Vận dụng quan điểm hoạt động vào việc dạy định lý

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, việc dạy học định lý Toán học (trong đó các định lý hình học) đƣợc thực hiện một trong hai con đƣờng sau:

- Con đƣờng suy diễn.

- Con đƣờng có khâu suy đoán.

a) Dạy học định lý theo con đường có khâu suy đoán [10]

Theo con đƣờng này để dạy học một định lý chúng ta thƣờng đi theo các bƣớc sau:

1) Gợi động cơ học tập định lý xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học;

2) Dự đoán và phát biểu định lý; 3) Chứng minh định lý;

4) Vận dụng định lý vừa tìm đƣợc để giải quyết, khép kín vấn đề đặt ra khi gợi động cơ;

5) Củng cố định lý.

b) Dạy học định lý theo con đường suy diễn [10]

50

1) Gợi động cơ học tập nhƣ ở con đƣờng thứ nhất;

2) Xuất phát từ những tri thức Toán học đã biết, d ng suy diễn lôgíc dẫn tới định lý;

3) Phát biểu định lý; 4) Vận dụng định lý; 5) Củng cố định lý.

Nhƣ vậy, sự khác biệt căn bản giữa hai con đƣờng là ở chỗ: Theo con đƣờng có khâu suy đoán thì việc dự đoán phát hiện diễn ra trƣớc việc chứng minh định lý còn ở con đƣờng suy diễn thì hai việc này nhập lại thành một bƣớc. T y từng nội dung cụ thể của từng định lý mà chúng ta có thể trình bày theo cách này hay cách khác.

Chƣơng trình Đại số và Giải tích 11 có 29 định lí. Trong đó, chƣơng 2 có 4 định lí, chƣơng 3 có 6 định lí, chƣơng 4 có 7 định lí, chƣơng 5 có 12 định lí.

* Trong phần này sẽ trình bày chi tiết việc vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học các định lí sau đây:

 Định lý về số các chỉnh hợp.

 Định lý công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng.

 Định lý về đạo hàm của một số hàm cơ bản.

 Định lý đạo hàm của hàm hợp

* Những dạng hoạt động chính:

 Hoạt động nhận dạng và thể hiện định lí.

 Hoạt động ngôn ngữ.

 Hoạt động trí tuệ chung.

* Tổ chức hoạt động cho S:

Hình thành định lí theo con đƣờng có khâu suy đoán hoặc suy diễn bằng cách phối hợp các phƣơng pháp dạy học:

51

+ Phƣơng pháp dạy học bằng các hoạt động khám phá có hƣớng dẫn. + Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.

2.2.1. Dạy học định lí tính số các chỉnh hợp ( theo con đường suy diễn)

Các hoạt động:

+ Hoạt động 1: Gợi động cơ.

+ Hoạt động 2 và 3: Suy diễn dẫn đến định lí. + Hoạt động 4: Phát biểu định lí.

+ Hoạt động 5: Vận dụng định lí. + Hoạt động 6 và 7: Củng cố định lí.

a. ợi động cơ

oạt động 1: (Hoạt động ngôn ngữ) - Nhắc lại định nghĩa chỉnh hợp?

- Cho tập hợp A={1,2,3,4}. Hãy liệt kê các số g m hai số khác nhau trong tập hợp A.

b. Suy diễn dẫn đến định lí

GV: Phát cho HS phiếu học tập số 1

oạt động 2: Cho tâp hợp A{1, 2,3, 4,5,6,7,8,9}. Có bao nhiêu cách lập một số g m bốn chữ số khác nhau trong tập hợp trên?

oạt động 3: Bạn An có 5 bông hoa h ng khác nhau, 4 bông hoa cúc khác nhau, 3

bông hoa lan khác nhau, bạn cần chọn ra 4 bông để cắm vào một lọ hoa, hỏi bạn có bao nhiêu cách chọn hoa để cắm sao cho hoa trong lọ phải có đủ cả loại?

GV: Tổ chức cho HS làm phiếu số 1

HS: Làm việc độc lập. Sau đó, GV gọi một vài HS đứng tại chỗ nêu ra cách làm. Ở hoạt động 3 có thể HS sẽ gặp khó khăn vì vậy GV có thể hạ thấp yêu cầu bằng việc phân chia các công đoạn để HS thực hiện. Sau đó, GV gọi HS lên bảng trình bày, các HS khác theo dõi và nhận xét.

