6. Cấu trúc của luận án
2.1. Đặt bài toán
Giả sửΩ ⊆Rn là một tập lồi mở chứa tập lồi đóng C vàf : Ω×Ω→ R là song hàm cân bằng xác định trên C, tức là f(x, x) = 0 với mọi x∈C; G: Ω →Rn là toán tử xác định trên Ω. Trong chương này, chúng tôi sẽ xây dựng thuật toán giải các bài toán sau:
• Bài toán cân bằng EP(C, f)
Tìm x∗ ∈C sao cho f(x∗, y)≥ 0, ∀y∈ C. EP(C, f)
• Bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn Euclide trên tập nghiệm của bài toán cân bằng MNEP(C, f)
min{kx−xgk: x∈ Sf}, MNEP(C, f)
với xg ∈ C là một điểm cho trước, đóng vai trò như một lời giải tiên nghiệm.
• Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng VIEP(C, f, G)
Tìm x∗ ∈Sf sao cho hG(x∗), y−x∗i ≥0 ∀y ∈Sf. VIEP(C, f, G)
Trong chương này, chúng tôi sử dụng các giả thiết sau:
(A1) Hàm f(., y) liên tục trên Ω với mỗi y ∈C;
(A2) Hàm f(x, .) là lồi trên Ω với mỗi x ∈C;
(A3) Hàm f là giả đơn điệu trên C theo tập nghiệm Sf của bài toán cân bằng EP(C, f);
(A4) Toán tử G là L-Lipschitz và β-đơn điệu mạnh trên C;
(B1) Hàm h(.) là δ-lồi mạnh và khả vi liên tục trên Ω;
(B2) {λk} là một dãy số dương sao cho P∞
k=0λk =∞ và P∞
k=0λ2k <∞.
Với mỗiz ∈C, ta kí hiệu∂2f(z, z)là tập các dưới đạo hàm của hàm f(z, .)
tại điểm z, tức là
∂2f(z, z) ={w ∈Rn : f(z, y)≥f(z, z) +hw, y−zi, ∀y ∈C} = {w ∈Rn : f(z, y)≥ hw, y−zi, ∀y ∈C},
và với mỗi z ∈ C, w ∈∂2f(z, z), ta định nghĩa nửa không gian Hz như sau
Hz ={x∈ Rn : hw, x−zi ≤ 0}. (2.2) Bổ đề sau đây cho ta mối quan hệ giữa tập nghiệm Sf của bài toán cân bằng EP(C, f) và nửa không gian Hz.
Bổ đề 2.1. Giả sử song hàm f thỏa mãn các giả thiết (A2) và (A3), khi đó ta có Sf ⊆ Hz với mọi z ∈C.
Chứng minh. Giả sử x∗ ∈ Sf. Theo giả thiết w ∈ ∂2f(z, z) và hàm f(z, .) là lồi trên C nên ta có
hw, x∗−zi ≤f(z, x∗)−f(z, z)≤f(z, x∗) ∀y∈ C.
Vì x∗ ∈ Sf nên f(x∗, z)≥0. Kết hợp điều này với giả thiết song hàm f là giả đơn điệu theo x∗ trên C nên ta có f(z, x∗)≤ 0. Do đó hw, x∗ −zi ≤0, từ đó suy ra x∗ ∈ Hz.
Bổ đề 2.2. Giả sử các giả thiết (A1) và (A2) được thỏa mãn và {zk} ⊂ C là một dãy hội tụ về z¯ sao cho {wk} hội tụ về w¯, với wk ∈ ∂2f(zk, zk) với mọi
k, khi đó ta có w¯ ∈∂2f(¯z,z¯).
Chứng minh. Thật vậy, nếu wk ∈ ∂2f(zk, zk), thì theo định nghĩa dưới đạo hàm ta có
f(zk, y)≥f(zk, zk) +hwk, y−zki=hwk, y−zki ∀y∈ C.
Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức trên khi k → ∞ và do tính nửa liên tục trên của hàm f(., y) theo biến thứ nhất ta thu được
f(¯z, y)≥ lim sup
k→∞
f(zk, y)≥ lim
k→∞hwk, y−zki=hw, y¯ −z¯i ∀y∈ C. Kết hợp điều này với f(¯z,z¯) = 0, ta thu được w¯ ∈∂2f(¯z,z¯).
Bổ đề 2.3. Giả sử song hàm f thỏa mãn các giả thiết (A1), (A2), hàmh thỏa mãn giả thiết (B1). Nếu {xk} ⊂C là một dãy bị chặn và {yk} là dãy được xác định bởi yk =argminnf(xk, y) + 1 ρ h h(y)−h(xk)− h∇h(xk), y−xkii : y∈ Co, thì {yk} là dãy bị chặn.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng nếu dãy {xk} hội tụ về x∗, thì
{yk} là dãy bị chặn. Thật vậy, nếu tập C bị chặn thì rõ ràng dãy {yk} cũng bị chặn nên ta chỉ cần xét khi tập C không bị chặn.
Do yk = argminnf(xk, y) + 1 ρ h h(y)−h(xk)− h∇h(xk), y−xkii : y ∈Co, và f(xk, xk) + 1 ρ h h(xk)−h(xk)− h∇h(xk), xk −xkii = 0, nên ta có f(xk, yk) + 1 ρ h h(yk)−h(xk)− h∇h(xk), yk −xkii ≤ 0, ∀k. Vì f(xk, .) + ρ1hh(.)−h(xk)− h∇h(xk), .−xkii là hàm số lồi mạnh trên C với hệ số δ
ρ nên với mọi wk ∈∂2f(xk, xk) ta có f(xk, yk)+1
ρ
h
h(yk)−h(xk)−h∇h(xk), yk−xkii ≥ hwk, yk−xki+δ
ρkyk−xkk2. Từ đây suy ra 0≥ −kwkkkyk −xkk+ δρkyk −xkk2, hay
kyk −xkk ≤ ρ
δkwkk.
Bởi vì dãy {xk} hội tụ vềx∗ và wk ∈∂2f(xk, xk) nên theo Định lý 1.5, dãy
{wk} bị chặn, kết hợp với dãy {xk} bị chặn, ta suy ra dãy {yk} cũng bị chặn. Bây giờ ta chứng minh Bổ đề 2.3. Giả sử phản chứng rằng dãy {yk} không bị chặn, tức là tồn tại dãy con {yki} ⊆ {yk} sao cho limi→∞kykik= +∞. Do dãy {xk} bị chặn nên {xki} cũng là dãy bị chặn, không giảm tổng quát ta giả sửlimi→∞xki =x∗. Theo chứng minh trên, ta suy ra dãy {yki} bị chặn. Điều này mâu thuẫn. Vậy {yk} là dãy bị chặn.
Bổ đề 2.4. ([60]) Giả sử x ∈Rn và u = PC∩Hz(x). Khi đó ta có
u =PC∩Hz(¯x), với x¯= PHz(x).
Bổ đề trên được chứng minh trong bài báo [60] (trang 768). Ta trình bày ở đây một chứng minh khác đơn giản hơn.
Chứng minh. Đặt v = PC∩Hz(¯x). Ta sẽ chỉ ra v = u. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng v 6= u, khi đó, theo tính chất của phép chiếu lên tập lồi đóng ta
có kx¯−vk < kx¯−uk. Mặt khác, do Hz là nửa không gian nên ta có x −x¯
trực giao với u−x¯ và v−x, theo định lý Pitago (Pythagoras’ theorem) ta có¯ kx−uk2 = kx−x¯k2+kx¯−uk2 và kx−vk2 = kx−x¯k2 +kx¯−vk2. Kết hợp điều này với kx−uk< kx−vk ta thu được kx¯−uk< kx¯−vk, điều này mâu thuẫn với kx¯−vk< kx¯−uk.
Bổ đề 2.5. ([38, Lemma 3.1]). Giả sử {ak} là một dãy số thực không giảm ở vô cùng, tức là tồn tại một dãy con {akj} của dãy {ak} sao cho
akj < akj+1 với mọi j ≥ 0.
Gọi {σ(k)}k≥k0 là dãy các số tự nhiên dương được xác định bởi
σ(k) = max{j ≤ k | aj < aj+1}.
Khi đó, {σ(k)}k≥k0 là một dãy số không giảm thỏa mãn lim
k→∞σ(k) = ∞ và, với mọi k ≥ k0, ta có:
aσ(k) ≤aσ(k)+1 (2.3) ak ≤ aσ(k)+1 (2.4)