Biểu thức chớnh quy E và nguồn I đƣợc gọi là tƣơng đƣơng nếu chỳng sinh ra cựng một ngụn ngữ.
Giả sử cú nguồn I. Tập cốt yếu trong I đƣợc ký hiệu là D(I). Tổng số vị trớ của cỏc chữ cỏi xuất hiện trong biểu thức chớnh quy E đƣợc ký hiệu là |E|.
Định lý 3.2: Với mọi biểu thức chớnh quy E luụn tồn tại một nguồn I tƣơng
đƣơng với E sao cho: |D(I)| |E| +1.
Chứng minh: Ta chứng minh định lý trờn bằng quy nạp theo số ký hiệu xuất
73 1) Cơ sở quy nạp:
- Với biểu thức chớnh quy sơ cấp a ta cú nguồn nhƣ sau:
a
thế thỡ |D(I)| = |E| +1.
- Với biểu thức chớnh quy a2n+1 (luỹ thừa bậc lẻ) ta cú nguồn nhƣ sau:
thế thỡ |D(I)| |E| +1.
- Với biểu thức chớnh quy a2n (luỹ thừa bậc chẵn) ta cú nguồn nhƣ sau:
a a thế thỡ |D(I)| |E| +1.
2) Bƣớc quy nạp: Giả sử cú hai biểu thức chớnh quy E và F với hai nguồn tƣơng đƣơng I và J mà |D(I)| |E| +1 và |D(J)| |F| +1.
Theo thuật toỏn trờn ta cú:
|D(I J)| = |D(I)| + |D(I)| |E| + |F| +2 = |(E) + (F)| +1 |D(I . J)| = |D(I)| + |D(I)| |E| + |F| +2 = |(E) . (F)| +1 |D(In)| = |D(I)| |E| +1 |E|n = |(E)n| , n 1.
Định lý đƣợc chƣng minh.
Theo định lý trờn, cận trờn của độ phức tạp otomat của biểu thức chớnh quy E khụng lớn hơn cận trờn của độ phức tạp otomat của nguồn I tƣơng đƣơng với E. Theo Định lý 3.1 cận trờn của độ phức tạp otomat của nguồn I là 2|D(I)|, trong đú D(I) là tập cỏc đỉnh cốt yếu của nguồn này.