Với một hệ mạng điều kiện - biến cố đó cho, cõu hỏi đặt ra là: Trong tỡnh huống nào thỡ nhiều biến cố của hệ mạng cú thể xuất hiện một cỏch đồng thời? Để trả lời cõu hỏi này, chỳng ta đƣa ra khỏi niệm bƣớc tƣơng tranh nhƣ sau:
Tập con cỏc biến cố G mà cỏc tập vào và cỏc tập ra của cỏc biến cố trong nú là rời nhau từng đụi một thỡ G đƣợc gọi là tỏch đƣợc. Cỏc biến cố trong một tập tỏch đƣợc cú thể xuất hiện đồng thời trong một bƣớc nếu mỗi một biến cố đều đƣợc kớch hoạt bởi cựng một trƣờng hợp.
Định nghĩa 2.2: Giả sử = (B, E; F, C) là một hệ mạng điều kiện - biến cố. 1) Tập con cỏc biến cố G E đƣợc gọi là tỏch được nếu:
e1, e2 G : e1 e2 e1 e2 = e1 e2 = e1 e2 = e1 e2 = .
2) Giả sử c và c' là cỏc trƣờng hợp của hệ mạng điều kiện - biến cố và tập cỏc biến cố G là tỏch đƣợc. G đƣợc gọi là một bước tương tranh từ
c tới c' nếu và chỉ nếu mỗi biến cố e trong G là c-kớch hoạt và c' = (c \
G) G.
55
Cỏc bƣớc tƣơng tranh trờn hệ mạng điều kiện - biến cố cú thể xỏc định nhờ định lý sau đõy.
Định lý 2.4: Giả sử tập con cỏc biến cố G của hệ mạng điều kiện - biến cố
là tỏch đƣợc và c, c' là cỏc trƣờng hợp của hệ. Khi đú thỡ:
c [ G > c' (c \ c' = G) (c' \ c = G).
Chứng minh:
) Nếu c [ G > c' thỡ mọi biến cố e G là c-kớch hoạt và c' = (c \ G) G. Từ đú suy ra: G c và G c = . Hơn nữa:
c \ c' = c \ ((c \ G) G) = (c \ (c \ G)) (c \ G) = (c \ G) (c \ G) = c \ G = G.
c' \ c = ((c \ G) G) \ c = ((c \ G) \ c) (G \ c) = (G \ c) = G.
) Ngƣợc lại, nếu c \ c' = G thỡ G c. Đồng thời, nếu c' \ c = G thỡ G
c = . Vậy mỗi biến cố e trong G là c-kớch hoạt. Hơn nữa: (c \ G) G = (c \ (c \ c')) (c' \ c) = (c c') (c' \ c) = c'. Vậy thỡ: c [ G > c'. Định lý đƣợc chứng minh.
Định lý trờn cho chỳng ta một thuật toỏn để tỡm cỏc bƣớc tƣơng tranh trờn hệ mạng điều kiện - biến cố. Song độ phức tạp của thuật toỏn này là rất lớn, nú là O(|E|2.22.|B|+|E|). Vả lại, thuật toỏn cũng chƣa xỏc định đƣợc sự kế tiếp của cỏc bƣớc tƣơng tranh trong một dóy nhƣ thế nào. Từ kết quả trờn, ta cú thể mở rộng quan hệ đạt đƣợc trờn một hệ mạng điều kiện - biến cố nhƣ sau.
Định nghĩa 2.3: Giả sử = (B, E; F, C) là một hệ mạng điều kiện - biến cố. 1) Quan hệ rN 2B 2B đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
56
(c1, c2) rN G E : c1 [ G > c2 .
2) Quan hệ RN = (rN rN-1)* là một quan hệ tƣơng đƣơng trờn tập 2B và đƣợc gọi là quan hệ đạt được đồng thời trờn mạng đơn giản N = (B, E; F) của hệ mạng .
Sự xuất hiện của một biến cố e trờn hệ mạng điều kiện - biến cố cú thể xem nhƣ là một bƣớc đơn G = {e} trờn hệ nờn quan hệ đạt tới tiến rN rN. Song dễ dàng chứng minh rằng, quan hệ đạt đƣợc và quan hệ đạt đƣợc đồng thời là bằng nhau, RN = RN. Nhƣ vậy, sự tuần tự đang ẩn chứa sự tƣơng tranh. Trong phần tiếp theo chỳng ta sẽ khỏm phỏ ra điều đú.