Hàm cơ sở:
Cho trước một vector nút T = (t0, ti, ...,tz) với ti ∈ R, ti ≤ ti+1, khi đó tồn tại một họ các hàm trộn sao cho chúng có thể phát sinh ra mọi đường cong Spline được định nghĩa trên vector nút đó. Một họ các hàm như vậy được gọi là cơ sở cho Spline, nghĩa là bất kì đường cong Spline nào cũng có thể được đưa về cùng một công thức bằng cách chọn đa giác kiểm soát phù hợp. Với mỗi vector có nhiều họ hàm như vậy, nhưng đặc biệt có một họ hàm trộn có đoạn mang giá trị khác 0 nhỏ nhất đó là B-Spline (B là từ viết tắt của basic). Đối với các hàm B-Spline, mỗi đa thức riêng phần tạo ra nó có một bậc m nào đó. Do đó, thay vì dùng ký hiệu Ri(t) như trong công thức. Cho các hàm riêng phần này ta sẽ ký hiệu các hàm trộn này là
Nk,m(t). Khi đó, một đường cong B-Spline bậc m-1 được xây dựng dựa trên vector nút T và (n + l) điểm kiểm soát Pi có dạng :
Trong đó:
Ni,m(t) gọi là hàm Cox-de Boor hay hàm cơ sở B-Spline có cấp m (order m) và bậc (m-1) (degree m-1) là phương pháp chuẩn để định nghĩa hàm cơ sở B-Spline. Ni,m(t) được cho bởi công thức đệ quy:
Hình 2.25, biểu diễn đường cong B- Spline với m=2
Hình 2.25. Đường cong B-Spline
Việc xác định các vector nút sẽ phụ thuộc vào sự phân loại của chính bản thân chúng và điều đó sẽ ảnh hưởng đến hình dạng của đường cong được mô tả. Có các loại đường cong: Đều tuần hoàn (uniform); Không tuần hoàn (open or unperodic); Không đều (non-uniform).
Đường cong B-Spline có một số tích chất sau:
- Các đường B-Spline bậc m là các đa thức riêng phần bậc m. Chúng là các Spline.
- Các hàm B-Spline bậc m tạo thành một cơ sở cho bất kỳ Spline nào có cùng bậc được định nghĩa trên cùng các nút. Các Spline có thể được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các B-Spline.
- Một đường cong B-Spline đóng dựa trên (n+l) điểm kiểm soát có thể tạo ra bằng cách dùng phương trình đường B-Spline tuần hoàn sau:
Với giả thiết các nút cách đều nhau trong định nghĩa của hàm N0,m(t). - Mỗi hàm B-Spline Ni,m(t) là không âm ∀t.
- Các đường cong dựa trên các B-Spline là bất biến Affin. Do đó, để biến đổi một đường cong B-Spline, chỉ cần biến đổi các điểm kiểm soát, sau đó khởi tạo lại đường cong từ các điểm kiểm soát đã được biến đổi này.
- Một đường cong B-Spline sẽ nằm trong bao lồi của các điểm kiểm soát. - Độ chính xác tuyến tính của đường cong B-Spline: Nếu m điểm kiểm soát kề
nhau là tuyến tính cùng nhau thì bao lồi của chúng là một đường thẳng. Do đó đường cong cũng sẽ trở thành đường thẳng.
- Tính chất giảm độ biến thiên: số giao điểm giữa đường cong B-Spline với bất kỳ một mặt phẳng nào (nếu có) luôn luôn nhỏ hơn số giao điểm (nếu có) giữa đa giác kiểm soát của nó với mặt phẳng đó.
- Trong đường cong B-Spline, số lượng các nút, bậc của đường cong và số điểm điều khiển luôn có các quan hệ ràng buộc: 0 ≤ t ≤ n − m + 2;
Đƣờng cong đều và tuần hoàn:
Đường cong B-Spline đều được xây dựng trên vector đều. Vector nút là đều khi giá trị của chúng cách đều nhau một khoảng ∇ xác định. Trong các bài toán thực tế, thông thường thì khoảng xác định của tham biến nằm trong đoạn từ 0 đến 1 hay từ 00 đến 3600 thì việc chọn giá trị của các vector nút được chuẩn hoá trong đoạn [0;1] hay [00;3600].
Ảnh hưởng của mỗi hàm cơ sở được giới hạn trong m đoạn là bậc của đường cong cần thể hiện. Với đường cong bậc ba thì ảnh hưởng của hàm cơ sở trải dài trên bốn đoạn của đường cong.
Đường B-Spline tuần hoàn không đi qua các điểm đầu và cuối của đa giác kiểm soát ngoại trừ với đường bậc 1 (m=2) mà khi đó đường cong chuyển dạng thành đường thẳng. Khi m=2 đường cong bậc một trùng với các cạnh của đa giác kiểm soát. Khi m=3, đường cong B-Spline bậc 2, bắt đầu tại trung điểm của cạnh thứ nhất và kết thúc tại trung điểm của cạnh cuối cùng của đa giác kiểm soát.