãy {xk} hội tụ về x¯ ∈Sf.
Xét một trường hợp riêng rất quan trọng của bài toán cân bằng EP(C, f) là bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(C, F) có dạng như sau
ở đó F : Rn → Rn. Giả sử F là toán tử liên tục trên Rn và giả đơn điệu trên C theo tập nghiệm SF của bài toán VIP(C, F).
Bằng cách đặt
f(x, y) =hF(x), y−xi, (2.18) thì như ta đã biết (xem [36] trang 65, [49]) điểm x∗ là nghiệm của bài toán VIP(C, F) khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f) với hàm f được xác định bởi (2.18). Do F liên tục nên f cũng liên tục trên Rn và vì F là giả đơn điệu trên C theo tập SF, nên f cũng là giả đơn điệu trên C theo tập Sf.
Trong trường hợp này, ta có ∂2f(x, x) = F(x), bằng cách chọn h(x) = kxk2, thì Thuật toán 2.1 trở thành Thuật toán 2.2 sau:
Thuật toán 2.2. Lấy x0 ∈C và chọn các tham số ρ > 0, η ∈(0,1). Ở bước lặp thứ k (k = 0,1,2, ...). Có xk, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Tính yk =PC(xk − ρ2F(xk)).
Nếu yk = xk, thì dừng, xk là nghiệm của bài toán VIP(C, F), ngược lại chuyển sang Bước 2.
Bước 2. Tìm mk là số nguyên dương nhỏ nhất trong các số nguyên dương m thỏa mãn
hF(zk,m), xk−yki ≥ 1ρkyk −xkk2, (2.19) ở đó, zk,m = (1−ηm)xk +ηmyk. Đặt ηk = ηmk, zk = zk,mk.
Bước 3. Tính xk+1 =PCk(xk), với
Ck = {x∈C : hF(zk), x−zki ≤ 0}. (2.20) Tăng k lên 1 đơn vị và quay về Bước 1.
Áp dụng Bổ đề 2.6 và Định lý 2.1 vào Thuật toán 2.2 ta thu được các kết quả sau
Hệ quả 2.1. Giả sử bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(C, F) có nghiệm và hàm F là liên tục trên Rn, giả đơn điệu trên C theo tập nghiệmSF của nó, khi đó với mỗi x∗ ∈ SF ta có
kxk+1−x∗k2 ≤ kxk−x∗k2−kxk+1−x¯kk2− ηk
ρkF(zk)k
2
kxk−ykk4 ∀k, (2.21)
Hệ quả 2.2. Giả sử bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(C, F) có nghiệm và hàm F là liên tục trên Rn, giả đơn điệu trên C theo tập nghiệmSF của nó, khi đó dãy {xk} sinh bởi Thuật toán 2.2 hội tụ tới một nghiệm của Bài toán
VIP(C, F).
Nhận xét 2.2. Thuật toán 2.2 được đề xuất bởi M. V. Solodov và B. F. Svaiter trong bài báo [60]. Các Hệ quả 2.1 và Hệ quả 2.2 cũng được chứng minh trong bài báo đó.
2.3. Áp dụng vào bài toán cân bằng Nash-Cournot trong mô hình cân bằng thị trường điện bán độc quyền
Trong mục này, chúng tôi áp dụng Thuật toán 2.1 để giải bài toán cân bằng Nash-Cournot trong mô hình cân bằng thị trường điện bán độc quyền. Mô hình này đã được nghiên cứu trong các công trình (xem [23, 56]). Để thực thi thuật toán đã đưa ra, chúng tôi lấy dữ liệu trong [56]. Trong trường hợp này, chúng tôi có nc công ty sản xuất điện, công ty thứ i (i = 1,2, ..., nc) sở hữu Ii nhà máy phát điện. Gọi ng là tổng số tất cả các nhà máy phát điện và gọi x là véc tơ có các thành phần là xi,(i = 1,2, ..., ng), với xi là lượng điện năng được sản xuất bởi nhà máy phát điện thứ i. Cũng như trong các bài báo [23, 56] chúng tôi giả sử rằng, giá điện p là một hàm aphin không tăng của σ, với σ = Png
i=1xi là tổng lượng điện năng sản xuất được của tất cả các nhà máy phát điện (điều này có nghĩa là sản xuất càng nhiều điện thì giá điện càng giảm), cụ thể là p(x) = 378.4−2 ng X i=1 xi =p(σ).
