3.6.1. Sử dụng Cabri Geometry để giúp học sinh phát hiện ra định lí, tạo động cơ chứng minh
Cabri Geometry tạo một giao diện đồ hoạ theo kiểu vi thế giới giúp ta vẽ hình và bước đầu khám khá những tính chất chứa đựng bên trong hình vẽ.
Nếu học sinh sử dụng Cabri Geometry để vẽ hình và sau đó cho hình vẽ thay đổi mà vẫn giữ nguyên các giả thiết ban đầu thì có thể sẽ phát hiện được những bất biến chứa ẩn trong hình vẽ trên cơ sở quan sát trực quan. Đây chính là quá trình học sinh thể hiện năng lực quan sát, dò tìm và dựđoán. Mặt khác, học sinh có thể sử dụng các công cụ của Cabri Geometry để kiểm tra ngay dựđoán đó. Đây chính là quá trình trợ giúp học sinh phát hiện ra định lí. Quá trình này có thể thực hiện theo hai cấp độ khác nhau:
– Mức độ thứ nhất: học sinh tự mình khám phá và phát hiện ra định lí.
– Mức độ thứ hai: học sinh phát hiện ra định lí thông qua một số các bước kiểm nghiệm theo sựđịnh hướng của giáo viên.
Quy trình sử dụng Cabri Geometry như sau:
Bước 1: Vẽ một số hình cụ thể (thoả mãn giả thiết của định lí).
Bước 2: Đo đạc, kiểm tra các yếu tố của hình vẽ (trong đó có một số yếu tố có trong kết luận của định lí).
Bước 3: Sử dụng các thao tác kéo, thả... biến đổi hình để học sinh phát hiện một số kết quả đặc biệt, một số yếu tố không thay đổi, một số quan hệ được bảo toàn. Dẫn đến tình huống có vấn đề: các kết quả trong tình huống cụ thể này còn đúng trong trường hợp tổng quát hay không? Nhờ sự hỗ trợ của Cabri Geometry học sinh sẽ đưa ra những nhận xét quan trọng để từ các nhận xét này, giáo viên dẫn dắt đến việc học sinh phát hiện ra định lí và hình thành động cơ, ham muốn chứng minh tính đúng đắn của định lí.
Ví dụ 3.16: Phát hiện ra tính chất của hai góc đối đỉnh.
Giáo viên đưa ra hình vẽ hai góc đối đỉnh và sốđo các góc O1, O2, O3, O4 (hình 3.20). – Giáo viên: Em có nhận xét gì về sốđo của các góc O1 và O3, O2 và O4?
– Học sinh: Ta có O1 = O3 và O2 = O4.
– Giáo viên (cho hình vẽ thay đổi): Số đo của các góc O1, O3 có thay đổi không?
– Học sinh: Sốđo góc O1, O3 có thay đổi.
– Giáo viên: Sốđo góc O1, O3 có còn bằng nhau không? – Học sinh: Ta vẫn có: O1 = O3 (tương tự ta có O2 = O4).
– Giáo viên: Hãy đưa ra nhận xét về tính chất của hai góc đối đỉnh?
– Học sinh: Hai góc đối đỉnh "hình như" bằng nhau? Đến đây học sinh nảy sinh động cơ tìm cách chứng tỏ "hai góc đối đỉnh thì bằng nhau".
Việc sử dụng Cabri Geometry giúp học sinh phát hiện ra định lí có thể được tiến hành theo nhiều phương án khác nhau.
Ví dụ 3.17: Giúp học sinh phát hiện và gợi động cơ chứng minh định lí "Tổng sốđo ba góc của một tam giác bằng 1800".
Phương án 1: Nhóm học sinh sử dụng Cabri Geometry. Phiếu học tập được thiết kế như sau:
Nhiệm vụ 1: Vẽ các tam giác với sốđo các góc cho trước.
Giáo viên: Khi học về tam giác ở lớp 6, chúng ta đã vẽ những tam giác khi biết độ dài của ba cạnh. Cùng với các cạnh, tam giác còn có các góc. Hãy sử dụng công cụ của Cabri Geometry (hoặc sử dụng macro vegoc của giáo viên thiết kế sẵn) để lần lượt vẽ những tam giác có độ dài cạnh tuỳ ý còn 3 góc bằng:
a) 60o, 400, 71o b) 50o, 70o, 75o c) 65o, 55o, 85o
Có vẽđược tam giác với những bộ 3 góc đã cho như trên hay không? Học sinh (trả lời): Không vẽđược các tam giác có sốđo góc nhưđã cho.
Nhiệm vụ 2: Tìm hiểu tại sao không vẽđược tam giác ở các trường hợp trên?
Học sinh (trả lời): Chỉ vẽ 2 góc thì đã hình thành luôn tam giác nên không thể vẽ góc thứ 3 theo sốđo nhưởđầu bài.
Nhiệm vụ 3: Hãy xoá số đo đó đi và vẽ một tam giác bất kì với 2 góc đầu tiên theo số đo của đầu bài rồi đo xem góc còn lại của tam giác bằng bao nhiêu?
Học sinh (thực hiện và thu được kết quả sau):
a) 60o, 400, 71o , 80o b) 50o, 70o, 75o, 700, c) 65o, 55o, 85o, 600 Nhiệm vụ 4: Hãy nhận xét về những sốđo 3 góc của một tam giác?
Học sinh (đưa ra nhận xét): Tổng ba góc của một tam giác bằng 1800.
Nhiệm vụ 5: Hãy vẽ một tam giác bất kì, đo 3 góc của tam giác đó và kiểm nghiệm lại nhận xét trên.
– Hoạt động 1: Tạo động cơ.
Hình 3.21
Giáo viên đưa ra hình vẽ hai tam giác (hình 3.21) và đặt câu hỏi: Tam giác nào có tổng ba cạnh lớn hơn? (học sinh sẽ trả lời tam giác DEF có tổng ba cạnh lớn hơn).
Giáo viên: Tam giác nào có tổng ba góc lớn hơn? (học sinh có thể cho ý kiến khác nhau).
– Hoạt động 2: Phát hiện tính chất về tổng ba góc của một tam giác.
Giáo viên cho học sinh quan sát ∆ABC trong đó góc A luôn bằng 900, còn hai góc B, C thay đổi (hình 3.22). Vì chỉ có hai góc thay đổi nên học sinh dễ phát hiện được tổng hai góc B, C luôn bằng 900để từđó dựđoán tổng ba góc của một tam giác bằng 1800.
Hình 3.22
Phương án 3: Giáo viên sử dụng Cabri Geometry đi thẳng vào nội dung định lí.
Trong trường hợp thời gian có hạn, giáo viên vẽ và tính tổng ba góc của một tam giác bất kì sau đó cho thay đổi tam giác. Qua quan sát trực quan một số trường hợp học sinh đi đến nhận xét về tính chất về tổng 3 góc của một tam giác (hình 3.23).
Giáo viên cũng có thể yêu cầu học sinh cho tam giác thay đổi thêm một số trường hợp nữa để củng cố thêm niềm tin và đi đến phát biểu định lí.
Ví dụ 3.18: Giúp học sinh phát hiện ra mối quan hệ giữa đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực ứng với cạnh đáy của một tam giác cân.
Sử dụng Cabri Geometry để vẽ ∆ABC bất kì và đường cao; đường trung tuyến; đường trung trực; đường phân giác tương ứng với cạnh BC. Bằng trực giác các đường trên là phân biệt. Ta có thểđo hai cạnh AB, AC và các góc B, C để minh hoạ (hình 3.24).
Đưa ∆ABC về tam giác cân, học sinh quan sát thấy các đường trên hình vẽ trùng nhau; hơn nữa khi cho tam giác cân ABC thay đổi thì đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác tương ứng với cạnh BC luôn trùng nhau (hình 3.25).
Hình 3.25
Sau khi học sinh phát hiện, đưa ra dựđoán của mình, giáo viên khẳng định phát hiện này đã được chứng minh và đây là nội dung định lí: "Trong một tam giác cân:
a) Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao, đường trung trực, đường phân giác.
b) Hai góc kềđáy bằng nhau".
Ví dụ 3.19: Khi dạy định lí Pytago, ta tổ chức các hoạt động sau:
Hoạt động 1: Phát hiện ra mối quan hệ AB2 + AC2 = BC2.
Giáo viên: Đưa ra tam giác vuông ABC có AB = 4, AC = 3, BC = 5
(hình 3.26) và đặt câu hỏi: Cho biết mối quan hệ giữa độ dài mỗi cạnh với diện tích của hình vuông dựng trên cạnh đó?
Học sinh: Diện tích các hình vuông dựng trên cạnh của tam giác chính là bình phương của độ dài cạnh đó.
Hình 3.26
Giáo viên: Cho hình vuông ứng với cạnh huyền BC di chuyển đến vị trí thuận lợi để học sinh tính diện tích các hình vuông (hình 3.27).
Học sinh (đếm ô vuông): Diện tích các hình vuông là 16, 9 và 25.
Giáo viên: Trong tam giác vuông này, bình phương độ dài cạnh huyền có mối quan hệ gì đặc
biệt với bình phương độ dài 2 cạnh góc vuông? Học sinh (nhận xét): Vì 25 = 16 + 9 nên ta có: AB2 + AC2 = BC2. Hình 3.27 Hoạt động 2: Xét các trường hợp tương tự, đi đến phát biểu định lí. Giáo viên: Hình 3.28
– Dùng chức năng Distance and Length,
đo độ dài ba cạnh AB, AC, BC;
– Gọi chức năng Calculate tính và so
sánh kết quả AB2 + AC2 với BC2;
– Cho tam giác thay đổi, kết quả luôn cho thấy AB2 + AC2 = BC2 (hình 3.28).
Qua các hoạt động trên, học sinh sẽ phát hiện và đi đến phát biểu định lí Pytago.
Ví dụ 3.20: Khi dạy bài “Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác”.
Giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện các hoạt động sau:
Hoạt động 1: Vẽ hình.
– Chọn công cụ Triangle vẽ tam giác ABC bất kì;
– Chọn công cụ Midpoint:xác định điểm E là trung điểm của AC và F là trung điểm của AB;
– Chọn công cụ Segment: kẻ các đường trung truyến BE, CF. Gọi giao điểm của BE và CF là G (hình 3.29).
Hoạt động 2: Nối đỉnh A với các điểm đặc biệt để phát hiện tính chất của điểm G.
Giáo viên chia lớp làm hai nhóm:
Nhóm thứ nhất: Xác định điểm D là trung điểm của cạnh BC, kẻ trung tuyến AD, học sinh bằng trực giác thấy AD "có vẻ" đi qua điểm G.
Nhóm thứ hai: Kẻ tia AG, gọi D là giao của tia AG với cạnh BC, học sinh bằng trực giác thấy điểm D “có thể” là trung điểm của cạnh BC.
Hoạt động 3: Kiểm tra các dựđoán.
Nhóm thứ nhất: sử dụng chức năng Member đểkiểm tra. Kết quảđiểm G thuộc trung tuyến AD (hình 3.30).
Nhóm thứ hai: sử dụng chức năng Equidistant để kiểm tra. Kết quả cho thấy D là trung điểm của cạnh BC (hình 3.31).
Hình 3.31 Hình 3.30
Đến đây học sinh đưa ra nhận xét: ba đường trung tuyến của tam giác ABC đồng quy tại điểm G.
Hoạt động 4: Củng cố phát hiện về giao của ba đường trung tuyến.
Học sinh sử dụng chuột thay đổi tam giác. Kết quả: ba đường trung tuyến của ∆ABC luôn đồng quy.
Hoạt động 5: Dựđoán tỉ số AG/AD.
Giáo viên (đưa ra hình 3.32): Nhận xét về sốđo của đoạn AG với GD. Học sinh (nhờ quan sát):
AG = 2GD
Giáo viên: Cho tam giác thay đổi, sử dụng chức năng Distance and Length đo AG, GD, suy ra AG 2
AD =3. Vậy có thểđiểm G cách đỉnh A một khoảng bằng 2
3độ dài đường trung tuyến AD?
Hoạt động 6: Kiểm tra các tỉ số BG
BE , CG CF .
Hoạt động 7: Học sinh phát biểu định lí về tính chất ba đường trung tuyến của một tam giác.
Qua các hoạt động trên, ta thấy ý đồ sư phạm của giáo viên như sau:
– Hoạt động 1: Nhằm củng cố và thể hiện khái niệm “Đường trung tuyến của tam giác” qua các thao tác vẽ hình.
– Hoạt động 2, 3, 4: Bằng các con đường khác nhau, học sinh cùng phát hiện ra vấn đề: ba đường trung tuyến của tam giác ABC đều đi qua điểm G.
– Hoạt động 5: Bằng quan sát, đo đạc, tính toán, học sinh phát hiện ra tỉ số 2/3. – Hoạt động 6: Củng cố niềm tin của học sinh về tỉ số vừa phát hiện được.
– Hoạt động 7: Phát biểu định lí.
Với biện pháp tương tự, học sinh hoàn toàn có thể phát hiện ra tính chất về ba đường phân giác, ba đường trung trực của tam giác.
3.6.2. Sử dụng Cabri Geometry để hỗ trợ quá trình nhận dạng và thể hiện trong dạy học
định lí
Các chức năng của Cabri Geometry như: xác định ba điểm có thẳng hàng hay không? kiểm tra xem hai đường thẳng có song song không? xác định hai đường thẳng có vuông góc không? xác định xem các đối tượng có cách đều nhau không? và các chức năng đo góc, xác định độ dài, diện tích... hỗ trợ ta phân tích một tình huống đã cho có khớp với định lí nào đó không hoặc tạo ra những tình huống phù hợp với một định lí cho trước.
Ví dụ 3.21: Cho tam giác cân ABC (AB = AC); Gọi M là trung điểm của đường cao AH, gọi D là giao điểm của cạnh AB với CM. Chứng minh rằng AD = AB/3.
Bài tập này sau bài đường trung bình của tam giác, nên giáo viên định hướng cho học sinh tìm tòi các tình huống khớp với định lí 1 hoặc định lí 2 về tính chất của đường trung bình trong một tam giác (SGK toán 8).
Hoạt động 1: Vẽ hình.
Học sinh sử dụng Cabri Geometry vẽ tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AH, xác định trung điểm M của AH, nối CM xác định D là giao điểm của CM với AB.
Học sinh sẽ nhận xét đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến, suy ra BH = HC.
Xuất phát từ yêu cầu chứng minh rằng AD = AB/3, giáo viên gợi ý muốn thoả mãn điều kiện trên thì ta chia đoạn AB làm 3 phần bằng nhau bởi hai điểm chia thì điểm D phải là một điểm, điểm còn lại giả sửđặt tên là E. Dễ thấy E phải là trung điểm của đoạn BD. Khi đó ta có 3 đoạn thẳng bằng nhau AD = DE = EB.
Học sinh thao tác đểđược hình 3.33.
Hoạt động 3: Nhận dạng hai đường song song.
Giáo viên yêu cầu học sinh nối E với H. Từ trực giác và bằng chức năng kiểm tra của Cabri Geometry, học sinh phát hiện được HE // CD.
Hoạt động 4: Khai thác hình vẽđể "nhận dạng" định lí 2:
Ta có BH = HC và BE = ED vậy HE đi qua trung điểm hai cạnh của tam giác CDB nên nó phải song song với cạnh thứ ba là CD, do đó HE//CD, suy ra HE//MD
Hoạt động 5: Khai thác hình vẽđể "nhận dạng" định lí 1:
Với tam giác AEH, có AM = MH và MD//HE, vậy đường thẳng MD đi qua trung điểm của cạnh AH và song song với cạnh thứ hai là HE.
Theo định lí 1 thì nó phải đi qua trung điểm cạnh thứ ba tức là: AD = DE. Suy ra AD = DE = EB (Đây là điều cần phải chứng minh).
Như vậy, ngoài việc "nhận dạng" phân tích tìm ra nội dung phù hợp với định lí 1 và định lí 2, học sinh còn biết xác định thêm yếu tố phụ điểm là E (trung điểm DB) và kẻ đường phụ EH nên việc tìm lời chứng minh trở nên đơn giản hơn.
3.6.3. Sử dụng Cabri Geometry hỗ trợ học sinh tập chứng minh
Theo các chuyên gia, trong quá trình giúp học sinh tập suy luận bước đầu chứng minh một định lí cần giúp học sinh hình thành những tri thức về những phương pháp suy luận, chứng minh.
Mặc dù Cabri Geometry với nghĩa là "vở nháp hình học", không có các chức năng để chứng minh tính đúng đắn của một mệnh đề hình học như một vài phần mềm khác, nhưng trong quá trình chứng minh định lí có thể sử dụng Cabri Geometry trong một số công đoạn bằng các biện pháp sau:
Biện pháp 1: Đưa ra hình vẽ sao cho học sinh có thể phát hiện ra vấn đề bằng quan sát trực quan.
Biện pháp 2: Biến đổi hình vẽđể giúp học sinh phát hiện và xác định các yếu tố phụđểđi đến việc chứng minh định lí.
Biện pháp 3: Chia quá trình chứng minh thành một số công đoạn nhỏ:
– Để có kết luận của bài toán ta cần phải có Tg1. Sử dụng Cabri Geometry kiểm tra thấy Tg1 thoả mãn.
– Để có Tg1 ta cần phải có Tg2. Sử dụng Cabri Geometry kiểm tra thấy Tg2 thoả mãn. – Cứ tiếp tục như vậy ta hình thành các “nút” Tg3,…, Tgn trong đó Tgn chính là giả thiết hoặc suy trực tiếp được từ giả thiết của định lí.
Lần ngược lại quá trình học sinh sẽ có lời chứng minh định lí.
Ví dụ 3.22: Giúp học sinh chứng minh định lí “Tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800”.
– Hoạt động 1: Tìm hướng chứng minh.
Giáo viên: Để dễ xem xét tổng ba góc của tam giác ABC, ta đặt 3 góc đó kề nhau (Chẳng