8. Cấu trúc luận văn
3.4. Kết luận chương 3
Quỏ trỡnh thực nghiệm cựng những kết quả rỳt ra sau thực nghiệm cho thấy: mục đớch thực nghiệm đó được hoàn thành, tớnh khả thi và tớnh hiệu quả của cỏc biện phỏp đó được khẳng định. Nếu khộo lộo vận dụng cỏc biện phỏp đó đề xuất trong luận văn thỡ giỏo viờn sẽ rèn luyện tốt kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học cho học sinh. Thông qua đó sẽ tích cực hoá hoạt động nhận thức của các em, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học.
102
KẾT LUẬN
Trên đây là những nghiên cứu ban đầu về đề tài "Vận dụng một số ph-ơng pháp dạy học tích cực để rèn luyện kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học thuộc ch-ơng trình lớp 8, 9 tr-ờng trung học cơ sở ".
Luận văn đã hoàn thành và đạt đ-ợc một số kết quả chủ yếu sau: * Hệ thống hoá một số vấn đề lý luận và thực tiễn về ph-ơng pháp dạy học tích cực và cỏc kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học.
* Trên cơ sở lý luận và thực tiễn, luận văn đã đề xuất đ-ợc một số biện pháp s- phạm dạy học chủ đề cực trị hình học thuộc ch-ơng trình lớp 8, 9 theo h-ớng tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh.
* Thực nghiệm s- phạm nhằm mục đích khẳng định tính khả thi và tính hiệu quả của đề tài luận văn.
Những kết quả đạt đ-ợc của luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trung học cơ sở khi dạy và học chủ đề này.
Tác giả rất mong nhận đ-ợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để luận văn này ngày càng đ-ợc hoàn thiện hơn.
103
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bộ giỏo dục và đào tạo (2007), Những vấn đề chung về đổi mới giỏo dục trung học cơ sở, NXB Giỏo dục .
2. Bộ giỏo dục và đào tạo (2007), Toỏn 8, 9 Tập 1, 2, NXB Giỏo dục.
3. Vũ Hữu Bỡnh (2004), Một số vấn đề phỏt triển hỡnh học 8, NXB Giỏo dục. 4. Vũ Hữu Bỡnh (2004), Một số vấn đề phỏt triển hỡnh học 9, NXB Giỏo dục. 5. Vũ Hữu Bỡnh, Hồ Thu Hằng, Kiều Thu Hằng và Trịnh Thuý Hằng (2003),
Cỏc bài toỏn về giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hỡnh học phẳng ở trung học cơ sở, NXB Giỏo dục.
6. Nguyễn Hữu Chõu (2005), Những vấn đề cơ bản về chương trỡnh và quỏ trỡnh dạy học, NXB Giỏo dục.
7. Phan Đức Chớnh, Tụn Thõn, Vũ Hữu Bỡnh, Phạm Gia Đức (2008), Toỏn 7, sỏch giỏo khoa, NXB Giỏo dục.
8. Phan Đức Chớnh, Tụn Thõn, Vũ Hữu Bỡnh, Trần Phương Dung (2008), Toỏn 8, sỏch giỏo khoa, NXB Giỏo dục.
9. Phan Đức Chớnh, Tụn Thõn, Vũ Hữu Bỡnh, Trần Phương Dung (2008), Toỏn 9, sỏch giỏo khoa, NXB Giỏo dục.
10. Vũ Cao Đàm (2009), Giỏo trỡnh Phương phỏp luận nghiờn cứu khoa học, NXB Giỏo dục.
11. Nguyễn Ngọc Đạm, Đoàn Văn Tề và Tạ Hữu Phơ (2011), ễn tập thi vào lớp 10 mụn Toỏn, NXB Giỏo dục Việt Nam.
12. Nguyễn Ngọc Đạm, Tạ Hữu Phơ (2009), Tuyển chọn đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyờn mụn Toỏn, NXB Hà Nội.
13. Nguyễn Bỏ Kim (2003), Phương phỏp dạy học mụn Toỏn, NXB Giỏo dục.
Nguyễn Bỏ Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng,Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Văn Thường (1994), Phương phỏp dạy học mụn toỏn, NXB Giỏo dục, Hà Nội.
104
14. Phạm Minh Hạc, Lờ Khanh , Trần Trọng Thuỷ (1998), Tõm lý học, NXB Giáo dục.
15. Nguyễn Sinh Huy, Tiếp cận xu thế đổi mới phương phỏp dạy học trong giai đoạn hiện nay, Nghiờn cứu Giỏo dục số 3/1995.
16. Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Quốc, Phạm Văn Hựng, Đỗ Thanh Sơn, Nguyễn Thị Thuỳ Linh và Trần Quang Hựng (2009), Một số bài giảng và đề thi mụn toỏn ( Cho học sinh lớp 9 năm 2009), NXB đại học Quốc gia Hà Nội. 17. Nguyễn Vũ Lương, Phạm Văn Hựng, Phạm Văn Quốc, Đỗ Thanh Sơn,
Nguyễn Thị Thuỳ Linh, Trần Quang Hựng và Hoàng Ngọc Minh (2010), Một số bài giảng và đề thi mụn toỏn (cho học sinh lớp 9 năm 2010), NXB đại học quốc gia Hà Nội.
18. Nguyễn Vũ L-ơng, Phạm Văn Hùng và Nguyễn Ngọc Thắng (2007), Các bài giảng về bất đẳng thức Cô si, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
19. Phạm Minh Phương, Nguyễn Sơn Hà (2010), Đề thi tuyển sinh trung học
phổ thụng chuyờn mụn Toỏn (1991 - 2008), NXB Giỏo dục Việt Nam.
20. Nguyễn Đức Tấn (2004), Bất đẳng thức và cực trị trong hỡnh học phẳng,
NXB Giỏo dục.
21. Tụn Thõn, Phan Thị Luyến, Đặng Thị Thu Thuỷ (2008), Một số vấn đề đổi mới phương phỏp dạy học mụn Toỏn trung học cơ sở, NXB Giỏo dục.
105
PHỤ LỤC
Một số bài tập tổng hợp về chủ đề cực trị hình học
1. Cho tam giỏc ABC cú diện tớch là S và một hỡnh chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giỏc đú (M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC). Gọi diện tớch của hỡnh chữ nhật MNPQ là S1. Chứng minh rằng: S ≥ 2.S1
(trớch đề thi chọn HSG toỏn 9 toàn quốc, 1996 - 1997)
2. Cho ABC, điểm P nằm trong tam giác. Kẻ PA' BC, PB' AC, PC' AB. Xác định vị trí của điểm P để BC CA AB
PA ' PB'PC' nhỏ nhất.
(trớch đề thi chọn HSG toỏn 9 Hà Nội năm 1985)
3. Cho tam giác nhọn ABC có diện tích S và một hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác đó (M AB, N AC, P và Q thuộc BC). Gọi diện tích của hình chữ nhật MNPQ là S1. Chứng minh rằng S 2S1
( trớch đề thi HSG toàn quốc năm 1997, bảng B)
4. Cho đ-ờng tròn tâm O bán kính R và một dây AB cố định có độ dài bằng a (a < 2R). Trên dây AB, lấy một điểm P tuỳ ý. Qua A và P, vẽ đ-ờng tròn tâm C tiếp xúc với đ-ờng tròn (O) tại A. Qua B và P vẽ đ-ờng tròn tâm D tiếp xúc với đ-ờng tròn (O) tại B. Hai đ-ờng tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai M.
a) Chứng minh rằng bốn điểm O, M, C, D cùng nằm trên một đ-ờng tròn. b) Tìm qũy tích điểm M khi P di động trên dây AB.
c) Chứng minh rằng khi P di động trên dây AB thì đ-ờng thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định N. Tìm giá trị lớn nhất của tích PM.PN
(thi HSG toàn quốc năm 1997, bảng A)
5. Cho đoạn thẳng AB song song với đoạn thẳng d. M là một điểm nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa d (M không thuộc đoạn thẳng AB). Gọi C, D lần l-ợt là giao điểm của các tia MA, MB với d. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.
(thi HSG Hà Nội năm 1999)
6. Cho tam giác ABC vuông ở A. Gọi I là trung điểm của cạnh BC và D là một điểm bất kì trên cạnh BC. Đ-ờng trung trực của AD cắt các đ-ờng trung trực của
106
AB và AC theo thứ tự tại E và F. Cho biết độ dài của các cạnh góc vuông của tam giác ABC là b và c, điểm D chạy trên đoạn BC và gọi độ dài của AD là x. Hãy chứng tỏ rằng diện tích S của tam giác AEF là một hàm số bậc hai của x. Tìm xác định của hàm số và GTNN của hàm số trong khoảng xác định đó.
( thi HSG toàn quốc năm 1991, bảng A)
7. Hai đ-ờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Một cát tuyến thay đổi đi qua A cắt (O1) tại C và cắt (O2) tại D sao cho A nằm trong đoạn CD. Tìm vị trí cát tuyến CD sao cho chu vi tam giác BCD nhận giá trị lớn nhất
(thi vào 10 tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, 1991 - 1992 V1)
8. Cho đoạn thẳng AB và đ-ờng thẳng d song song với AB. M là một điểm không nằm trên đuờng thẳng AB và nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là AB không chứa
d. Gọi C và D là giao điểm của các tia MA và MB với đ-ờng thẳng d. Tìm tập hợp những điểm M trong nửa mặt phẳng nói trên sao cho diện tích tam giác
MCD là nhỏ nhất.
(thi vào 10 tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Năm học 1992 - 1993 - vòng 2)
9. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB, CD và AB = a, CD = b. Đ-ờng thẳng
qua giao điểm của hai đ-ờng chéo và song song với AB cắt với các cạnh bên AD
và BC theo thứ tự ở E và F. Tính độ dài đoạn EF theo a, b và chứng minh
ab EF
(thi vào 10 tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Năm học 1993 - 1994 - Vòng 1)
10.Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N và P là ba điểm lần l-ợt lấy trên các cạnh BC, CD và DA sao cho MNP là một tam giác đều.
a. Chứng minh hệ thức : CN2 - AP2 = 2DP.BM.
b. Hãy xác định vị trí của các điểm M, N và P sao cho MNP có diện tích nhỏ nhất.
c. Chứng minh rằng MNP có diện tích lớn nhất khi M B hoặc khi P A.
(thi vào 10 tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, 1995 - 1996 - vòng 1)
11.Cho tam giác ABC vuông cân ở A, AD là trung tuyến và M là một điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống AB và AC, H là hình chiếu của N xuống PD. Xác định giá trị của M để tam giác
107
AHB có diện tích lớn nhất.
(thi vào 10 tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, 1996 - 1997 - vòng 1)
12.Gọi M, N lần luợt là trung điểm của các cạnh BC và CD của tứ giác lồi ABCD.
Chứng minh rằng 2 ABCD 1 S (AM AN) 2 .
(thi vào 10 tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, 1996 - 1997 - vòng 2)
13.Trong tất cả các tứ giác lồi với hai đ-ờng chéo có độ dài đã cho và góc giữa hai đ-ờng chéo có độ lớn đã cho, xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất.
(thi vào 10 tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, 1997 - 1998 - vòng 2)
14.Cho đoạn thẳng AB cố định, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, MBEF. Hai đ-ờng thẳng AF và BC cắt
nhau ở N. Tìm vị trí của điểm M sao cho đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất.
(theo đề thi vào lớp 10 tr-ờng Hà Nội-Amsterđam và Chu Văn An,1996-1997)
15. Cho hình chữ nhật ABCD và điểm M nằm trong hình chữ nhật đó. a. Chứng minh rằng MA + MB + MC + MD AB + AC + AD
b. Tìm tất cả các vị trí có thể có điểm M sao cho MA.MC MB.MD.
(thi vào 10 Tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, 1998 - 1999 - vòng 2)
16. Tam giác XYZ có các đỉnh X, Y, Z lần l-ợt nằm trên các cạnh BC, CA, AB của một tam giác ABC gọi là nội tiếp tam giác ABC
a. Gọi Y' và Z' lần l-ợt là hình chiếu vuông góc của Y và Z trên cạnh BC, chứng minh rằng nếu tam giác XYZ đồng dạng với tam giác ABC thì Y'Z' =
2 1
BC.
b. Trong số những tam giác XYZ nội tiếp tam giác ABC theo nghĩa trên và đồng dạng tam giác ABC, hãy xác định tam giác có diện tích nhỏ nhất.
(thi vào 10 tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, 2000 - 2001 - vòng 2)
17. Cho A là một điểm cố định trên đ-ờng tròn (C) tâm O, bán kính 1. Giả sử M là đỉnh góc vuông của một tam giác vuông AMB với cạnh huyền AB là một dây cung của đ-ờng tròn (C).
a. Chứng minh rằng OM 2.
b. Hãy nói rõ cách dựng các đỉnh góc vuông của tam giác vuông AMB có cạnh huyền AB là một dây cung của đ-ờng tròn (C) và OM = 2.
108
(thi vào 10 tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, 2003 - 2004 - vòng 2)
18. Cho tam giác đều ABC, E là một điểm thuộc cạnh AC và không trùng với A, K là trung điểm của đoạn AE. Đ-ờng thẳng đi qua E và vuông góc với đ-ờng thẳng AB tại F cắt đ-ờng thẳng đi qua C và vuông góc với đ-ờng thẳng BC tại điểm D.
a. Chứng minh tứ giác BCKF là hình thang cân. b. Chứng minh KE.EC = ED.EF.
c. Xác định vị trí của điểm E sao cho đoạn KD có độ dài nhỏ nhất.
(thi vào 10 tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, 2005 - 2006 - vòng 2)
19. Cho hai đ-ờng tròn (C1) và (C2) cắt nhau tại hai điểm A, B. Biết rằng (C1) có tâm O1 và bán kính r1 = 1cm ; (C2) có tâm O2 là bán kính r2 = 2cm; AB = 1cm và hai điểm O1, O2 ở hai phía của đ-ờng thẳng AB. Xét đ-ờng thẳng d qua A, cắt (C1) và (C2) lần lựơt tại các điểm M và N sao cho A nằm trong đoạn MN. Tiếp tuyến của (C1) tại M và tiếp tuyến của (C2) tại N cắt nhau tại điểm E.
a. Chứng minh rằng tứ giác EMBN là tứ giác nội tiếp. b. Tính độ dài các cạnh của tam giác AO1O2.
c. Chứng minh rằng 2EM + EN 4
3 15
.(thi vào 10 tr-ờng Tr-ờng THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, 2006 - 2007 - vòng 2)
20. Cho tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng nếu các góc B và D của tứ giác là vuông hoặc tù thì AC ≥ BD.
21. Cho đoạn thẳng AC cố định và điểm B di động. Hãy tìm tập hợp tất cả các điểm B để tam giác ABC là tam giác không tù và BAC là góc bé nhất của tam giác ABC.
(thi vào 10 tr-ờng Đại Học Quốc Gia Hà Nội - Năm học 2001-2002)
22. Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Một đ-ờng thẳng (d) thay đổi cắt Ax ở M, cắt By ở N sao cho luôn có : AM.BN = a2
.
a. Chứng minh AOM đồng dạng với BNO và MON vuông.
b. Gọi H là hình chiếu của O trên MN, chứng minh rằng đ-ờng thẳng (d) luôn tiếp xúc với một nửa đ-ờng tròn cố định tại H.
109
c. CMR tâm I của đ-ờng tròn ngoại tiếp MON chạy trên một tia cố định. d. Tìm vị trí của đ-ờng thẳng (d) sao cho chu vi AHB đạt giá trị lớn nhất, tính
giá trị lớn nhất đó theo a.
(thi vào 10 tr-ờng THPT Chu Văn An & Hà Nội - Amstesdam, 2001-2002 - Vòng 1)
23. Cho hai đ-ờng tròn (O) bán kính R và đ-ờng tròn (O') bán kính
2
R
tiếp xúc
ngoài tại A. Trên đ-ờng tròn (O) lấy điểm B sao cho AB = R và điểm M trên cung lớn AB. Tia MA cắt đ-ờng tròn (O') tại điểm thứ hai là N. Qua N kẻ đ-ờng thẳng song song với AB cắt đ-ờng thẳng MB tại Q và cắt đ-ờng tròn (O') tại P. a. Chứng minh OAM đồng dạng với O'AN.
b. Chứng minh độ dài đoạn NQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M. c. Tứ giác ABQP là hình gì? Tại sao
d. Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị đó theo R.
24. Cho A là một điểm bất kì trên nửa đ-ờng tròn đ-ờng kính BC (A B, C). Hạ
AH vuông góc với BC tại H, gọi I, K lần l-ợt là tâm đ-ờng tròn nội tiếp tam giác
AHB và tam giác AHC. Đ-ờng thẳng IK cắt các cạnh AB, AC lần l-ợt tại M, N.
Chứng minh:
a. AIH ~ CKH và ABC ~ HIK. b. MAN là tam giác cân.
c. Xác định vị trí của điểm A để chu vi của đ-ờng tròn ngoại tiếp MHN đạt giá trị lớn nhất.
(thi vào 10 tỉnh Hà Tây, 2002-2003 cho học sinh chuyên Toán)
25. Cho đ-ờng tròn (O) và dây cung BC cố định. Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC của đ-ờng tròn (O), (A khác B, C). Tia phân giác của góc ACB cắt đ-ờng tròn (O) tại điểm D khác C; lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho DI = DB. Đ-ờng thẳng BI cắt đ-ờng tròn (O) tại điểm K khác B.
a. Chứng minh tam giác KAC cân.
b. Chứng minh đ-ờng thẳng AI luôn đi qua một điểm J cố định, từ đó hãy xác định vị trí của A để độ dài đoạn AI là lớn nhất.
c. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = AC. Tìm tập hợp các điểm M khi A di động trên cung lớn BC của đ-ờng tròn (O).
110
(thi vào 10 tr-ờng Đại học s- phạm Ngoại Ngữ Hà Nội - Năm học 2004-2005)
26. Cho tam giác ABC, lấy 3 điểm D, E, F theo thứ tự trên các cạnh BC, CA, AB sao cho AEDF là tứ giác nội tiếp. Trên tia AD lấy điểm P (D nằm giữa A và P) sao cho DA.DP=DB.DC.
a. Chứng minh tứ giác ABPC nội tiếp
b. Chứng minh 2 2 ' AD EF S S .
(thi vào 10 tr-ờng THPT Chu Văn An & Hà Nội - Amstesdam 2000, Toán - Tin)
27. Cho tam giác ABC
a. Gọi M là trung điểm AC. Biết BM = AC. Gọi D là điểm đối xứng của B qua A, gọi E là điểm đối xứng của M qua C. Chứng minh : DM BE.
b. Lấy điểm O bất kì trong tam giác, các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB thứ tự tại D, E, F. Chứng minh : 1) 1 CF OF BE OE AD OD . 2) 1 .1 . 1 64. OF CF OE BE OD AD
(thi vào 10 Tỉnh Thái Bình, năm học 2005-2006)
28. Cho đ-ờng tròn (O) đ-ờng kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm
