8. Cấu trúc của luận văn
1.3 Dạy học khám phá với phép tƣơng tự
1.3.1 ng tương tự đ y dựng gi thuyết khoa học
Trong dạy học môn toán, ta có thể sử dụng phép tƣơng tự theo thuộc tính hay theo quan hệ giữa các đối tƣợng mà đƣa ra giả thuyết, sau đó tiến hành chứng minh
TƢƠNG TỰ
iến thức nguồn iến thức đích
So sánh
hay bác bỏ (xem Hình 1.5 và Hình 1.6). Tâm điểm (Focus):
hái niệm: hái niệm cần học có khó, không quen thuộc hay trừu tƣợng. Học sinh: Những ý tƣởng nào mà học sinh đã biết về khái niệm.
Nguồn: Có điều gì mà học sinh quen thuộc.
Hành động ( ction):
Tƣơng đồng: Thảo luận những đặc điểm của nguồn và khái niệm và rút ra những điểm giống nhau giữa chúng.
Dị biệt: Thảo luận những đặc điểm của nguồn không giống với khái niệm.
Suy xét (Reflection):
ết luận: Nguồn có rõ ràng và hữu ích, hay gây nhầm lẫn. Cải tiến: Xét lại tâm điểm trên cơ sở những kết luận.
Hình 1.4 Mô hình FAR
(Treagust, Venville, Stocklmayer & Thiele, 1993) (dẫn theo [7])
Hình 1.5 Mô hình xây dựng giả thuyết bằng tƣơng tự theo thuộc tính [7].
Hình 1.6Mô hình xây dựng giả thuyết bằng tƣơng tự theo quan hệ [7].
Ví dụ 1.7Sử dụng tƣơng tự dạy Quy tắc hình hộp và tính chất trọng tâm của - có quan hệ với C
- và B cùng loại (hay có cấu trúc tƣơng tự)
B có quan hệ với C ? - có tính chất Pn+1
- và B cùng có các tính chất P1,...,Pn
tứ diện nhƣ Bảng 1.1.
Bảng 1.1 Dạy học Quy tắc hình hộp và tính chất trọng tâm của tứ diện
Nguồn Đích
Trong hình bình hành ABCD, ta có
ABADAC.
Trong hình hộp BCD. ’B’C’D’, liệu ta cũng có ABADAA 'AC'?
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì GA GB GC 0.
Nếu G là trọng tâm của tứ diện BCD thì liệu cóGA GB GC GD 0?
Nếu G là trọng tâm của tam giác BC và O là một điểm bất kì thì
3
OA OB OC OG.
Nếu G là trọng tâm của tứ diện BCD và O là một điểm bất kì thì liệu có
4
OA OB OC OD OG?
1.3.2 ng tương tự khám phá nội dung học t p
Trong môn toán ở nhà trƣờng phổ thông có nhiều chủ đề có bố cục nội dung nghiên cứu giống nhau. Vì vậy, khi dạy học chủ đề sau có thể tổ chức cho học sinh tự đề ra các vấn đề nghiên cứu nhờ sử dụng tƣơng tự.
Ví dụ 1.8Trƣớc khi học bài Mặt cầu, học sinh đã học xong bài Đƣờng tròn ở lớp 10. Nhƣ thế, giáo viên có thể dùng tƣơng tự để học sinh tự đặt ra vấn đề nghiên cứu.
Giáo viên: Các em đã biết gì về đƣờng tròn?
Học sinh: Định nghĩa, phƣơng trình đƣờng tròn, tiếp tuyến với đƣờng tròn, điều kiện tiếp xúc...
Giáo viên: Tƣơng tự với đƣờng tròn, các em hãy đƣa ra những vấn đề mà chúng ta s nghiên cứu trong bài Mặt cầu.
Học sinh: Định nghĩa, phƣơng trình mặt cầu, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu, điều kiện tiếp xúc...
1.4 Các c ng dụng khác của phép tƣơng tự
1.4.1 ng tương tự trong y dựng ngh a c a tri th c
Trong quá trình dạy học, để giúp học sinh hiểu đƣợc những khái niệm khoa học, giáo viên thƣờng sử dụng tƣơng tự. Chẳng hạn, con mắt giống nhƣ một máy quay phim, trái tim giống nhƣ một máy bơm, dòng điện giống nhƣ một dòng nƣớc. Trong toán học, một vô cùng lớn trừ cho một
số hữu hạn là một vô cùng lớn giống nhƣ ta lấy một số hữu hạn thùng nƣớc biển ra khỏi biển không làm thay đổi mực nƣớc biển; một dãy số có giới hạn là a thì các số hạng có khuynh hƣớng tập trung quanh số a giống nhƣ trên một đoạn đƣờng quy định xe ô tô chỉ đƣợc chạy với vận tốc giới hạn là 35 km/h thì tốc độ của các xe ô tô đến đoạn đƣờng này hầu hết giữ tốc độ 35 km/h; đồ thị của hàm số gián đoạn tại một điểm bị đứt khoảng tại điểm đó giống nhƣ trên một tuyến đƣờng lƣu thông có một cây cầu bị gãy [7].
1.4.2 ng tương tự đ dự đoán và ng n ng a sai l m c a học sinh
Trong học toán, học sinh thƣờng mắc sai lầm khi sử dụng tƣơng tự vì hai đối tƣợng dù tƣơng tự nhƣng vẫn có những dấu hiệu không giống nhau. Chẳng hạn, trong mặt phẳng hai đƣờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với đƣờng thẳng thứ ba thì song song với nhau nhƣng trong hình học không gian, mệnh đề trên không còn đúng nữa. Vì vậy, trong quá trình dạy học toán, giáo viên cần đặc biệt lƣu ý ngăn ngừa những sai lầm của học sinh khi dạy học những chủ đề tƣơng tự nhau trong chƣơng trình [7].
1.5 Hệ thống kiến th c, k n ng v Quan hệ vu ng g c trong hình học kh ng gian lớp 11
Sách giáo viên Hình học 11 nêu rõ mục tiêu, nội dung và yêu cầu của chƣơng trình nhƣ sau:
1.5.1Mục tiêu c a chương
•Cho học sinh hiểu đƣợc khái niệm về vectơ trong không gian và các phép toán cộng vectơ, nhân vectơ với một số, sự đồng phẳng của ba vectơ, tích vô hƣớng của hai vectơ trong không gian.
•Nắm đƣợc định nghĩa vuông góc của đƣờng thẳng với đƣờng thẳng, đƣờng thẳng với mặt phẳng, mặt phẳng với mặt phẳng và sử dụng điều kiện vuông góc của đƣờng thẳng và mặt phẳng vào việc giải toán.
•Nắm đƣợc khái niệm về cách tính góc, khoảng cách giữa một số đối tƣợng trong hình học không gian.
1.5.2Nội dung c a chương
•Các khái niệm có liên quan đến vectơ trong không gian và các phép toán về vectơ trong không gian, góc của hai vectơ trong không gian và góc của hai đƣờng thẳng trong không gian.
•Các định nghĩa có liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian nhƣ: ▫Hai đƣờng thẳng vuông góc;
▫Đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, phép chiếu vuông góc; ▫Hai mặt phẳng vuông góc;
▫Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phƣơng; ▫Hình chóp đều và hình chóp cụt đều.
•Các định lí và tính chất trong chƣơng này gồm:
▫Về điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong không gian;
▫Về điều kiện cần và đủ để đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng;
▫Về sự xác định mặt phẳng đi qua một điểm cho trƣớc và vuông góc với một đƣờng thẳng cho trƣớc;
▫Về ba đƣờng vuông góc;
▫Về điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau;
▫Về sự xác định đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau.
1.5.3Yêu c u c a chương
•Nắm đƣợc định nghĩa vectơ trong không gian, khái niệm cùng phƣơng và cùng hƣớng của hai vectơ, độ dài của vectơ, khái niệm bằng nhau của hai vectơ và định nghĩa vectơ - không, thông qua các hình cụ thể nhƣ hình chóp, hình hộp chữ nhật...
•Biết thực hiện phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân vectơ với một số thông qua các bài toán cụ thể, biết chứng minh các đẳng thức về vectơ.
•Hiểu khái niệm ba vectơ đồng phẳng, điều kiện đồng phẳng của ba vectơ, biết phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng, biết chứng minh ba vectơ cho trƣớc nào đó đồng phẳng.
các bài tập đơn giản nhƣ tính độ dài của một đoạn thẳng, tính góc giữa hai vectơ, tính góc giữa hai đƣờng thẳng và góc giữa hai mặt phẳng.
• hông đi sâu vào chứng minh định lí, chỉ cần biết vận dụng các định lí để giải các bài toán về:
▫Hai đƣờng thẳng vuông góc với nhau trong không gian; ▫Đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng;
▫Hai mặt phẳng vuông góc với nhau. •Biết tính khoảng cách:
▫Từ một điểm đến một đƣờng thẳng; ▫Từ một điểm đến một mặt phẳng;
▫Giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng song song; ▫Giữa hai mặt phẳng song song;
▫Giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau và xác định đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau đó [4].
Ngoài ra, trong chƣơng trình giáo dục phổ thông còn đƣa ra chuẩn kiến thức, kĩ năng nhằm tạo ra sự thống nhất việc dạy, học, đánh giá, làm hạn chế tình trạng quá tải, đƣa thêm nhiều nội dung nặng nề, quá cao. Chuẩn kiến thức, kĩ năng đƣợc chi tiết, tƣờng minh bằng các yêu cầu cụ thể, rõ ràng về kiến thức, kĩ năng. Nó có tính tối thiểu, nhằm đảm bảo mọi học sinh cần phải và có thể đạt đƣợc những yêu cầu cụ thể này. (xem Bảng 1.2)
Bảng 1.2 Chuẩn kiến thức, kĩ năng của chƣơng [14]
Vectơ trong kh ng gian
Về kiến thức Về kĩ năng
Biết đƣợc:
- Quy tắc hình hộp để cộng vectơ trong không gian.
- hái niệm và điều kiện đồng phẳng của ba vec tơ trong không gian
- Xác định đƣợc góc giữa hai vectơ trong không gian.
- Vận dụng đƣợc: phép cộng, trừ; nhân vectơ với một số, tích vô hƣớng của hai vectơ; sự bằng nhau của hai vectơ trong không gian.
- Biết cách xét sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ trong không gian.
Hai đƣờng thẳng vu ng g c
Về kiến thức Về kĩ năng
Biết đƣợc:
- Khái niệm vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng.
- hái niệm góc giữa hai đƣờng thẳng. - hái niệm và điều kiện hai đƣờng thẳng vuông góc với nhau.
- Xác định đƣợc vec tơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng; góc giữa hai đƣờng thẳng. - Biết chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc với nhau.
Đƣờng thẳng vu ng g c với mặt phẳng
Về kiến thức Về kĩ năng
Biết đƣợc:
- Định nghĩa và điều kiện đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng.
- hái niệm phép chiếu vuông góc. - hái niệm mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng.
- Biết cách chứng minh: một đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng; một đƣờng thẳng vuông góc với một đƣờng thẳng.
- Xác định đƣợc vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng.
- Xác định đƣợc hình chiếu vuông góc của một điểm, một đƣờng thẳng, một tam giác.
- Bƣớc đầu vận dụng định lí ba đƣờng vuông góc.
- Xác định đƣợc góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng.
- Biết xét mối liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đƣờng thẳng và mặt phẳng.
Hai mặt phẳng vu ng g c
Về kiến thức Về kĩ năng
Biết đƣợc:
- hái niệm góc giữa hai mặt phẳng. - hái niệm và điều kiện hai mặt phẳng vuông góc.
- Tính chất hình lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phƣơng.
- hái niệm hình chóp đều và hình chóp cụt đều.
- Xác định đƣợc góc giữa hai mặt phẳng. - Biết chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.
- Vận dụng đƣợc tính chất của lăng trụ đứng, hình hộp, hình chóp đều, chóp cụt đều vào giải một số bài tập.
Khoảng cách
Về kiến thức Về kĩ năng
Biết đƣợc:
- Các khái niệm: khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng, đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng, khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
- hái niệm đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau.
- hái niệm khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau.
Xác định đƣợc:
- hoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng, đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng, khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
- Đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau.
- hoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau.
Theo [13] đã đƣa ra nhận định để rèn luyện các năng lực tƣ duy, phát triển trí tuệ cho học sinh:
Ngoài việc nhìn nhận các vấn đề theo nhiều góc độ khác nhau, để rèn luyện tƣ duy cho học sinh, giáo viên cần chú trọng quan tâm bồi dƣỡng cho học sinh lập luận chứng minh có căn cứ, chú trọng các suy luận
lôgic, chứng minh bằng phƣơng pháp phản chứng, quan tâm rèn luyện cho học sinh các trƣờng hợp riêng. hi lập luận chứng minh các định lí hay giải bài tập toán, chú trọng bồi dƣỡng các thao tác tƣ duy phân tích, tổng hợp, so sánh, tƣơng tự.
