8. Cấu trúc luận văn
1.5. Kết luận ch-ơng 1
Việc phát huy tính tích cực trong hoạt động nhận thức của HS không phải là một vấn đề mới trong ngành giáo dục của n-ớc ta hiện nay song cho tới nay, việc đổi mới PPDH ở tr-ờng trung học cơ sở theo h-ớng này vẫn ch-a đạt hiệu quả cao, điều này cũng do nhiều nguyên nhân nh-ng có thể thấy rằng để
45
làm tốt việc trên thì đòi hỏi phải có sự kết hợp tốt giữa các ngành, các cấp liên quan, đặc biệt cần thay đổi mạnh mẽ cách dạy học của thầy, cô giáo trực tiếp trên bục giảng.
Các thầy, cô giáo khi truyền thụ kiến thức th-ờng không đủ thời gian để chú ý đến các loại đối t-ợng HS (yếu, trung bình, khá, giỏi), chỉ mong sao giảng hết phần lý thuyết của bài nên một số phần lý thuyết quan trọng không phân tích kỹ. Bên cạnh đó PPDH ch-a thực sự đổi mới, hệ thống ví dụ, bài tập ch-a đ-ợc lựa chọn phù hợp. Bởi thế HS chỉ nắm đ-ợc phần nào kiến thức mà thôi, không nắm đ-ợc dấu hiệu bản chất của các kiến thức quan trọng, do đó khi học chủ yếu là ghi nhớ hình thức và vận dụng một cách máy móc, coi nhẹ lý thuyết (định nghĩa, định lý, các tính chất cơ bản, các điều kiện khi vận dụng công thức,…), bắt tay vào làm bài tập ngay, dẫn đến hạn chế tính tích cực của bản thân trong quá trình giải toán.
46 A B M C D E H Ch-ơng 2
một số biện pháp s- phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học thuộc ch-ơng trình lớp 8, 9 theo h-ớng tích cực hoá hoạt động
nhận thức của học sinh
2.1. Biện phỏp 1: Giỳp học sinh nhận dạng cỏc bài toỏn cực trị hỡnh học thuộc chương trỡnh lớp 8, 9
2.1.1. Dạng 1: Vận dụng quan hệ giữa đ-ờng xiên và đ-ờng vuông góc, quan hệ giữa đ-ờng xiên và hình chiếu
Ví dụ 1: Cho ABC o
A90 . M là điểm chuyển động trên cạnh BC. Vẽ MD AB, ME AC (D AB, E AC). Xác định vị trí của điểm M để đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất. [20].
Hướng dẫn giải:
Vẽ AH BC ( H BC),
H cố định và độ dài AH không đổi.
Tứ giác AEMD có 0
A E D 90
Tứ giác AEMD là hình chữ nhật
DE = AM mà AM AH
(quan hệ giữa đ-ờng vuông góc và đ-ờng xiên). Dấu “=” x°y ra M H.
Vậy khi M là chân đ-ờng cao hạ từ đỉnh A xuống đoạn thẳng BC thì độ dài đoạn DE là nhỏ nhất.
Nhận xét: ở ví dụ này, Giáo viên nên dẫn dắt cho HS thấy mối quan hệ giữa giữa DE, AM và AH; rồi thông qua đó sử dụng kiến thức về quan hệ giữa đ-ờng xiên và đ-ờng vuông góc để giải toán.
Vớ dụ 2: Cho đ-ờng thẳng a và một điểm A không thuộc a. Hai đ-ờng thẳng thay đổi đi qua A, vuông góc với nhau, cắt đ-ờng thẳng a ở B và C. Xác định
47
vị trí hai đ-ờng thẳng vuông góc trên sao cho khoảng cách BC là nhỏ nhất.
Để giải quyết được bài toỏn này:
- Học sinh phải nắm vững quan hệ giữa đ-ờng xiên và đ-ờng vuông góc, quan hệ giữa đ-ờng xiên và hình chiếu.
Ta có: AH d, A d, B d, C d. c) AB AH, dấu “=” x°y ra B H. d) AB AC BH HC.
- Hoặc so sánh mối quan hệ giữa các cạnh trong tam giác.
Hướng dẫn giải:
Xét ABC vuông tại A. Gọi AH, AM theo thứ tự là đ-ờng cao, đ-ờng trung tuyến của tam giác.
Vì ABC vuông tại A nên BC = 2AM 2AH. (quan hệ giữa đ-ờng vuông góc và đ-ờng xiên) Vì đ-ờng thẳng a và điểm A cố định nên AH có độ dài không đổi.
minBC = 2AH M H, khi đó ABC vuông cân Cách dựng các đ-ờng thẳng AB, AC:
- Dựng AH a.
- Dựng B và C thuộc a sao cho HB = HC = HA.
Nhận xét ph-ơng pháp giải: Trong cách giải trên, kiến thức về quan hệ giữa đ-ờng vuông góc và đ-ờng xiên kẻ từ một điểm đến một đ-ờng thẳng đ-ợc sử dụng khi bài toán xuất hiện các dữ kiện là tam giác vuông, đ-ờng vuông góc hạ từ một đỉnh, và các đ-ờng xiên cũng hạ từ đỉnh đó. Do vậy nếu giáo viên h-ớng học sinh theo cách này thì sẽ nảy sinh thêm đ-ờng vuông góc AH và đ-ờng trung tuyến AM.
Vớ dụ 3: Trờn hai cạnh BC, AC của tam giỏc đều ABC, lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho BM = CN. Tỡm vị trớ của M để MN cú giỏ trị nhỏ nhất. [20]. Hướng dẫn giải: d H B C A a H B A C M
48
Kẻ MK, NH vuụng gúc với AB và MG NH. Tứ giỏc MGHK là hỡnh chữ nhật vỡ cú ba gúc vuụng, suy ra: MG = KH mà MN MG MN KH Cỏc tam giỏc AHN, BKM đều là những tam giỏc vuụng cú một gúc nhọn bằng 60o , suy ra: 1 1 AH AN; BK BM 2 2 . Do đú: KH = AB - (AH + BK) = AB 1AN 1BM 2 2 = AB 1(AN NC) AB AC AB 2 2 2 . Suy ra: MN 2 AB ; vậy minMN = 2 AB
MN là đường trung bỡnh của ABC.
Nhận xét:ở ví dụ này, bài toán cho khá ít dữ kiện nên để vận dụng mối quan hệ giữa đ-ờng xiên và hình chiếu, giáo viên nên gợi ý cho HS việc kẻ thêm các đ-ờng vuông góc xuất phát từ M và N xuống AB. Ph-ơng pháp giảng dạy ở đây, giáo viên có thể sử dụng ph-ơng pháp thuyết trình kết hợp với vấn đáp học sinh.
Vớ dụ 4: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn. Tỡm điểm M ở trong tam giỏc sao cho MA.BC + MB.CA + MC.AB đạt giỏ trị nhỏ nhất.
(trớch đề thi vào lớp 10 trường PTTH Việt Đức Hà Nội năm học 1991 - 1992). Giải :
Xột một điểm M bất kỡ ở trong tam giỏc. AM cắt BC tại D. Kẻ BE AD, CF AD. Ta cú:
BE BD AM.BE AM.BD. CF CD AM.CF AM.CD. BE.AM + CF.AM (BD + DC).AM. Nhưng BE.AM = 2SAMB.
CF.AM = 2SAMC. M A B C D F E C / / A H N G M B K
49 D E F H A B C BD + DC = BC.
Do đú: 2(SAMB + SAMC) BC.AM. (1)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi E và F trựng với D. Khi đú AM BC. Tương tự ta cú:
2(SABM + SCBM) AC.BM. (2) 2(SCBM + SACM) AB.CM. (3) (1) + (2) + (3):
4(SABM + SACM + SBCM) AM.BC + BM.CA + CM.AB min(AM.BC + BM.CA + CM.AB) = 4SABC
AM BC; BM AC; CM AB tức là M là trực tõm của ABC.
Nhận xét: ở ví dụ này, từ yếu tố MA.BC = MA(BD + CD), giáo viên dẫn dắt HS so sánh tích trên với SAMB, SAMC. Sau đó, HS áp dụng t-ơng tự nh- vậy với các tích MB.CA và MC.AB sẽ tìm ra đ-ợc lời giải của bài toán. Giáo viên có thể sử dụng ph-ơng pháp vấn đáp và chia nhóm để giúp HS rèn luyện các kỹ năng giải bài toán này.
Ví dụ 5: Cho ABC có B là góc tù, điểm D di chuyển trên cạnh BC. Xác định
vị trí của điểm D sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến đ-ờng thẳng AD là lớn nhất. [20].
Giải:
Khi D di chuyển trên cạnh BC, ta có: SABC = SABD + SACD.
Kẻ BE AD, CF AD, ta có: SABC = 1AD.BE 1AD.CF
2 2 .
nên BE + CF = 2SABC
AD .
Do đó: BE + CF lớn nhất AD nhỏ nhất.
50
Ta có: HD HB (do ABD > 900). HD = HB D B.
Nh- vậy, khi D B thì tổng khoảng cách từ B và C đến AD có giá trị lớn nhất.
Nhận xét về ph-ơng pháp giải:
Mặc dù ta có BE BD; CF CD nên BE + CF BD + CD = BC (không đổi) nh-ng không xảy ra BE + CF = BC. (*)
Thật vậy, để xảy ra đẳng thức (*) trên ta phải có các điều kiện sau:
BE BD CF CD BD CD BC D H. D BC.
Điều này không xảy ra vì B > 90o nên H nằm ngoài cạnh BC.
Giáo viên có thể cho HS tham khảo và giao thêm các bài toán cùng dạng nh- sau:
* Bài tập áp dụng
1. Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đ-ờng thẳng d không cắt hình bình h¯nh. Gọi A’, B’, C’ lần lượt l¯ hình chiếu vuông góc c°u các điểm B, C, D trên đường thằng d. Xác định vị trí cða đường thằng d để tổng BB’ + CC’ + DD’ có giá trị lớn nhất.
Gợi ý: Gọi O’ l¯ hình chiếu vuông góc cða O trên d. Khi đó OO’ l¯ đường trung bình cða hình thang DD’B’B BB’ + CC’ + DD’ = 4.OO’ 4.OA (không đổi). Dấu “=” x°y ra O’ A d AC tại A.
2. Cho nửa đ-ờng tròn (O; R) đ-ờng kính AB. M là điểm trên nửa đ-ờng tròn Xác định vị trí của M để:
a) Diện tích MAB lớn nhất. b) Chu vi MAB lớn nhất.
Gợi ý: Vẽ MH AB, H AB. a) SMAB = MH.AB
2 = MH.R, MH OM = R SMAB R2 (không đổi). Dấu “=” x°y ra H O M là điểm nằm chính giữa cung AB.
51
b) MAB vuông tại M có MH AB MH.AB = MA. MB. Theo định lý Pitago có: MA2 + MB2 = AB2 = 4R2.
PABC = MA + MB + AB, AB không đổi. (MA + MB)2 = MA2 + MB2 + 2MA.MB.
PABC lớn nhất (MA + MB)2lớn nhất 2MA.MB lớn nhất
SABC lớn nhất M là điểm nằm chính giữa cung AB.
3. Cho hai đường tròn (O; R) v¯ đường tròn (O’; R
2 ) tiếp xúc ngoài tại A.
Trên đ-ờng tròn (O) lấy điểm B sao cho AB = R và điểm M trên cung lớn AB. Tia MA cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ 2 tại N. Qua N kẻ đường thằng song song với AB cắt đường thằng MB tại Q v¯ cắt đường tròn (O’) tại P.
a) Chứng minh OAM O’AN.
b) Chứng minh độ dài đoạn NQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M. c) Tứ giác ABQP là hình gì? Tại sao?
d) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị đó theo R.
4. Cho A là một điểm bất kỳ trên nửa đ-ờng tròn đ-ờng kính BC (A ≠ B, C). Hạ AH vuông góc với BC tại H và gọi I, K lần l-ợt là tâm của đ-ờng tròn nội tiếp AHB và AHC. Đ-ờng thẳng IK cắt các cạnh AB, AC lần l-ợt tại M, N
a) Chứng minh: AIH CKH, ABC HIK, MAN là tam giác cân. b) Xác định vị trí của điểm A để chu vi của đ-ờng tròn ngoại tiếp MHN
đạt giá trị lớn nhất.
5. Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có 2 đ-ờng thẳng di động và vuông góc với nhau tại M và cắt các đoạn AB, AC lần l-ợt tại D và E. Xác định vị trí của D và E để diện tích DME đạt giá trị nhỏ nhất
6. Cho tam giỏc đều ABC. Qua trọng tõm O của tam giỏc hóy dựng đường thẳng sao cho tổng khoảng cỏch từ ba đỉnh của tam giỏc tới đường thẳng đú là lớn nhất? nhỏ nhất?
7. Cho tam giỏc ABC vuụng ở A, M là một điểm nằm trờn cạnh huyền BC;
S
52
D; E theo thứ tự là hỡnh chiếu của M trờn AB, AC. Tỡm vị trớ của M để DE cú độ dài nhỏ nhất.
8. Cho tam giỏc ABC. Tỡm đường thẳng đi qua đỉnh A của tam giỏc sao cho tổng khoảng cỏch từ B và C tới đường thẳng đú là nhỏ nhất.
9. Cho hỡnh vuụng ABCD. Hóy nội tiếp trong hỡnh vuụng đú một hỡnh vuụng cú diện tớch nhỏ nhất.
10. Cho gúc vuụng xOy, điểm A thuộc miền trong của gúc. Cỏc điểm M, N theo thứ tự chuyển động trờn cỏc tia Ox, Oy sao cho 0
MAN90 . Xỏc định vị trớ của M, N để tổng AM + AN cú độ dài:
a. Nhỏ nhất . b. Lớn nhất.
11. Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, M là một điểm bất kỡ nằm trờn cạnh BC. Gọi E, F theo thứ tự là hỡnh chiếu của M trờn AB, AC. Tỡm vị trớ của M để EF cú độ dài nhỏ nhất.
12. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ở A, cạnh huyền BC = 2a. Một đường thẳng (d) bất kỡ đi qua A và khụng cắt cạnh BC. Gọi I là K theo thứ tự là hỡnh chiếu của B và C trờn (d). Gọi H là trung điểm của BC. Tớnh diện tớch lớn nhất của HIK.
13. Trong cỏc hỡnh thoi cú cựng chu vi, hỡnh nào cú diện tớch lớn nhất?
Kết luận:
- Chúng ta thường dùng phương pháp “sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu” để gi°i b¯i toán về giá trị lớn nhất, nhà nhất trong hình học phẳng ở THCS trong tr-ờng hợp bài toán có chứa những yếu tố vuông góc.
- Những yếu tố đó có thể cho d-ới dạng t-ờng minh hoặc buộc ng-ời học phải tự xây dựng những quan hệ vuông góc khi nghĩ đến việc sử dụng ph-ơng pháp này.
53
2.1.2. Dạng 2: Vận dụng các bất đẳng thức trong tam giác và quy tắc các điểm.
Vớ dụ 1: Cho đường thẳng xy và hai điểm A, B thuộc cựng một nửa mặt phẳng cú bờ là xy.
a. Tỡm điểm M thuộc xy sao cho MA + MB là nhỏ nhất b. Tỡm điểm N thuộc xy sao cho NA NB là lớn nhất.
Giải: a. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua xy thỡ A' hoàn toàn xỏc định.
Xột tổng MA + MB = MA' + MB.
Nối A' với B và ỏp dụng bất đẳng thức tam giỏc cho 3 điểm A', M, B ta cú: MA' + MB A'B.
dấu "=" xảy ra khi M A'B khi đú M Mo. Vậy min (MA + MB) = A'B M Mo. b. Nếu lấy một điểm N bất kỡ trờn xy thỡ
NB
NA AB. Giỏ trị lớn nhất của
NB
NA bằng AB khi và chỉ khi B là
điểm nằm giữa hai điểm A và N. Suy ra:
. Nếu AB // xy khụng tỡm được điểm N thỏa món điều kiện đề bài.
. Nếu AB khụng song song với xy. Gọi No = AB xy thỡ No là điểm cần tỡm.
Vậy max NA NB = AB N No.
Nhận xét: ở ví dụ a, bằng cách lấy A' đối xứng với A qua xy, HS sẽ dễ dàng so sánh MA + MB với A'B từ đó dẫn đến M M0. Còn ở phần b, giáo viên phải l-u ý HS về việc tìm điểm N trên AB thoả mãn NA NB = AB.
Ví dụ 2: Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó. Xác định điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và tổng AB + AC là nhỏ nhất.
y B N A x N o B A M Mo A' x y
54 x y m O A C B D y x A2 A1 O A C B Hướng dẫn giải:
Kẻ tia Om nằm ngoài góc xOy sao cho yOmxOA . Trên tia Om lấy điểm D sao cho OD = OA.
(Các điểm A và D cố định).
DOC = AOB (c.g.c) CD = AB Do đó: AC + AB = AC + CD.
Ta lại có: AC + CD AD (độ dài AD không đổi). Dấu “=” x°y ra C AD .
Nh- vậy, min(AC + AB) = AD. Khi đó C là giao điểm của AD và Oy, còn B thuộc tia Ox sao cho OB = OC.
Nhận xét: Trong cách giải trên, đoạn thẳng BA đã đ-ợc đổi phía đối với Oy thành đoạn thẳng CD. Tổng AC + AB đ-ợc viết d-ới dạng AC + AD với A và D cố định. Bất đẳng thức tam giác AC + CD AD giúp ta giải đ-ợc bài toán.
Ví dụ 3: Cho góc nhọn xOy ; A là điểm nằm trong góc đó. Hãy tìm trên hai