b) Tìm va chạm giữa hai hộp OBBs
2.2.3.1. Không gian vector và sự tịnh tiến các vật thể trong không gian
Phương pháp Elipsoid, sử dụng không gian vector không phải thuộc dạng chuẩn, để đơn giản hoá việc tính toán.
Các Luật của một không gian vector phải đáp ứng:
- Thỏa mãn luật cộng và nhân. Có nghĩa là cho 2 vector X, Y thuộc không gian vector đang xét thì Z = X + Y cũng thuộc không gian đó. Cho một số thực r, nếu X nằm trong không gian thì r*X cũng thuộc không gian đó. (Luật 1)
- Tồn tại vector không V0 sao cho với mọi vector X trong không gian đó thì V0+X=X. Với mọi vector X thì X*0 = V0. (Luật 2)
- Nó phải thoả mãn các phép toán học chuẩn như : luật kết hợp và luật giao hoán. (Luật 3)
Tổ hợp tuyến tính của các vector trong một không gian vector: đó là một vector nhận được khi ta tổ hợp các vector trong không gian vector bởi các phép cộng và phép nhân với một số vô hướng.
Ví dụ: có các vector X, Y ,Z và phép tổ hợp được thực hiện như sau: V = 2*X + (-3)*Y + 4*Z
Theo (Luật 1), thấy vector V nằm trong cùng không gian với các vector X, Y, Z. Cơ sở cho một không gian Vector là các Vector nằm trong không gian đó và được theo các luật sau:
- Tất cả các Vector trong không gian vector là tổ hợp tuyến tính của các vector cơ sở.
- Mỗi vector cơ sở không thể được tạo thành bằng cách tổ hợp các vector còn lại trong cơ sở đó.
Số lượng các vector cần thiết để tạo nên cơ sở cho không gian vector đó bằng với số chiều của không gian đó. R3 là một không gian Vector và cơ sở của nó là:
e1 = (1,0,0) e2 = (0,1,0) e3 = (0,0,1)
Toạ độ của một điểm trong không gian vector chính là các thành phần vô hướng trong phép nhân với các vector cơ sở trong phép tổ hợp tuyến tính.
Ví dụ, ta có điểm v =(5,2,4), ta có thể phân tích thành như sau: v = 5*e1 + 2*e2 + 4*e3 (OK)
Vấn đề, làm thể nào để tạo ra được một không gian vector (không gian Elipsoid). Bắt đầu từ cơ sở của không gian đó, nếu như một ellipsoid được định nghĩa bởi vector các bán kính là (x,y,z) thì cơ sở của không gian sẽ được chọn là:
v1 = (x,0,0) v2 = (0,y,0) v3 = (0,0,y)
Trong không gian ellipsoid này, ellipsoid có bán kính là (1,1,1). Vấn đề cuối cùng, làm thế nào để chuyển được một điểm từ không gian R3 vào không gian mới (không gian Ellipsoid). Chúng ta sẽ sử dụng cơ sở ở trên để thực hiện việc này bằng phép tổ hợp tuyến tính: 3 2 1 1 1*v 0*v 0*v x e 3 2 1 2 0* 1*v 0*v y v e 3 2 1 3 0* 0* 1*v z v v e Ma trận chuyển sẽ là: 2.2.3.2. Phát hiện va chạm
Ý tưởng: mô phỏng đối tượng trong thế giới thực bởi Ellipsoid (hình bao Ellipsoid). Ellipsoid này được định nghĩa bởi tâm và bán kính của nó theo 3 trục tọa độ, như hình vẽ.
Vị trí tâm Ellipsoid được coi là vị trí của đối tượng… , ta di chuyển đối tượng bằng tác dụng lực lên đối tượng theo một hướng nào đó và hướng này được biểu diễn bởi vector vận tốc. Sau khi di chuyên, vị trí mới của Ellipsoid được tính bằng vị trí hiện tại cộng với vector vận tốc.
Giả sử thế giới giả lập (ảo), được tạo bởi các tam giác (phân chia bề mặt vật thể hay mặt nền bởi các tam giác). Ta chưa biết được chính xác Ellipsoid lúc di chuyển sẽ va chạm chính xác vào tam giác nào, vì vậy sẽ phải kiểm tra tất cả các tam giác và khả năng va chạm nếu có (cũng có thể chia
một va chạm xảy ra, thì vẫn tiếp tục kiểm tra các tam giác khác, để tìm ra va chạm xảy ra gần nhất.
Hình vẽ sau mô tả hiện tượng xảy ra khi ta tìm thấy một va chạm với tam giác A và không kiểm tra các tam giác còn lại (bao gồm tam giác B – cũng va chạm với Ellipsoid):
Để làm giảm độ phức tạp, ta chuyển tất cả các đối tượng vào trong không gian mới – không gian Ellipsoid. Trong không gian này thì Ellipsoid thực sự là hình cầu đơn vị, như vậy việc thao tác và tính toán trên hình cầu trở lên dễ dàng hơn, vì chỉ có bán kính và không bị ảnh hưởng bởi phép quay quanh trục đi qua tâm.
Để kiểm tra tất cả các mặt (tam giác), ý tưởng thuật toán tổng quát thực hiện theo 5 bước sau: