Để cú cỏi nhỡn tổng quỏt tất cả cỏc quỏ trỡnh xảy ra trờn một hệ mạng điều kiện - biến cố, ta xõy dựng đồ thị cỏc trƣờng hợp của hệ này. Đú là một đồ thị định hƣớng mà cỏc đỉnh của nú là cỏc trƣờng hợp cũn nhón trờn cỏc cạnh thể hiện sự xuất hiện của cỏc biến cố trờn hệ.
Giả sử = (B, E; F, C) là một hệ mạng điều kiện - biến cố. Đồ thị cỏc trƣờng hợp của hệ mạng đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
Định nghĩa 2.1: Đa đồ thị định hƣớng, gỏn nhón = (C, P), với tập đỉnh là tập cỏc trƣờng hợp C của hệ mạng và tập cạnh P = {(c, e , c') C E C
c [ e > c'} đƣợc gọi là đồ thị cỏc trường hợp của hệ mạng . Từ định nghĩa trờn, ta cú ngay kết quả sau đõy.
Định lý 2.1: Mọi đồ thị cỏc trƣờng hợp của cỏc hệ mạng điều kiện - biến cố
đều liờn thụng và khụng cú đỉnh nỳt.
53
Suy trực tiếp từ Định nghĩa 2.1.
Vớ dụ 2.1: Xột hệ mạng điều kiện - biến cố và đồ thị cỏc trƣờng hợp của nú đƣợc cho trong Hỡnh 2.2 dƣới đõy.
Hỡnh 2.2. Đồ thị cỏc trƣờng hợp của hệ mạng
Đồ thị cỏc trƣờng hợp cú thể dựng để kiểm tra một số tớnh chất cơ bản của một hệ mạng điều kiện - biến cố.
Định lý 2.2: Hệ mạng điều kiện - biến cố là chu trỡnh khi và chỉ khi đồ thị cỏc trƣờng hợp của nú là liờn thụng mạnh. Chứng minh: Thật vậy, là chu trỡnh c, c' C : (c, c') rN* c, c' C, e1, e2, .. em E, c0, c1, .. cm C : c = c0[e1 > c1 [e2 > c2.... cm-1 [em > cm = c' c, c' C, e1, e2, ... em E, c0, c1, ... cm C : c e1 c1e2 c2.... cm-1 em c' là một đƣờng đi trong là liờn thụng mạnh.
54
Định lý 2.3: Hệ mạng điều kiện - biến cố là sống khi và chỉ khi với mỗi trƣờng hợp c C và với mỗi biến cố e E đều cú đƣờng đi c l1 c1 ... lm cm
trong đồ thị mà nhón lm = e.
Chứng minh:
Hệ mạng điều kiện - biến cố là sống
c C , e E , c', c'' C : (c,c')rN
* c' [e > c''
đƣờng đi < c l1 c1 ... cm-1 lm cm > mà cm-1 = c' , lm = e và cm = c''. Định lý đƣợc chứng minh xong.