Khi đó, lợi nhuận của công ty thứ i được cho bởi fi(x) = p(σ)X j∈Ii xj − X j∈Ii cj(xj).
với cj(xj) là chi phí của nhà máy j khi sản xuất lượng điện năng ở mức xj. Cũng như trong [56] ta giả sử hàm chi phí cj(xj) được cho bởi
cj(xj) = max{c0j(xj), c1j(xj)} trong đó c0j(xj) = α 0 j 2 x 2 j +βj0xj +γj0, c1j(xj) =α1jxj + β 1 j βj1+ 1γ −1/βj1 j (xj)(βj1+1)/β1j, và αkj, βjk, γjk (k = 0,1) là các tham số cho trước.
Gọi xminj và xmaxj là lượng điện năng nhỏ nhất và lớn nhất (tương ứng) có thể sản xuất được bởi nhà máy phát điện thứ j. Khi đó tập chiến lược của mô hình được xác định dưới dạng C ={x = (x1, ..., xng)T : xminj ≤ xj ≤xmaxj ∀j = 1,2, ..., ng}. Gọi qi = (qi1, ..., qnig)T với qij = 1 nếu j ∈Ii 0 trong các trường hợp khác và định nghĩa A= 2 nc X i=1 (1−qi)(qi)T, B = 2 nc X i=1 qi(qi)T, (2.22) a= −387.4 nc X i=1 qi, c(x) = ng X j=1 cj(xj). (2.23) Khi đó mô hình cân bằng bán độc quyền ở trên có thể được đưa về bài toán cân bằng sau (xem [56, Lemma 7])
Tìm điểm x∗ ∈C sao cho:
Chúng tôi đã chạy thử Thuật toán 2.1 cho bài toán này với các dữ liệu tương ứng với mô hình đầu tiên trong bài báo [23], cụ thể là số các công ty (Com.) là ba (nc = 3), và số các nhà máy phát (Gen.) là sáu (ng = 6), công ty thứ nhất có một nhà máy phát là {1}, công ty thứ hai có hai nhà máy phát là {2,3}, công ty thứ ba có ba nhà máy phát là {4,5,6}. Giá trị của các tham số được cho trong Bảng 2.1 và Bảng 2.2.
Com. Gen. xgmin xgmax xcmin xcmax
1 1 0 80 0 80 2 2 0 80 0 130 2 3 0 50 0 130 3 4 0 55 0 125 3 5 0 30 0 125 3 6 0 40 0 125
Bảng 2.1: Cận dưới và cận trên của sản lượng điện sản xuất bởi các nhà máy phát điện. Gen. α0j βj0 γj0 α1j βj1 γj1 1 0.0400 2.00 0.00 2.0000 1.0000 25.0000 2 0.0350 1.75 0.00 1.7500 1.0000 28.5714 3 0.1250 1.00 0.00 1.0000 1.0000 8.0000 4 0.0116 3.25 0.00 3.2500 1.0000 86.2069 5 0.0500 3.00 0.00 3.0000 1.0000 20.0000 6 0.0500 3.00 0.00 3.0000 1.0000 20.0000
Bảng 2.2: Các giá trị của tham số chi phí khi sản xuất ra mỗi đơn vị điện.
Chúng tôi đã tiến hành thực hiện Thuật toán 2.1 bằng ngôn ngữ lập trình