Cỏc kỹ năng th-ờng dùng để giải các bài toán về cực trị trong hình

8. Cấu trúc luận văn

1.3. Cỏc kỹ năng th-ờng dùng để giải các bài toán về cực trị trong hình

học phẳng

1.3.1. Sử dụng quan hệ giữa đ-ờng vuông góc, đ-ờng xiên, hình chiếu

Theo SGK Toán 7 (tập 2) trang 58 xuất bản năm 2008. Quan hệ giữa đ-ờng vuông góc và đ-ờng xiên đ-ợc phát biểu nh- sau: "Trong các đ-ờng xiên và đ-ờng vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đ-ờng thẳng đến đ-ờng thẳng đó, đ-ờng vuông góc là đ-ờng ngắn nhất.

Theo SGK Toán 7 (tập 2) trang 59 xuất bản năm 2008. Quan hệ giữa đ-ờng vuông góc và hình chiếu của chúng đ-ợc phát biểu nh- sau: "Trong hai đ-ờng xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đ-ờng thẳng đến đ-ờng thẳng đó:

- Đ-ờng xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn. - Đ-ờng xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.

- Nếu hai đ-ờng xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ng-ợc lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đ-ờng xiên bằng nhau".

Cụ thể:

Ta có: AH  d, A  d, B  d,

a) AB  AH, dấu “=” x°y ra  B  H. b) AB  AC  BH  HC.

1.3.2. Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác

Theo SGK Toán 7 (tập 2) trang 54; 55 xuất bản năm 2008. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác đ-ợc phát biểu nh- sau: "Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn; cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn."

Theo SGK Toán 7 (tập 2) trang 62 xuất bản năm 2008. Quan hệ giữa các cạnh trong một tam giác đ-ợc phát biểu nh- sau: "Trong một tam giác, độ dài một

d

H

B C

40 K H O B A C D

cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại."

Cụ thể: *ABC có:

+) ABAC  BC  ABAC. +) ABCACB  AC  AB.

*ABC vàA’B’C’ có AB = A’B’; AC = A’C’ thì BC  B’C’  A A' .

*Quy tắc 3 điểm:

+) BC  AB + AC. Dấu “=” x°y ra  A   BC .

+) BC  AB AC . Dấu “=” x°y ra  A, B, C thẳng hàng. +) Mở rộng: Quy tắc n điểm A1; A2 ; A3 ; …; An.

Ta có: A1An  A1A2 + A2A3 + A3A4 + …+ An-1An.

Dấu “=” x°y ra  A1; A2 ; A3 ; …; An thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó.

1.3.3. Sử dụng các bất đẳng thức trong đ-ờng tròn

Theo SGK Toán 9 (tập 1) trang 103; 105 xuất bản năm 2011. Quan hệ giữa đ-ờng kính và dây cung; liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây đ-ợc phát biểu nh- sau:

" Trong các dây của đ-ờng tròn, dây lớn nhất là đ-ờng kính". " Trong một đ-ờng tròn:

- Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. - Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau". " Trong hai dây của một đ-ờng tròn:

- Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. - Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn". Cụ thể:

Trong đ-ờng tròn (O): AB và CD là hai dây cung, H và K lần l-ợt là hình chiếu vuông góc của O trên AB và CD.

A

41

Ta có: OH  OK

 AB  CD  cung AB  cung CD  AOB COD .

1.3.4. Sử dụng các bất đẳng thức đại số

A2 ≥ 0; -A2≤ 0. Do đó với m là hằng số, ta có: f = A2 + m ≥ m; minf = m với A = 0.

f = -A2 + m ≤ m; maxf = m với A = 0. - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Bất đẳng thức Cauchy và các hệ quả của nó đ-ợc sử dụng trong các bài toán cực trị hình học bằng cách biểu thị hai độ dài thay đổi bởi các biến x và y.

Bất đẳng thức Cauchy thể hiện quan hệ giữa tổng của hai số không âm và tích của chúng: xy  xy

2 (dấu “=” x°y ra khi v¯ chỉ khi x = y). Bất đẳng thức Cauchy th-ờng đ-ợc sử dụng d-ới các dạng sau:

Dạng 1:  2 2 2 x y x y 2xy 2     .

Dấu “=” x°y ra khi v¯ chỉ khi x = y.

Dạng 2:         2 2 2 2 2 2 2 2 x y xy 1 x y 1 x y 4 ; ; ; 2 xy x y 4 x y 2 x y           .

Dạng 3: Hệ quả của bất đẳng thức Cauchy

Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số ấy bằng nhau.

Nếu hai số d-ơng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số ấy bằng nhau.

Phát biểu hệ quả của bất đẳng thức Cauchy d-ới dạng hình học:

Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất. Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất. - Bất đẳng thức Bunhiacopxki

42

Dấu “=” xảy ra  ay = bx. - Bất đẳng thức Becnuli:

a > -1 ; n  1 ; n  N ta có: 1an  1 na. dấu "=" xảy ra khi a = 0.

- Bất đẳng thức Mincowxki:

1 2 n 1 2 n

x x  ... x  x  x  ... x với  xi R.

dấu "=" xảy ra khi x1 = x2 = … = xn hoặc x1, x2 , … , xn cùng dấu. - Bất đẳng thức Holder:

Với mọi a, b, c, m, n, p, x, y, z d-ơng, ta có: (a3 + b3 + c3)(m3 + n3 + p3)(x3 + y3 + z3)  (amx + bny + cpz)3.

dấu "=" xảy ra khi a:b:c = m:n:p = x:y:z.