Việc bồi dưỡng TDPP cho học sinh thông qua dạy học một số nội dung Đại số tổ hợp là rất cần thiết. Tuy nhiên, hầu như các giáo viên được điều tra đều chưa nhận thức rõ ràng về vấn đề này. Theo chúng tôi, có thể là do những nguyên nhân sau:
- Chương trình giảng dạy nặng về lý thuyết, mục đích chính là kết quả thi cử nên đã phần nào hạn chế khả năng phát triển tư duy của học sinh ở mức độ cao.
- Nhà trường hiện nay vẫn còn ảnh hưởng nhiều xu hướng dạy học truyền thống.
- Một số giáo viên chưa có ý thức và chưa biết khai thác các nội dung dạy học có thể bồi dưỡng năng lực TDPP, chưa hiểu tường tận về TDPP cũng như tầm quan trọng của việc bồi dưỡng năng lực TDPP trong quá trình dạy học.
25
1.3. Kết luận Chƣơng 1
Trong chương đã hệ thống hóa một số vấn đề về tư duy, tư duy phê phán, năng lực, năng lực tư duy và năng lực tư duy phê phán.
Đã tiến hành khảo sát, điều tra thực tế tại một số trường THPT trong địa bàn Tỉnh Sơn La về thuận lợi và khó khăn trong việc bồi dưỡng năng lực TDPP của giáo viên và học sinh.
Những kết quả nghiên cứu, khảo sát đó sẽ là cơ sở để xây dựng, định hướng các biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực TDPP cho học sinh lớp 11 thông qua việc tổ chức dạy học nội dung kiến thức Đại số tổ hợp.
26
Chƣơng 2
BỒI DƢỠNG NĂNG LỰC TƢ DUY PHÊ PHÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG MIỀN NÚI THÔNG QUA DẠY HỌC ĐẠI
SỐ TỔ HỢP LỚP 11
2.1. Những căn cứ để bồi dƣỡng năng lực TDPP cho học sinh thông qua dạy học Toán
2.1.1. Căn cứ vào đặc điểm Toán học
- Toán học là môn học có tính trừu tượng rất cao. - Toán học gắn với lí tưởng hóa.
- Toán học là sự trừu tượng hóa gắn với khái quát hóa.
2.1.2 Căn cứ vào yêu cầu đổi mới PPDH
Từ một nước đang phát triển như nước ta, để có thể đi tắt đón đầu và rút ngắn thời gian so với các nước có nền giáo dục tiên tiến, hiện đại thì vai trò của ngành giáo dục mang tính chất quyết định, nhu cầu phát triển giáo dục là rất bức thiết. Bởi vì chúng ta hoàn toàn có quyền sử dụng những sản phẩm, những thành tựu và các công nghệ của các nước tiên tiến trên thế giới dựa trên quan điểm có chọn lọc cho phù hợp với đặc điểm riêng của chúng ta. Để thực hiện thành công nhiệm vụ đó thì vai trò của TDPP càng được thể hiện rõ nét hơn bao giờ hết.
Đổi mới PPDH là quá trình áp dụng các PPDH hiện đại vào nhà trường trên cơ sở phát huy những yếu tố tích cực của PPDH truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh. Có thể khái quát lộ trình cơ bản của PPDH hiện đại như sau: tổ chức cho người học tiếp cận tài liệu học tập ở trạng thái vận động theo hệ thống và tiếp nhận có phê phán.
2.1.3. Căn cứ vào nội dung phần Đại số tổ hợp trong SGK Đại số và Giải tích 11 Giải tích 11
27
Giải tích lớp 11 có vai trò rất quan trọng vì mang tính chất kết nối các mạch kiến thức ở cả hai khối lớp 10 và lớp 12. Các kiến thức được trình bày không nhiều nhưng gây không ít khó khăn cho học sinh, đặc biệt là đối với học sinh THPT miền núi vì các em còn hạn chế về năng lực học tập và có ít cơ hội tiếp cận với các kiến thức mới.
2.2. Định hƣớng bồi dƣỡng năng lực TDPP khi dạy học Đại số tổ hợp
Cần nâng cao nhận thức của giáo viên và học sinh về việc bồi dưỡng TDPP. Người thiếu kỹ năng TDPP thì khó hy vọng có được những sáng tạo trong cuộc sống. Do đó, trong giáo dục chúng ta cần rèn luyện cho học sinh thói quen không bao giờ mặc nhiên công nhận điều gì mà chưa có cơ sở chắc chắn và luôn ý thức rằng: không có gì là tuyệt đối, chân lý không phải bao giờ cũng thuộc về số đông. Tính hoài nghi tích cực là một yếu tố rất quan trọng của người có TDPP, đó không phải là thứ hoài nghi để tìm cách chỉ trích và phủ định.
2.2.1. Bồi dƣỡng kỹ năng xem xét và phân tích yêu cầu để tìm cách giải quyết bài toán
Phân tích là một thao tác tư duy cơ bản góp phần bồi dưỡng TDPP. Khi đứng trước một vấn đề hay một bài toán nào đó, đòi hỏi học sinh phải biết cách phân tích các dữ kiện đã cho, dữ kiện cần tìm; phải phân tích tìm mối liên hệ giữa vấn đề hoặc bài toán đã cho với những dạng quen thuộc đã gặp. Phải phân tích được các thành phần, đặc điểm, giả thiết, kết luận để từ đó hình thành hướng đánh giá, giải quyết các vấn đề hoặc bài toán đó.
2.2.2. Bồi dƣỡng các thao tác tƣ duy và kĩ năng đặt câu hỏi
Để bồi dưỡng TDPP còn phải bồi dưỡng cho học sinh kỹ năng đặt câu hỏi. Trong quá trình học tập để hiểu bài một cách sâu sắc học sinh phải biết các tự đặt câu hỏi và trả lời các câu hỏi đó. Dạy bằng cách hỏi chứ không dạy bằng cách kể, dĩ nhiên người học cần có sự giúp đỡ để đi tới câu trả lời đúng.
28
Học bằng cách trả lời câu hỏi vừa giúp người học cách lập luận và cách tạo ra ý nghĩa riêng cho mình, đây được gọi là sự khám phá có hướng dẫn.
Các kĩ năng trí tuệ của TDPP như phân tích, tổng hợp được hình thành bằng cách thực hiện chúng trên thực tế. Kết hợp các phương pháp học tập chủ động trong thảo luận trên lớp như: hỏi đáp, học nhóm, đánh giá các kết quả …
Đại số tổ hợp nghiên cứu về các quy tắc đếm, các khái niệm: hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp; bên cạnh đó còn cung cấp các định lí, xây dựng các công thức tính toán số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp phục vụ đắc lực trong các bài toán thực tế và những bài tập về xác suất thống kê. Nó có vai trò tương đối quan trọng trong toán học ứng dụng hiện nay.
Kết quả của học tập và sự phát triển trí tuệ phụ thuộc mạnh mẽ vào phương pháp học tập của học sinh. Người nào nắm vững TDPP thì chất lượng học tập càng cao và trí tuệ càng phát triển vững chắc.
2.3. Một số biện pháp sƣ phạm bồi dƣỡng năng lực TDPP
Trên cơ sở nắm chắc các định nghĩa và công thức của Đại số tổ hợp đã nêu trên, để giải quyết các bài toán về Đại số tổ hợp được hiệu quả và tối ưu nhất thì học sinh cần phải có năng lực TDPP như sau:
2.3.1. Biện pháp 1: Bồi dƣỡng cho học sinh biết suy xét, cân nhắc liên hệ giữa tiền đề và mối quan hệ với các kết quả khi tìm hiểu một vấn đề hoặc tiến hành giải một dạng toán
2.3.1.1. Cơ sở đề xuất biện pháp
Khi tìm hiểu một vấn đề hay một dạng toán ta cần khai thác triệt để các giả thiết. Phân tích các giả thiết đã cho của bài toán một cách hợp lý sẽ giúp cho ta có được định hướng đúng đắn cho lời giải bài toán. Nếu không có những phân tích tinh tế và đúng hướng thì nhiều khi sẽ không có được lời giải mong muốn. Bài toán có được lời giải hoặc có lời giải hay là nhờ vào việc khai thác đúng đắn các đặc điểm về dạng của bài toán đó.
29
2.3.1.2. Nhận dạng biện pháp
a. Nghiên cứu các đặc điểm về dạng của bài toán
Do sự thống nhất giữa nội dung và hình thức nên việc nghiên cứu phần hình thức của bài toán về thực chất là việc khám phá các đặc điểm trong nội dung bài toán. Chính vì vậy, nhiều bài toán có được những lời giải hay và độc đáo là nhờ việc khai thác triệt để và đúng hướng các đặc điểm về dạng của bài toán đó.
Ngoài ra, người học cần phải biết nhìn bài toán ở nhiều góc độ, nhiều khía cạnh để có thể khai thác sâu bài toán đó hay mở rộng, liên hệ với các dạng toán khác.
b. Nghiên cứu các điều kiện đặt ra cho các đại lƣợng có trong bài toán để định hƣớng cho đƣờng lối giải
Các điều kiện đặt ra cho các đại lượng đó không thể là ngẫu nhiên, tùy tiện mà chính là sự biểu hiện các mối liên hệ nào đó giữa các yếu tố tạo nên bài toán.
Khai thác triệt để và đúng hướng các điều kiện đó chắc chắn sẽ dẫn tới việc xác định đúng hướng giải cho bài toán.
Các bài toán Đại số tổ hợp trong chương trình lớp 11 thường là những bài toán về hành động như:
- Thành lập các nhóm người hay đồ vật thỏa mãn một số điều kiện cho trước. - Sắp xếp một số người hay đồ vật vào những vị trí nhất định.
- Từ các số tự nhiên đã cho lập các số thỏa mãn điều kiện cho trước… Khi đó, căn cứ vào những đặc điểm riêng của từng dạng bài toán ta có thể sử dụng các kiến thức phù hợp:
- Nếu những hành động này được phân chia thành nhiều trường hợp riêng lẻ thì ta tính số cách chọn trong mỗi trường hợp rồi áp dụng quy tắc cộng. - Nếu những hành động bao gồm nhiều hành động thành phần có tính
30
chất liên tiếp (hành động thành phần A bắt đầu thì hành động thành phần B sẽ có được sau khi thực hiện hành động thành phần A, tương tự đối với các hành động thành phần C, hành động thành phần D…) thì cần tìm số cách chọn cho mỗi hành động thành phần rồi áp dụng quy tắc nhân.
- Những bài toán mà kết quả thay đổi nếu thay đổi vị trí của các phần tử thì đây là những bài toán liên quan đến các hoán vị và chỉnh hợp (áp dụng hoán vị khi số phần tử được sắp xếp bằng số phần tử trong tập hợp, áp dụng chỉnh hợp khi số phần tử được sắp xếp ít hơn số phần tử có trong tập hợp ban đầu).
- Đối với những bài toán mà kết quả được giữ nguyên khi ta thay đổi vị trí của các phần tử có trong tập hợp thì đây chính là những bài toán về tổ hợp.
2.3.1.3. Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.1
Để chuẩn bị cho hội diễn văn nghệ của thành phố, mỗi phường được giao chuẩn bị một chương trình văn nghệ gồm: một bài hát, một điệu múa và một vở kịch. Đội văn nghệ phường A chuẩn bị được năm bài hát, ba điệu múa và bốn vở kịch (biết rằng các tiết mục đều có chất lượng như nhau). Hỏi đội văn nghệ đó có bao nhiêu cách chọn một chương trình để biểu diễn?
* Định hƣớng tƣ duy:
- Chương trình văn nghệ để biểu diễn có thể chọn ba tiết mục bất kì trong số các tiết mục đã được chuẩn bị có được không? Tại sao?
- Một chương trình biểu diễn cần phải chọn các thể loại nào?
- Nếu phải chọn đủ cả ba thể loại thì phải tiến hành các bước chọn như thế nào? Áp dụng quy tắc nào để tính toán?
Gợi ý: Một chương trình biểu diễn phải chọn đủ ba thể loại là hát, múa và diễn kịch nên trong các tiết mục đã chuẩn bị ta chọn mỗi thể loại một tiết mục thì sẽ được 5.3.4 = 60 (cách) chọn một chương trình để biểu diễn.
31
Gợi ý: Nếu không cần phải chọn đủ cả ba thể loại đó thì có thể xảy ra những trường hợp sau:
Trường hợp 1: Chọn cả ba tiết mục trong cùng một thể loại.
Trường hợp 2: Chọn hai tiết mục trong cùng một thể loại và một tiết mục trong hai thể loại còn lại.
Đáp án: Yêu cầu bài toán là phải có đủ cả ba thể loại trong chương trình biểu diễn nên ta có: 5.4.3 = 60 (cách) chọn một chương trình để biểu diễn.
Ví dụ 2.2
Một viện nghiên cứu khoa học gồm có 8 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 7 nhà vật lý nam. Cần lập một đoàn công tác gồm ba người có cả nam, nữ và cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách lập đoàn công tác?
* Định hƣớng tƣ duy:
- Thành lập đoàn công tác gồm ba người cần phải thỏa mãn các điều kiện nào?
- Đoàn công tác đó có cần phải có cả nhà toán học và nhà vật lý, cả nam và nữ không? Nếu không cần đủ cả nam và nữ, không cần có cả nhà toán học và nhà vật lý thì có thể xảy ra các khả năng nào? Khi chọn đủ các yêu cầu trên thì xảy ra các khả năng nào?
Gợi ý: Nếu không cần đủ cả nam và nữ, không cần có cả nhà toán học và nhà vật lý thì đoàn công tác gồm ba người ta có thể chọn các phương án sau:
+ Phương án 1: Tất cả là nam (hoặc nữ); tất cả cùng là nhà toán học (hoặc nhà vật lý, hoặc nhà hóa học).
+ Phương án 2: Ta chọn hai nam và một nữ; hai người cùng là nhà toán học, một người là nhà vật lý (hoặc hóa học) và ngược lại.
Nếu cần phải có đủ cả nam và nữ, có cả nhà toán học và vật lý thì phải có những phương án lựa chọn nào? (Do yêu cầu bài toán nên đoàn công tác
32
phải có đủ cả nam và nữ, đủ các nhà toán học, vật lý và hóa học) Gợi ý:
+ Trường hợp 1: Đoàn công tác có một nhà toán học nam, một nhà toán học nữ và một nhà vật lý.
Chọn một nhà toán học nam có 8 cách, tiếp tục chọn một nhà toán học nữ có 3 cách và chọn tiếp một nhà vật lý nam có 7 cách. Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách lập đoàn công tác thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 8.3.7 =168 (cách). + Trường hợp 2: Đoàn công tác có hai nhà toán học nữ và một nhà vật lý nam. Có C32 cách chọn hai nhà toán học nữ, 7 cách chọn một nhà vật lý nam. Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách lập đoàn công tác thỏa mãn yêu cầu bài toán là: C32.7 = 21 (cách).
+ Trường hợp 3: Đoàn công tác có một nhà toán học nữ và hai nhà vật lý nam. Có 3 cách chọn một nhà toán học nữ và 2
7
C cách chọn hai nhà vật lý nam. Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách lập đoàn công tác thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 3.C72 = 63 (cách).
Vậy áp dụng quy tắc cộng ta có: 168 + 21 + 63 = 252 cách lập đoàn công tác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nhận xét: Hai ví dụ trên đều xuất hiện nhiều khả năng thỏa mãn yêu cầu bài
toán, kết quả của mỗi khả năng đó lại có được do thực hiện một số hành động liên tiếp. Dạng bài toán như thế áp dụng được quy tắc đếm.
Ví dụ 2.3
Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người Anh, 6 người Pháp và 4 người Nga trên một băng ghế dài có 15 chỗ ngồi sao cho những người có cùng quốc tịch ngồi gần nhau?
* Định hƣớng tƣ duy:
33
- Những người có quốc tịch khác nhau (hoặc cùng nhau) có thể sắp xếp chỗ ngồi theo các vị trí nào?
- Mỗi nhóm người có cùng quốc tịch có thể đổi chỗ cho nhau được không? Học sinh nếu quá chú ý đến việc sắp xếp cho ngững người có cùng quốc tịch ngồi cạnh nhau thì có thể sẽ gặp sai lầm khi không xét đến khả năng các nhóm này có thể đổi vị trí cho nhau. (Gợi ý: ta sắp xếp chỗ ngồi theo ba nhóm quốc tịch trước khi sắp xếp những người có cùng quốc tịch ngồi cạnh