52

GV: Đặt vấn đề bằng cách yêu cầu HS trả lời câu hỏi sau: Từ cách hoạt động 1, hoạt động 2 hãy tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử?

HS: Mỗi cách sắp xếp thứ tự k phần tử của ta chia làm k công đoạn sau: Công đoạn 1: Chọn phần tử đứng ở vị trí đầu từ trái qua phải có n cách chọn;

Cộng đoạn 2: Chọn phần tử đứng ở vị trí thứ hai có (n-1) cách. Các công đoạn 3,4....,tiếp theo cho đến công đoạn thứ k, lần lƣợt là (n2),(n3),...,(n k 1) cách chọn.

c. Phát biểu định lí

oạt động 4: ( Hoạt động ngôn ngữ)

GV: Vậy dự đoán của chúng ta cũng chính là nội dung định lí. GV: Yêu cầu HS phát biểu định lí.

HS: Phát biểu định lí theo cách hiểu của mình. GV: Khái quát và đƣa ra định lí:

Kí hiệu k n A là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1  k  n). Ta có định lí sau đây: Định lí: Ank  n n 1 . . . n      k  1 . d. Vận dụng định lí

oạt động 5: ( Vận dụng định lí để giải toán)

- Từ 5 chữ số 1, 2, 4, 6, 9, mỗi cách viết một số có 4 chữ số khác nhau có phải là một chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử hay không?

- Hãy tính chỉnh hợp chập 5 của 10 phần tử ?

- Chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử bằng bao nhiêu?

e. Củng cố định lí

oạt động 6: ( Hoạt động ngôn ngữ) - Hãy phát biểu lại định nghĩa chỉnh hợp? - Hãy chọn đáp án đúng:

53 1. Hoán vị n phần tử là chỉnh hợp chập n của n a. Đúng; b. Sai. 2. Ank có nghĩa khi k > n. a. Đúng; b. Sai. 3. Ank có nghĩa khi k < n. a. Đúng; b. Sai. 4. Ank= Pn a. Đúng; b. Sai. GV: Phát cho HS phiếu học tập số 2 oạt động 7: (Nhận dạng và thể hiện)

Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập đƣợc bao nhiêu: a. Số lẻ g m 4 chữ số khác nhau.

b. Số chẵn g m 4 chữ số khác nhau.

2.2.2. Dạy học định lí về công thức tổng quát của cấp số cộng ( theo con đường có khâu suy đoán) khâu suy đoán)

Các hoạt động:

+ Hoạt động 1,2 và 3: Gợi động cơ.

+ Hoạt động 4: Dự đoán, phát biểu định lí. + Hoạt động 5: Chứng minh định lí.

+ Hoạt động 6 và 7: Củng cố định lí.

a. Gợi động cơ

GV: Gọi 3 HS lên bảng thực hiện 3 hoạt động sau

oạt động 1:

- Nhắc lại định nghĩa cấp số cộng.

- Chứng minh dãy số sau là cấp số cộng: -3,-7,-11,-15.

oạt động 2: Hãy viết dạng khai triển của cấp số cộng với u12 và công sai 3

54

oạt động 3: Cho cấp số cộng 3,5,7,9,11....Hãy biểu diễn số hạng u u u2, 3, 4theo

1

u và d.

GV: Gọi HS nhận xét

b. Dự đoán và phát biểu định lí

oạt động 4: Hãy quan sát hoạt động 3 trong sgk trang và điền kết quả vào bảng

sau:

Tầng 1 2 3 4 5

Số que diêm

GV: Gọi HS lên bảng điền kết quả HS:

Tầng 1 2 3 4 5

Số que diêm 3 7 11 15 19

GV: Dãy số 3,7,11,15,19 có phải là cấp số cộng không?

HS: Dãy số 3, 7, 11, 15, 19 là một cấp số cộng với u13; d 4 GV: Hãy biểu diễn các số hạng u u u2, 3, 4,...u100

HS: áp dụng công thức truy h i 2 1 3 2 1 1 100 1 4 4 4 4 2.4 . . . . (100 1).4 3 99.4 399 u u u u u u u u               

GV: Hãy biểu diễn untheo u1 và d? HS: un   u1 (n 1)4

GV: Số hạng unđƣợc gọi là số hạng tổng quát của cấp số cộng trên. Vậy với một cấp số cộng bất kỳ ta có thể tìm đƣợc số hạng tổng quát hay không. Đó cũng chính là nội dung định lí 1.