1.6 Một số kh kh n, sai lầm khi dạy học hình học kh ng gian
Theo [13], khi dạy học Hình học không gian bộc lộ những khó khăn, sai lầm chung thể hiện qua hai mâu thuẫn biện chứng thuộc phạm trù phƣơng pháp luận nhận thức sau đây:
Mâu thuẫn giữa một bên là các đối tƣợng hình học trừu tƣợng đƣợc trừu xuất, lí tƣởng hóa tách khỏi hiện thực khách quan (đối tƣợng nghiên cứu của toán học) và một bên là khi dạy học lại mô tả chúng bằng các hình ảnh hiện thực, hình biểu diễn.
Các chứng minh trong hình học bằng con đƣờng lập luận lôgic, chứng minh suy diễn theo công thức hằng đúng sau: A1A2 ... An B; trong đó A hoặc là các tiên đề, các định lí, các mệnh đề đã chứng minh i đúng đắn trƣớc đó; B là mệnh đề cần chứng minh, trong khi đó chứng minh lại dựa vào các hình v trực quan.
Ngoài hai khó khăn cơ bản nêu trên, học sinh còn bộc lộ khó khăn, sai lầm do sự ngắt quãng giữa hình học không gian và hình học phẳng, dẫn tới ngộ nhận nhiều chi tiết, quan hệ không gian sang các chi tiết, quan hệ trong mặt phẳng. hó khăn trên gây nên do năng lực tƣởng tƣợng không gian còn yếu.
hó khăn trong việc định hƣớng tìm thuật giải, cách giải đối với các bài toán không gian.
Do đó để phát huy các thuận lợi, khắc phục khó khăn giáo viên cần phải: •Giúp học sinh bƣớc đầu hiểu bản chất và mối quan hệ giữa các đối tƣợng của hình học không gian. Dùng các mô hình trực quan để dần dần rèn luyện trí tƣởng tƣợng trong không gian cho học sinh, từ đó học sinh hiểu đƣợc bản chất các mối quan hệ giữa các đối tƣợng của hình học không gian, hiểu và v đƣợc hình biểu
diễn của chúng.
• hai thác, vận dụng tƣơng tự hoá và các hoạt động trí tuệ khác trong giảng dạy lý thuyết cũng nhƣ trong giải bài tập để học sinh dễ tiếp thu kiến thức, từ đó củng cố, mở rộng đào sâu kiến thức.
•Rèn luyện khả năng tƣ duy lôgic kết hợp với hình v để giải các bài toán hình học, rèn luyện khả năng v hình xét các trƣờng hợp, tránh bỏ sót các trƣờng hợp khi giải toán.
•Xây dựng các qui trình, thuật toán từ đó rèn k năng giải các dạng toán trong không gian.
1.7 Thuận l i đ sử dụng phép tƣơng tự dạy hình học kh ng gian
Đối với học sinh trung học phổ thông, kiến thức hình học phẳng ở trung học cơ sở là rất quan trọng bởi đó là cơ sở, nền tảng để học hình học không gian. Chính vì vậy, giáo viên khi giảng dạy hình học không gian có rất nhiều thuận lợi để khai thác và vận dụng tƣơng tự hoá.
•Ta có tính chất thừa nhận “Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng”[11]. Chính vì vậy, rất nhiều các bài toán hình học không gian dựa trên cơ sở của các bài toán trong hình học phẳng hoặc là sự kết hợp giữa kiến thức của hình học phẳng và hình học không gian.
•Giữa hình học phẳng và hình học không gian có rất nhiều yếu tố tƣơng tự, nhiều hình trong hình học phẳng và hình học không gian là tƣơng tự, ví dụ: tam giác và tứ diện, đƣờng tròn và mặt cầu, tam giác vuông và tứ diện vuông,
•Các tính chất tƣơng tự của các yếu tố trong hai hình tƣơng tự là đa dạng và phong phú, xem Bảng 1.3.
Bảng 1.3 Các yếu tố tƣơng tự của tam giác và tứ diện Đƣờng cao của tam giác Đƣờng cao của tứ diện Trung tuyến của tam giác Trọng tuyến của tứ diện