Phƣơng pháp giải rất đơn giản dựa trên quy tắc suy diễn của Robinson.
Quy tắc này đƣợc phát biểu nhƣ sau:
Giả sử C1 và C2 là hai mệnh đề có dạng: C1 = F1 L1
Hơn nữa, bằng một phép thế s, L1 và L2 là đồng nhất đƣợc (ta ký hiệu L1[s] = L2[s]). Quy tắc Robinson cho phép suy diễn mệnh đề F1[s] F2[s]; mệnh đề mới này nhận đƣợc bằng phép tuyển của F1 và
F2 và áp dụng phép thế s đƣợc gọi là giải từ C1 và C2. Một cách hình thức,
quy tắc Robinson đƣợc viết:
F1 L1, L2 F2, L1[s] = L2[s]
F1[s] F2[s]
Trong đó L2 F2 cũng có thể đƣợc viết là L2 F2, sau đó bằng
cách thay thế “ “ bằng dấu cộng và dấu phủ định bằng dấu trừ, ta nhận đƣợc:
F1 + L1, F2 – L2, L1[s] = L2[s] F1[s] + F2[s]
Khi đó, ta thấy rằng quy tắc Robinson cuối cùng cho phép thực hiện
việc cộng các mệnh đề với việc bỏ các phần bị bỏ bằng một phép thế s. Đó
là quy tắc cơ sở của phép tính ký hiệu. Nó có một tính chất đáng chú ý: mọi công thức có thể đƣợc chứng minh xuất phát từ một từ một tập hợp các tiên đề đƣợc suy diễn thông qua việc áp dụng liên tiếp quy tắc Robinson vào các tiên đề và các giải thức nhận đƣợc.
Xuất phát từ quy tắc suy diễn này phƣơng pháp giải đƣợc xây dựng. Phƣơng pháp này cho phép chứng minh một công thức xuất phát từ các tiên đề không mâu thuẫn. Đó là một phƣơng pháp phản chứng, xuất phát từ các tiên đề và sự phủ định của định lý và chứng minh rằng có mâu thuẫn. Nhƣ vậy, dƣới giả thiết về các tiên đề không mâu thuẫn định lý là đúng.
Tổng kết lại, phƣơng pháp tiến hành nhƣ sau:
a. Đặt các tiên đề và phủ định của định lý (T) dƣới dạng các mệnh
b. Thêm vào một cách đệ quy các giải thức mà ta có thể nhận đƣợc bằng việc áp dụng quy tắc suy diễn của Robinson vào tập hợp các mệnh đề cho đến khi nhận đƣợc mệnh đề rỗng.
Mệnh đề rỗng (tất cả bị huỷ bỏ) không bao giờ đƣợc thoả mãn (mô hình của nó là trống); tiếp theo, đó là các tiên đề mâu thuẫn với phủ định của định lý. Nhƣ vậy, định lý đƣợc chứng minh. Ngƣời ta đã chứng minh rằng nếu một chứng minh của định lý tồn tại, phƣơng pháp giải kết thúc và tìm ra chứng minh. Nếu không có chứng minh nào tồn tại, phƣơng pháp có thể tự
mất trong các miền vô hạn và lặp. Logic bậc một là bán quyết định đƣợc.
Chúng ta minh hoạ phƣơng pháp qua một cây chứng minh (hình 1. 1).
Giả thiết cần chứng minh định lý LANHDAO(nam,lan) từ các tiên đề
không mâu thuẫn:
(A1) LANHDAO(nam,lan), (A2) LANHDAO(mai,lan),
(A3) xyz(LANHDAO(x,y) LANHDAO(y,z)
LANHDAO(x,z)).
Phủ định của định lý là LANHDAO(Nam,Lan). Hai tiên đề đầu là các mệnh đề. Tiên đề thứ ba đƣợc chuyển một cách đơn giản sang dạng của mệnh đề:
(A’3) LANHDAO(x,y) LANHDAO(y,z) LANHDAO(x,z) Nó còn đƣợc viết :
(A’’3) LANHDAO(x,y) LANHDAO(y,z) LANHDAO(x,z) Cây chứng minh (còn đƣợc gọi là cây bác bỏ) đƣợc biểu diễn nhƣ ở hình 1.1 chỉ ra các hợp nhất và cộng liên tiếp các mệnh đề, nó dẫn đến mệnh đề rỗng. Nhƣ vậy nó cho phép thông qua việc áp dụng liên tiếp quy tắc suy diễn của Robinson (mỗi đỉnh không phải là đỉnh đầu của R xuất phát từ hai
đỉnh đi trƣớc N1 và N2 ) để rút ra giải thức rỗng và nhƣ vậy chứng minh
rằng Nam là sếp của Lan.