55 GV: Yêu cầu HS đọc định lí trong SGK.

Định lý: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:

un   u1 (n 1)d với n2 (2)

c. Chứng minh định lí

oạt động 5: (Hoạt động chứng minh định lý)

- GV: Hƣớng dẫn HS chứng minh theo các bƣớc của phƣơng pháp quy nạp toán học.

- HS: Chứng minh.

d. Củng cố định lí

oạt động 6: (Hoạt động ngôn ngữ)

- Hãy phát biểu định lí về số hạng tổng quát?

oạt động 7: (Nhận dạng và thể hiện) GV: Phát phiếu học tập cho HS.

Bài 1: Bài tập trắc nghiệm

1. Cho cấp số cộng có u1 = -3, công sai d = 2 khi đó u10 bằng:

(a) 10; (b) 11; (c) 15; (d) 13.

2. Cho cấp số cộng có u1 = -3, công sai d = 2 khi đó u10 bằng:

(a) 23; (b) 24; (c) 25; (d) 26. 3. Cho cấp số cộng có u1 = -3, công sai d = -3 khi đó u10 bằng:

(a) 23; (b) 24; (c) 25; (d) -30. 4. Cho cấp số cộng có u1 = -3, công sai d = -3 khi đó u100 bằng:

56 Bài 2: Cho cấp số cộng (un), biết u1  5; d 3 a) Tìm u15.

b) Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu?

Bài 3: Cho cấp số cộng sau u2u5 42;u4u9 96.Hãy tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.

2.2.3. Dạy học định lí về đạo hàm của một số hàm cơ bản (theo con đường có khâu suy đoán) khâu suy đoán)

Các hoạt động:

+ Hoạt động 1: Gợi động cơ.

+ Hoạt động 2, 3 và 4: Khuyến khích học sinh dự đoán, phát biểu định lí. + Hoạt động 5: Chứng minh định lí.

+ Hoạt động 6: Củng cố định lí.

a. ợi động cơ

Hoạt động 1: (Hoạt động ngôn ngữ)

- Nêu các bƣớc tính đạo hàm của một hàm số tại một điểm bằng định nghĩa? - Tìm đạo hàm của hàm số 3

y x tại điểm x0R? GV: Đặt vấn đề

Việc tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa nói chung phức tạp. Đối với một số hàm số thƣờng gặp, ta có những công thức cho phép tính một cách nhanh chóng đạo hàm của chúng tại một điểm.

b. Dự đoán và phát biểu định lí

GV: Chia lớp làm 3 nhóm yêu cầu HS làm các hoạt động sau

oạt động 2: D ng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số yc(c là hàng số) tại điểm x bất kì.

oạt động 3: D ng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số 2

yx tại điểm x bất kì.

57

oạt động 4: D ng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm 1 3

2

y x . GV: Gọi đại diện các nhóm lên bảng trình bày lời giải.

GV: Qua các ví dụ trên các em có nhận xét gì về số mũ ban đầu của biến số và các hệ số của biến sau khi lấy tính đạo hàm?

HS: Qua ví dụ trên chúng ta thấy rằng khi đạo hàm các hàm số trên thì số mũ ban đầu của biến chuyển xuống làm hệ số, còn số mũ hiện tại giảm đi 1 đơn vị. GV: Qua ví dụ trên hãy dự đoán đạo hàm của các hàm số sau 2012

yx tại điểm x bất kì, từ đó hãy dự đoán đạo hàm của hàm số n

yx tại điểm x bất kì? HS: y'2012.x2011;y'n x. n1

GV: Nhƣ vậy dự đoán của ta cũng là nội dung của định lí. GV: Yêu cầu HS phát biểu định lí theo cách hiểu của HS. GV: Khái quát và đƣa ra định lí:

Hàm số y x nn( N n, 1) có đạo hàm tại mọi xR và  '

1 n n x nx  GV: Nhận xét  ' 0 c  ( c là hằng số);  ' 1 x  c. Chứng minh định lí oạt động 5:

GV: Yêu cầu HS đứng tại chỗ chứng minh định lí với sự hƣớng dẫn của GV - Hãy tính y? HS:  y (x x)nxn - Tìm tỉ số y x   ? HS: y (x x)n 1 ... (x x x) n 2 xn 1 x              - Tính y'? HS: 1 1 1 1 0 lim n n .... n . n x y x x x n x x             

58 GV: Yêu cầu HS về nhà chứng minh nhận xét.

d. Củng cố định lí

oạt động 6: ( Nhận dạng và thể hiện) Bài 1: Cho hàm số 6

( )

y f x x . Tính f’(x) và f’(1). Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) y x2000tại điểm x bất kì; b) y x2014tại điểm x2; c) 2013 2014

2014

y x tại điểm x2.

2.2.4. Dạy học định lí đạo hàm của hàm hợp ( theo con đường suy diễn)

Các hoạt động:

+ Hoạt động 1: Gợi động cơ.

+ Hoạt động 2 và 3: Suy diễn và phát biểu định lí. + Hoạt động 4: Vận dụng định lí.

+ Hoạt động 5 và 6: Củng cố định lí.

Sau khi HS đã biết khái niệm hàm hợp, GV có thể thiết kế các hoạt động sau để dẫn đến định lí đạo hàm hàm hợp.

a. ợi động cơ

oạt động 1: ( Hoạt động ngôn ngữ) - Hãy nhắc lại khái niệm hàm hợp?

- Hàm số y x2 x 1là hàm hợp của các hàm số nào? - Hãy lấy một ví dụ về hàm hợp?

b. Suy diễn và phát biểu định lí

oạt động 2: Tính đạo hàm của hàm số 4

(3 2)

y x bằng các cách sau: Cách 1: Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học

59 GV: Gọi 2 HS lên bảng làm bài tập trên.

GV: Qua hai cách giải trên ta thấy kết quả đều nhƣ nhau. Tuy nhiên, ở cách giải thứ 2 nhanh và ngắn gọn hơn.

- Để cho HS thấy rõ hơn về hàm hợp, GV c ng HS làm bài tập sau:

oạt động 3: Tính đạo hàm của hàm số 2014

(3 2)

y x bằng các cách sau Cách 1: Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học

Cách 2: Đặt u3x2 ta đƣợc yu2014, hãy tính tích y' . 'u u x

- Ở bài tập này HS thấy khó khăn ở cách 1 và chọn cách thứ 2 để giải

GV: Với việc tính đạo hàm thông qua hàm hợp nhƣ trên cũng chính là nội dung của định lí 4:

Định lý: Nếu hàm số u = g (x) có đạo hàm tại x là u’x và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là y’u thì hàm hợp yf (g(x))có đạo hàm tại x là: y’x  ’ . ’y uu x

Nhận xét:

(un)’ = n.un-1.u’ với n N ,n>1 ( u )’= '

2

u

u với u >0.

c. Vận dụng định lí

GV: Yêu cầu hai HS lên bảng làm các bài tập sau, các HS còn lại làm và nhận xét:

oạt động 4: (Vận dụng định lý để giải toán) Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) y(4x3)3 ;

b) y x33x1.

d. Củng cố định lí

oạt động 5: (Hoạt động ngôn ngữ) - Nhắc lại khái niệm hàm hợp

60

oạt động 6: (Nhận dạng và thể hiện, Hoạt động giải toán) Bài 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y=(2x+1)10 b) y= x21.

Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số:

a) 8 2 1 y x x        ; b) 2 1 1 y x x    ; c) 1 y x x 

2.3. Vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy quy tắc, phƣơng pháp

Dạy học tƣờng minh tri thức phƣơng pháp đƣợc phát biểu một cách tổng quát bằng cách sử dụng các phƣơng pháp sau:

+ Học tập cá thể phối hợp với học tập hợp tác.

+ Phƣơng pháp dạy học bằng các hoạt động khám phá có hƣớng dẫn. + Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.

Chƣơng trình Đại số và Giải tích 11 có10 quy tắc – phƣơng pháp.

* Trong phần này sẽ trình bày chi tiết việc vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học các Quy tắc – Phương pháp. sau đây:

 Phương pháp giải phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác

 Phương pháp chứng minh quy nạp toán học

 Phương pháp xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

 Quy tắc tính đạo hàm của một hàm số bằng định nghĩa

* Những dạng hoạt động chính:

Nhận dạng và thể hiện quy tắc Hoạt động trí tuệ chung

Hoạt động ngôn ngữ

* Quy trình chung:

+ Bƣớc 1: HS làm việc với những ví dụ cụ thể. + Bƣớc 2: GV khuyến khích HS xây dựng quy tắc.

61 + Bƣớc 3: GV giúp HS chính xác hóa quy tắc. + Bƣớc 4: Hoạt động củng cố .

2.3.1. Dạy học phương pháp giải phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác

Các hoạt động: