rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy cho học sinh là sử dụng Cabri
đỉnh A.
Sử dụng Cabri Geometry trong dạy học giải bài tập
Trong dạy học toán nói chung, dạy học hình học nói riêng thì dạy giải bài tập có một vai trò đặc biệt quan trọng. Theo Nguyễn Bá Kim thì bài tập có vai trò giá mang hoạt động. Thông
qua giải bài tập học sinh thực hiện các hoạt động như nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học. Một trong những biện pháp nhằm thực hiện tốt có hiệu quả việc dạy học giải bài tập, góp phần hình thành,
Geometry như sau:
• Hỗ trợ học sinh tiến hành các thao tác tư duy như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, trừ iều góc độ khác nhau nhằm phát h hứa trong hình vẽ. ọc sinh sẽ nhanh t hiện và giải quyết
h dựđoán. Qua quá trình này, học sinh dần dần tìm ra được hướng đi cho lời giải của bài toán.
3.7.1.
giác ABC vuông tại A, đường cao AH, HC – HB = AB. Chứng minh rằng B
một tình huống có vấn đềđối với học sinh. Làm sao có thể vẽđược chính xác ta
Ta sẽ khai thác Cabri Geometry hỗ tr
= CD.
u tượng hoá, đặc biệt hoá, hệ thống hoá… trong quá trình đi tìm lời giải của bài toán.
• Tạo ra môi trường giúp học sinh xem xét vấn đề dưới nh iện ra những liên tưởng, mối quan hệẩn c
• Minh hoạ kết quả một cách sinh động.
Khi sử dụng Cabri Geometry để vẽ hình, trước tiên học sinh có được một hình vẽ trực quan, sinh động, nêu bật được các yếu tố cho bởi giả thiết của bài toán, nhờ đó h
chóng phát hiện và khai thác các yếu tốđó trong việc tìm lời giải các bài toán.
Trong một số trường hợp, nếu chỉ vẽ một, hai hình, học sinh chưa thể phát hiện ra vấn đề mà cần phải có nhiều hình vẽở các góc độ khác nhau. Với một vài thao tác “kéo, thả” của Cabri Geometry, từ hình vẽ ban đầu ta có được hình vẽ ở góc độ mà học sinh có thể phá
vấn đề nhờ quan sát trực quan hoặc các công cụ hỗ trợ của Cabri Geometry.
Ngoài việc cung cấp một hệ thống công cụ mạnh để vẽ hình thì Cabri Geometry còn có một hệ thống các chức năng kiểm tra, tính toán như: kiểm tra tính song song, tính vuông góc... tính khoảng cách, diện tích... Với hệ thống công cụ này học sinh có thểđo đạc, tính toán đểđưa ra dựđoán của mình, sau đó lại sử dụng hệ thống kiểm tra để thẩm địn
Sử dụng Cabri Geometry để thể hiện chính xác giả thiết ban đầu Ví dụ 3.24: Cho tam
C = 2AB.
Hoạt động 1: Vẽ hình.
Đây thực sự là m giác ABC?
ợ học sinh giải quyết khó khăn này theo ý tưởng vẽ rồi tìm cách thay đổi các yếu tố sao cho nó thể hiện đúng được các tính chất cho bởi giả thiết. Thao tác vẽ hình như sau:
một tam giác vuông bất kì
– Vẽ tam giác vuông ABC vuông tại A bất kì. – Dựng đường cao AH.
– Lấy điểm E thuộc BC sao cho HB = HE, vậy HC – HB = HC – HE = EC.
– Trên BC lấy điểm D sao cho CD = AB (hình 3.38).
Nói chung hai điểm D, E là phân biệt, tức là HC – HB = CE ≠ AB
Cần thay đổi tam giác vuông ABC sao cho HC – HB = AB (hay CE = CD).
Cho tam giác vuông ABC thay đổi hình dạng sao cho hai điểm E, D trùng nhau. Khi đó ta được một tam giác
vuông thoả mãn điều kiện đã cho của giả thiết (hình 3.39).
Hoạt động 2: Tìm hướng giải quyết bài toán.
Giáo viên (gợi ý cho học sinh): Hãy xem xét điểm D có gì đặc biệt?
Học sinh: Trực giác cho thấy D "có vẻ" là trung điểm của BC. Dùng Cabri Geometry kiểm tra cho thấy dựđoán là chính xác.
Giáo viên: Hãy nối A với D và xét xem ∆ABD có gì đặc biệt?
Học sinh: Bằng trực quan và sử dụng Cabri Geometry đo đạc học sinh nhận được kết quả
∆ABD là tam giác đều và BC = 2DB = 2AB.
Mặt khác học sinh cũng phát hiện được ∆ ADC là tam giác cân.
Hoạt động 3: Trình bày lời giải.
Từ kết quả của hoạt động 2 ta có: nếu tam giác vuông ABC thoả mãn giả thuyết thì một điểm thuộc BC đối xứng với B qua điểm H sẽ là trung điểm của BC, từđây gợi ý cho học sinh biết tạo thêm yếu tố phụ là lấy điểm D thuộc HC sao cho HD = HB để giải quyết bài toán.
Tam giác ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên là tam giác cân, suy ra ADB=B$ và AB = AD (1).
Mặt khác DC = HC – HD = HC – HB = AB = AD hay tam giác ADC là tam giác cân suy ra DAC=C, suy ra DAB=B$ (cùng bằng 900 – ) (2). C
Từ (1), (2) suy ra ADB= =B$ DAB hay tam giác ABD là tam giác đều. Vậy ta có AB = BD = AD = DC hay BC = 2AB.
3.7.2. Sử dụng Cabri Geometry hỗ trợ tìm hướng giải quyết bài tập
Ví dụ 3.25: Sử dụng Cabri Geometry hỗ trợ học sinh giải bài toán “Tìm mối liên hệ giữa khoảng cách từ giao ba đường trung trực của tam giác đến một cạnh với khoảng cách từ trực tâm đến đỉnh đối diện với cạnh đó”.
Hoạt động 1: Sử dụng Cabri Geometry vẽ hình.
Hoạt động 2: Dựđoán tỉ số k = 2.
Nếu chỉ nhìn vào hình vẽ thì dù hình vẽ có trực quan đến đâu chăng nữa cũng rất ít học sinh phát hiện được tỉ số k = 2. Ta sử dụng Cabri Geometry hỗ trợ học sinh phát hiện ra tỉ số này như sau:
Dùng chức năng Distance and Length xác
định số đo của KE và HB. Kết quả cho thấy, trong trường hợp cụ thể này tỉ số k = 2 (hình 3.40).
Hình 3.40
Cho tam giác ABC thay đổi, kết quả tỉ số HB : KE không thay đổi, luôn bằng 2. Vậy, học sinh dự đoán và tìm cách chứng minh tỉ số cần tìm là k = 2.
Hoạt động 3: Tìm cách chứng minh.
thẳng song song với cạnh BC thì đường thẳng đó đi qua trung điểm E của cạnh AC và BC = 2DE.
Kẻ tia CK, ta có E là trung điểm AC nên cần kẻ thêm các đường phụ sao cho KE là đường trung bình của tam giác mà A và C là hai đỉnh. Gọi đỉnh còn lại của tam giác cần tìm là Q, theo cách dựng AQ // KE, học sinh xác định đỉnh Q bằng cách từ A kẻ Ax // KE cắt CK tại điểm Q. Vì E là trung điểm AC nên AQ = 2EK. Để chứng minh KE bằng một nửa HB, cần chứng minh được HB bằng AQ (hình 3.41).
Từ B kẻ By // KF, giả sử By cắt CK tại Q’. Vì F là trung điểm BC nên K là trung điểm CQ’ hay Q’K = KC (*), mặt khác vì E là trung điểm của AC và EK // AQ nên K là trung điểm của CQ hay KC = KQ (**).
Hình 3.41
Từ (*) và (**) suy ra Q trùng với Q’ hay BH = AQ. Bài toán được giải quyết.
Trong dạy học giải bài tập hình học, để vận dụng các biện pháp truyền thống nhưđặc biệt hoá, khái quát hoá... có thể học sinh phải vẽ rất nhiều hình. Điều này đôi khi không thực hiện được vì điều kiện thời gian. Cũng có trường hợp học sinh đưa ra những nhận xét mới chỉđúng trong một vài hình vẽ cụ thể, còn trong trường hợp tổng quát thì lại không đúng. Với việc khai thác tính động và các công cụ đo đạc, kiểm tra của Cabri Geometry, ta có môi trường rất thuận lợi để thực hiện các biện pháp trên trong một thời gian rất ngắn.
Mặt khác, khi xét các trường hợp đặc biệt hoá, với môi trường truyền thống, học sinh chỉ có được hình vẽở trạng thái tĩnh. Với Cabri Geometry, ngoài hình vẽ thì điều quan trọng hơn rất nhiều là học sinh được quan sát trực quan “quá trình” dẫn đến các trường hợp đặc biệt đó như thế nào.
Hình 3.42
Ví dụ 3.26: “Cho tam giác đều ABC, M là trung điểm của BC. V . dễ dàng chứng minh , với các công cụ đo kh uyết vấn đề. 600 (góc đồng vị), góc MCE
ẽ ME song song với AB (E∈AC), vẽ MF song song với AC (F∈AB). Chứng minh rằng ∆BME = ∆FMC”.
– Hoạt động 1: Sử dụng Cabri để vẽ hình Vì M là trung điểm của BC nên học sinh được ∆BME = ∆FMC (c.c.c) (hình 3.42).
– Hoạt động 2: Tạo tình huống có vấn đề.
Hình 3.43
Dùng chuột di chuyển vị trí của M trên BC
oảng cách và góc, học sinh nhận thấy ∆ BME = ∆ FMC (hình 3.43). Vậy phải chăng bài toán vẫn đúng với trường hợp điểm M bất kì thuộc BC?
– Hoạt động 3: Giải q
Vì ME // AB nên góc CME bằng
bằng 600 (gt). Vậy ∆MCE đều hay ME = MC (*). Tương tự ta có ∆ MBF là tam giác đều nên MB = MF (**).
Vậy ∆BME = ∆FMC (c.g.c), như vậy ta đã mở rộng được bài toán trên.
khoảng cách từ trực t
BC là tam giác đều nên học sinh chỉ ra được
eometry để xét bài toán mở rộng: ét trường hợp điểm M bất kì: t trùng với một trong ba đỉn ới vị trí điểm M bất kì, sử dụng chức năng đo đạc, kết quả c với điểm M tam giác A
h ba tam giác ∆AMB; ∆BMC; ∆CMA. GV gợi ý
nh thấy ngay kết luận trên không còn đ
mở rộng và giải quyết bài toán với vị trí điểm M bất kì
Ví dụ 3.28: Xét bài toán “Cho tam giác ABC cân tại A, M là ng 1: Sử dụng Cabri Geometry vẽ hình (hình 3.45). oạt động 2: Chỉ ra MD + đến các vị trí ặc biệt: ểm D trùng với đ .
Ví dụ 3.27: Xét bài toán “Cho tam giác đều ABC, chứng minh rằng tổng âm đến ba cạnh bằng độ dài đường cao”.
Vì tam giác A
MI + MK + MP = AH. Ta sẽ sử dụng Cabri G – X
Cho điểm M đến các vị trí đặc biệ
h của tam giác ABC, khi đó tổng khoảng cách từđiểm M tới ba cạnh chính bằng độ dài đường cao của tam giác ABC.
V
ũng cho thấy tổng đó luôn bằng độ dài đường cao của tam giác đều ABC nên học sinh dựđoán mệnh đề trên đúng
BC (hình 3.44). Nối điểm M với các đỉnh của tam giác tạo thàn
Hình 3.44
bất kì trong
: khi điểm M thay đổi, ta luôn có ba tam giác ∆AMB; ∆BMC; ∆CMA ghép lại chính là
∆ABC, hay nói một cách khác diện tích ∆ABC = tổng diện tích ba tam giác. Hãy tính diện tích các tam giác ∆AMB; ∆BMC; ∆CMA và ∆ABC để từđó suy ra MI + MK + MP = AH
– Xét trường hợp tam giác ABC bất kì, điểm M bất kì: Cho tam giác ABC thay đổi, qua số liệu đo đạc học si úng trong trường hợp tam giác bất kì.
Như vậy, từ bài toán ban đầu học sinh trong tam giác đều ABC.
điểm thuộc đáy BC, vẽ MD và ME vuông góc với AB và AC (D∈AB, E∈AC). Chứng minh rằng MD + ME không đổi” Hoạt độ H ME bằng một đại lượng không đổi. Di chuyển điểm M đ – Khi M tiến đến trùng với điểm B thì đi
iểm B (MD = 0), khi đó ME là đường cao hạ từđỉnh B xuống
cạnh AC
– Khi M tiến đến trùng với điểm C thì E trùng với điểm C (ME = 0), khi đó MD chính là đường
.
+ ME = BH, cần tạo ra trên BH một đoạn bằng ME (hoặc MD) và chứng
ác vuông BPM và MDB có một cạnh huyền chung và ha
y 2 điểm
ẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cốđịnh”. Geometry vẽ tam giác ABC và lấy M trên BA, N trên CA sao cho BM =
B và quan sát các vị trí đặc biệt:
ờng trung trực của B
ương tự, khi M ≡ A thì N ≡ P (P∈AC và CP = BA), suy ra điểm cốđịnh thuộc đường trung
ng chứng minh.
ung trực đoạn thẳng BC với đường trung trực đoạn t hiện các mối quan hệ giữa điểm I với cá t quả úng Vậy ta có: I, A cùng nhìn BC dưới một góc, vậy có thể I
ọc sinh vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và sử dụ
cao hạ từ đỉnh C xuống cạnh AB. Mặt khác do tam giác ABC cân tại đỉnh A nên hai đường cao hạ xuống hai cạnh bên bằng nhau.
Vậy học sinh sẽ dựđoán MD + ME = BH
– Hoạt động 3: Tìm tòi cách giải bài toán. Kẻđường cao BH.
Để chứng minh MD
minh phần còn lại là MD (hoặc ME). Kẻ MP ⊥ BH, có PH = ME, hai tam gi
i góc nhọn bằng nhau nên MD = BP (hình 3.46). Đây chính là điều phải chứng minh.
Ví dụ 3.29: Xét bài toán “Cho tam giác ABC (BA<CA). Trên hai cạnh BA và CA, lấ M và N di động sao cho BM = CN. Chứng minh rằng trung trực của đoạn th Hoạt động 1: Vẽ hình. Học sinh sử dụng Cabri CN, dựng đoạn thẳng MN, và đường trung trực của đoạn thẳng MN Hoạt động 2: Phát hiện điểm cốđịnh. Học sinh cho điểm M di chuyển trên A
– M ≡ B, khi đó N ≡ C; suy ra điểm cố định nằm trên đư C.
– T
trực của đoạn thẳng AP.
Hoạt động 3: Tìm tòi hướ
Học sinh xác định I là giao của đường tr
thẳng AP và tìm cách chứng minh I là điểm cốđịnh. Trước hết học sinh sẽ sử dụng Cabri Geometry để phá
c yếu tố khác (tập trung vào phát hiện các yếu tố bất biến vềđộ dài hoặc sốđo góc khi các yếu tố khác thay đổi) bằng cách: Cho tam giác ABC, thay đổi, bằng trực giác học sinh phát hiện hai góc BAC và BIC luôn “bằng nhau”. Học sinh sử dụng chức năng đo góc để kiểm tra lại dự đoán (kế là đ ).
và A cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?
H
ng chức năng kiểm tra xem điểm I có thuộc đường tròn không (kết quả điểm I thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) (hình 3.47). Như vậy, sau quá trình tìm tòi, khám phá học sinh đi đến việc giải quyết bài toán như sau:
giác A
và ∆INC có: . ng trung tr
3.7.3. Sử dụng Cabri Geometry để minh hoạ kết quả lời giải
m tra kết quả giải bài tập của học sinh h
ng các chức năng công cụ kiểm tra: kiểm tra tính thẳng hàng, tính song song, tính vuông
ụđo đạc, tính toán: đo độ dài một đoạn thẳng, khoảng cách giữa hai điểm,
, Az là tia phân giác, B là điểm cố định
đường trung trực của đoạn thẳng CD luôn luôn đi qua một điểm cốđịnh khi C
Hoạt động 1: Vẽ hình. i giải.
ó thể giao của tia phân giác g
ện có thể điểm cố định chính
Sau khi dự đoán điểm cố định hợp, học sinh đều chứng minh được vấn đề: Hình như có 2 điểm cốđịnh
BC với đường trung trực của cạnh BC (lấy I cùng phía với A đối với cạnh BC). – Nối điểm I với M, N. Xét hai tam giác ∆IMB
IB = IC; BM = CN; IBM =ICN suy ra ∆IMB = ∆INC (c.g.c) Vậy I luôn thuộc đườ ực của MN.
Sử dụng Cabri Geometry cho phép giáo viên dễ dàng kiể
oặc học sinh có thể tự kiểm tra tính chính xác của lời giải, kết quả tính toán của mình bằng cách:
– Sử dụ
góc, tính cách đều, tính liên thuộc... để minh hoạ hoặc bác bỏ một phát hiện, một dự đoán nào đó.
– Sử dụng các công c
tính diện tích của tam giác, đa giác, hình tròn... để kiểm tra tính chính xác việc tính toán.
– Khai thác tính động: biện luận kết quả của bài toán.