8. Cấu trúc luận văn
2.6. Kết luận ch-ơng 2
Ch-ơng 2 đã hệ thống lại cỏc dạng toỏn cực trị hỡnh học thuộc chương trỡnh lớp 8, 9 là: Vận dụng quan hệ giữa đ-ờng xiên và đ-ờng vuông góc, quan hệ giữa đ-ờng xiên và hình chiếu; vận dụng các bất đẳng thức trong tam giác và quy tắc các điểm; vận dụng bất đẳng thức trong đ-ờng tròn và vận dụng các bất đẳng thức đại số.
Đồng thời, ở ch-ơng 2 chúng tôi cũng đề xuất một số biện pháp s- phạm là thông qua các ví dụ cụ thể, giáo viên đã sử dụng những ph-ơng pháp dạy học tích cực nào để rèn luyện kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học theo h-ớng tích cực hoá hoạt động của học sinh.
92
Ch-ơng 3
Thực nghiệm s- phạm 3.1. Mục đớch
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành để đỏnh giỏ tớnh khả thi và tớnh hiệu quả của đề tài: "Vận dụng một số ph-ơng pháp dạy học tích cực để rèn luyện kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học thuộc ch-ơng trình lớp 8, 9 trung học cơ sở".
3.2. Nội dung thực nghiệm
Tiến hành dạy chủ đề "Cực trị hỡnh học" ở dạng vận dụng cỏc bất đẳng thức trong đ-ờng tròn dành cho học sinh lớp 9.
Tổ chức cho một số giỏo viờn dạy toỏn 9 ở trường THCS Nguyễn Trói - Ba Đỡnh - Hà Nội dạy thử theo giỏo ỏn mà tỏc giả đó soạn sẵn. Cuối mỗi tiết cú phiếu học tập để kiểm tra trỡnh độ học sinh.
Tuỳ theo nội dung từng tiết dạy, chỳng tụi lựa chọn một vài trong số cỏc biện phỏp sư phạm đó nờu trong chương 2 một cỏch hợp lý để qua đú gúp phần nõng cao tớnh tớch cực nhận thức của học sinh, làm cho học sinh trực tiếp, chủ động và sỏng tạo trong quỏ trỡnh học tập chủ đề này.
3.3. Tổ chức thực nghiệm
3.3.1. Đối tượng thực nghiệm
Lớp thực nghiệm: Lớp 9A1trường THCS Nguyễn Trói - Ba Đỡnh - Hà Nội. Lớp đối chứng: Lớp 9A2trường THCS Nguyễn Trói - Ba Đỡnh - Hà Nội.
Giỏo viờn dạy lớp thực nghiệm: Cụ giỏo Nguyễn Lan Hương. Giỏo viờn dạy lớp đối chứng: Cụ giỏo Trần Bớch Hoa.
Hai lớp đối chứng và thực nghiệm được chọn đảm bảo trỡnh độ nhận thức, kết quả học tập toỏn khi bắt đầu khảo sỏt là tương đương nhau; trong quỏ trỡnh khảo sỏt được giỏo viờn nhà trường đảm nhận.
3.3.2. Chuẩn bị tài liệu thực nghiệm
93 K H O B A C D
động học tập cho học sinh, trong đú chỳng tụi cố gắng vận dụng một số phương phỏp dạy học tớch cực để ỏp dụng cho chủ đề này. Ngoài ra, chỳng tụi cũn xõy dựng một số kịch bản dạy học nhằm thụng qua đú thể hiện tớnh hiệu quả, tớnh khả thi đề tài. Qua đú, rốn luyện kỹ năng nghe giảng, ghi chộp, ghi nhớ cỏc kiến thức Toỏn học, kỹ năng phỏt hiện và giải quyết cỏc vấn đề đặt ra.
Trong cỏc tiết dạy thực nghiệm này, chỳng tụi cũn thiết kế và sử dụng cỏc phiếu học tập nhằm giỳp bồi dưỡng năng lực đỏnh giỏ và tự đỏnh giỏ của học sinh. Cũng bằng hỡnh thức này, giỏo viờn cú thể chia nhúm để cỏc em tự do thảo luận, trao đổi, qua đú tự sửa chữa sai sút cho mỡnh và cho bạn, tạo niềm vui và hứng thỳ học tập của cỏc em trong khi học.
3.3.3. Giỏo ỏn thực nghiệm chuyờn đề cực trị trong hỡnh học phẳng
Ngày 22 thỏng 11 năm 2011.
Họ và tờn GV dạy: Nguyễn Lan Hương.
Tờn bài dạy: Vận dụng cỏc bất đẳng thức trong đường trũn để giải cỏc bài toỏn cực trị.
Tiến trỡnh dạy học:
Hoạt động GV Hoạt động HS Ghi bảng
Hệ thống lại lý thuyết:
Trong đ-ờng tròn (O): AB và CD là hai dây cung, H và K lần l-ợt là hình chiếu vuông góc của O trên AB và CD. - Ghi chộp và vẽ hỡnh vào vở. OH OK AB CD AB CD AOB COD .
94 O A C B D E A D C B O H
Hoạt động GV Hoạt động HS Ghi bảng
- GV: Yờu cầu HS trả lời cỏc cõu hỏi về mối quan hệ giữa
đ-ờng kính và dây cung; liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây , …
HS:Trong một đ-ờng tròn: - Dây lớn nhất là đ-ờng kính. - Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại.
- Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn, dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn".
Ví dụ 1: Cho đ-ờng tròn (O; R); AC là đ-ờng kính. BD là dây cung của (O; R) và
BD AC. Xác định vị trí của dây BD để diện tích tứ giác ABCD là lớn nhất. GV: Yêu cầu HS nói đ-ợc mối quan hệ giữa AC và BD.
HS: AC BD (giả thiết). GV: Nêu cách tính SABCD ?. HS: SABCD = 1 2AC.BD = R.BD. GV: So sánh BD và đ-ờng kính AC ? HS: BD 2R.
GV: Vậy tính GTLN của SABCD.
HS: SABCD 2R2. Dấu “=” x°y ra BD là đ-ờng kính của (O).
Ví dụ 2: Cho nửa đ-ờng tròn đ-ờng kính BC = 2R, tâm O cố định. Điểm A di động
trên nửa đ-ờng tròn. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Gọi D và E lần l-ợt là hình chiếu của H lên AC và AB; xác định vị trí của A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo R.
Dự kiến cỏc cõu hỏi-trả lời của GV và HS:
Cõu hỏi 1: Cỏc em cú nhận xột gỡ về tứ giỏc ADHE?
HS: ADHE là hỡnh chữ nhật vỡ là tứ giỏc cú 3 gúc vuụng.
Cõu hỏi 2: Diện tớch của hỡnh chữ nhật ADHE được tớnh theo cụng thức nào?
95
Cõu hỏi 3: Sử dụng cỏc bất đẳng thức đó học hóy so sỏnh AD.AE? HS1: AD ≤ AC ; AE ≤ AB. Vậy AD.AE ≤ AB.AC.
HS2: Theo bất đẳng thức Cauchy 2 2 AD AE AD.AE 2 . HS3: Theo bất đẳng thức Cauchy 2 2 2 2 AD AE DE AH AD.AE 2 2 2 .
Cõu hỏi 4: Trong rất nhiều ý kiến cỏc em vừa nờu, ta đó tỡm được một vài ý kiến cú cựng kết quả là
2
AH AD.AE
2
. Vậy liệu cú thể so sỏnh tiếp 2 AH
2 với một đại lượng khụng đổi trong đề bài được khụng?
HS: Nối A với O, rồi so sỏnh AH và AO.
Cõu hỏi 5: Nối A với O. Cú nhận xột gỡ về AH và AO? rồi từ đú suy ra 2 AH
2 .
HS: AH ≤ AO (theo quan hệ giữa đường xiờn và hỡnh chiếu) AH2 AO2 R2
2 2 2 .
Cõu hỏi 6: Vậy diện tớch tứ giỏc ADHE đạt diện tớch lớn nhất khi nào?
HS: Vậy 2 ADHE R maxS khi AD AE 2 , tức là khi AB AC H-ớng dẫn giải:
Dễ thấy tứ giác ADHE là hình chữ nhật .
2 2 2 2 ADHE AD AE DE AH S AD.AE 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R AO AH SADHE . Vậy ; 2 max 2 AE khiAD R SADHE tức là khi AB AC . Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: AB và CD là hai đ-ờng kính vuông góc với nhau của một đ-ờng tròn tâm
O, bán kính R. M là một điểm bất kì thuộc (O ; R). Tìm giá trị lớn nhất của P = MA.MB.MC.MD.
GV chia lớp làm 4 nhúm ứng với mỗi vị trớ của điểm M rồi cho cỏc nhúm trao đổi, thảo luận với nhau để tìm giá trị lớn nhất của P = MA.MB.MC.MD.
96
Nhúm 1: Tỡm GTLN của P = MA.MB.MC.MD, với M cung AC nhỏ.
Nhúm 2: Tỡm GTLN của P = MA.MB.MC.MD, với M cung CB nhỏ.
Nhúm 3: Tỡm GTLN của P = MA.MB.MC.MD, với M cung BD nhỏ.
Nhúm 4: Tỡm GTLN của P = MA.MB.MC.MD, với M cung DA nhỏ.
Sau khi cho cỏcnhúm trao đổi, thảo luận xong, GV yêu cầu từng nhóm trình bày kết quả thực hiện nhiệm vụ của nhóm mình, các nhóm còn lại theo dõi, quan sát và góp ý.
Hướng dẫn giải : Ta xét bốn tr-ờng hợp :
Tr-ờng hợp 1 : M thuộc cung AC nhỏ. Gọi H, K lần l-ợt là hình chiếu của M trên OA, OB. Ta cú P = MA.MB.MC.MD = (MK.AB).(MH.CD) = MK.2R.MH.2R, Từ đó P = 4R2.MK.MH 2 2 2 2 2 2 MK MH OH MH OM R MK.MH 2 2 2 2 . Vậy 2 2 R 4 P 4R . 2R 2 . Vậy MaxP là 2R4 M OH MH
là điểm chớnh giữa của cung AC nhỏ. T-ơng tự tr-ờng hợp 2, 3, 4 ta đều có P2R4.
Vậy MaxP là 2R4
khi M là điểm chớnh giữa của cung AC hoặccung CB hoặc cung BD hoặc cung DA nhỏ.
Bài tập2: Cho đ-ờng tròn (O) và một điểm P nằm trong đ-ờng tròn. Xác định dây AB đi qua P sao cho OAB có giá trị lớn nhất.
O D C B A M O D C B A M O D C B A M O D C B A M Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 Nhóm 4
97 P H O A B A' B' H-ớng dẫn giải:
Xét tam giác cân AOB, góc ở đáy OAB lớn nhất nếu góc ở đỉnh AOB nhỏ nhất.
Góc ở tâm AOB nhỏ nhất cung t-ơng ứng AB nhỏ nhất. Cung AB nhỏ nhất dây AB nhỏ nhất.
Dây AB nhỏ nhất khoảng cách đến tâm (đoạn OH) lớn nhất. Ta có: OH OP. Dấu “=” x°y ra H P,
Nên maxOH = OP AB OP.
Bài tập về nhà:
Bài 1: Cho tam giác đều cạnh a. Điểm Q di động trên cạnh AC, điểm P di động trên tia đối của tia CB sao cho AQ. BP = a2. Đ-ờng thẳng AP cắt đ-ờng thẳng BQ tại M.
c) Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp đ-ờng tròn. d) Tìm giá trị lớn nhất của MA + MC theo a.
Bài 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đ-ờng tròn (O; R). M là điểm di động trên đ-ờng tròn (O). Xác định vị trí của điểm M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3: Cho đ-ờng tròn (O; R); BC là dây cung cố định (BC ≠ 2R). A là điểm chuyển động trên cung lớn BC. Xác định vị trí của A để chu vi tam giác ABC lớn nhất.
3.3.4. Tiến hành thực nghiệm
- Thời gian thực nghiệm: Tiến hành từ ngày 10/10/2011 đến ngày 30/11/2011 tại trường THCS Nguyễn Trói - Quận Ba Đỡnh - Hà Nội.
- Lớp 9A2 dạy và học theo phương phỏp thụng thường, lớp 9A1 dạy và học theo hướng ỏp dụng cỏc biện phỏp sư phạm đó đề xuất.
3.3.5. Kết quả thực nghiệm
Sau quỏ trỡnh thực nghiệm, chỳng tụi thu được một số kết quả và tiến hành phõn tớch trờn hai phương diện: Phõn tớch định tớnh, phõn tớch định lượng.
3.3.5.1. Phõn tớch định tớnh
Sau quỏ trỡnh thực nghiệm, chỳng tụi đó theo dừi sự chuyển biến trong hoạt động nhận thức của học sinh đặc biệt là cỏc kỹ năng nghe giảng, ghi chộp,
98
thảo luận, đặt cõu hỏi, tự kiểm tra, đỏnh giỏ,... Bước đầu rốn luyện cho cỏc em cú thúi quen tự nghiờn cứu khoa học, cú kỹ năng phỏt hiện và giải quyết cỏc vấn đề đặt ra, từ đú xõy dựng và kiến tạo cỏc kiến thức mới. Chỳng tụi nhận thấy lớp thực nghiệm cú chuyển biến tớch cực hơn so với trước thực nghiệm. Cụ thể là: học sinh hứng thỳ hơn trong giờ học toỏn, khả năng phõn tớch, tổng hợp, so sỏnh, tương tự, khỏi quỏt húa, đặc biệt húa, hệ thống húa của học sinh tiến bộ hơn, học sinh tập trung chỳ ý nghe giảng, thảo luận nhiều hơn, việc ghi chộp, ghi nhớ thuận lợi hơn, việc đỏnh giỏ, tự đỏnh giỏ bản thõn được sỏt thực hơn,...
3.2.5.2. Phõn tớch định lượng
Việc phõn tớch định lượng dựa trờn kết quả của bài kiểm tra sau đõy được học sinh thực hiện trong đợt thực nghiệm.
Bài kiểm tra số 1 (thời gian làm bài: 45 phỳt)
Bài 1 (6 điểm): Cho nửa đường trũn tõm O đường kớnh AB = 2R, hai tiếp tuyếp Ax, By. Qua điểm M trờn nửa đường trũn kẻ tiếp tuyến cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Đặt AC = x, BD = y. Xỏc định vị trớ của điểm M để tổng x + y đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Bài 2 (4 điểm): Cho đường trũn (O, R) và điểm A nằm bờn ngoài đường trũn. Kẻ cỏc tiếp tuyến AB, AC với đường trũn (B, C là cỏc tiếp điểm). Trờn cung nhỏ BC của đường trũn (O, R) lấy điểm K bất kỳ (K khỏc B, C). Tiếp tuyến tại
K của đường trũn (O, R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P, Q. Đường thẳng qua O
và vuụng gúc với OA cắt cỏc đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng PMQNMN.
Bài kiểm tra số 2 (thời gian làm bài: 45 phỳt)
Bài 1: Cho đường trũn (O) đường kớnh AB = 2R, C là trung điểm của OA và dõy MN vuụng gúc với OA tại C. Gọi K là điểm tựy ý trờn cung nhỏ BM. Xỏc định vị trớ của điểm K để tổng KM + KN + KB đạt giỏ trị lớn nhất và tớnh giỏ trị lớn nhất đú. (6 điểm)
99
Bài 2: Cho đường trũn (O ; R) và 2 điểm A, B nằm ngoài đường trũn sao cho OAR 2. Tỡm điểm M trờn đường trũn sao cho tổng MA 2MB đạt giỏ trị nhỏ nhất. (4 điểm)
* í đồ sư phạm:
- Kiểm tra mức độ tư duy, nhận thức của học sinh. - Kiểm tra kĩ năng giải quyết vấn đề của học sinh.
* Kết quả kiểm tra của học sinh thu được như sau: Bảng 3.1: Bảng phõn phối tần số điểm của bài kiểm tra số 1.
Điểm số 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TB
Tần số (lớp TN) 4 7 8 9 9 8 6.8
Tần số (lớp ĐC) 5 7 8 9 7 5 4 5.9
Bảng 3.2: Bảng phõn bố tần suất điểm của bài kiểm tra số 1 (%).
Điểm số 0-2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tần suất (lớp TN) 8,89 15,56 17,78 20,00 20,00 17,78 Tần suất (lớp ĐC) 11,11 15,56 17,78 20 15,56 11,11 8,89 0 5 10 15 20 25 30 0-2 3 4 5 6 7 8 9 Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng
100
Bảng 3.3: Bảng phõn phối tần số điểm của bài kiểm tra số 2.
Điểm số 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TB
Tần số (lớp TN) 1 3 6 8 9 9 9 6.9
Tần số (lớp ĐC) 6 3 9 9 7 7 4 6.3
Bảng 3.4: Bảng phõn bố tần suất điểm của bài kiểm tra số 2 (%).
Điểm số 0-2 3 5 4 6 7 8 9 10 Tần suất (lớp TN) 2,22 6,66 13,33 17,77 20,00 20,00 20,00 Tần suất (lớp ĐC) 13,33 6,66 20 20,00 15,56 15,56 8,89 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0-2 3 4 5 6 7 8 9 10 Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng
Biểu đồ 3.2: Biểu đồ phõn bố tần suất điểm của bài kiểm tra số 2.
Từ cỏc kết quả trờn ta cú nhận xột sau:
- Điểm trung bỡnh chung ở lớp thực nghiệm (6,8) và (6,9) cao hơn lớp đối chứng (5,9) và (6,3).
101
sinh cú điểm 6 ở lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng.
3.4. Kết luận chương 3
Quỏ trỡnh thực nghiệm cựng những kết quả rỳt ra sau thực nghiệm cho thấy: mục đớch thực nghiệm đó được hoàn thành, tớnh khả thi và tớnh hiệu quả của cỏc biện phỏp đó được khẳng định. Nếu khộo lộo vận dụng cỏc biện phỏp đó đề xuất trong luận văn thỡ giỏo viờn sẽ rèn luyện tốt kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học cho học sinh. Thông qua đó sẽ tích cực hoá hoạt động nhận thức của các em, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học.
102
KẾT LUẬN
Trên đây là những nghiên cứu ban đầu về đề tài "Vận dụng một số ph-ơng pháp dạy học tích cực để rèn luyện kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học thuộc ch-ơng trình lớp 8, 9 tr-ờng trung học cơ sở ".
Luận văn đã hoàn thành và đạt đ-ợc một số kết quả chủ yếu sau: * Hệ thống hoá một số vấn đề lý luận và thực tiễn về ph-ơng pháp dạy học tích cực và cỏc kỹ năng giải các bài toán cực trị hình học.
* Trên cơ sở lý luận và thực tiễn, luận văn đã đề xuất đ-ợc một số biện