8. Cấu trúc của luận văn
2.1.1.4 Định nghĩa “Hai mặt phẳng vuông góc”
“Hai mặt phẳng đƣợc gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900” [11].
1. Giới thiệu kiến thức cần dạy (kiến thức đích)
Đó là định nghĩa “Hai mặt phẳng vuông góc”.
2. Khơi dậy ký ức của học sinh về tình huống tương tự
Các em đã học định nghĩa nào tƣơng tự với định nghĩa Hai mặt phẳng vuông góc chƣa? (Trả lời: Hai đƣờng thẳng vuông góc).
Hãy phát biểu lại định nghĩa Hai đƣờng thẳng vuông góc?
3. Nhận biết các đặc điểm quan trọng kiến thức dùng làm tương tự (kiến thức nguồn)
“Hai đƣờng thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900”.
4. Thiết lập sự tương ứng giữa kiến thức nguồn và kiến thức đích (xem Bảng 2.4)
Bảng 2.4 Sự tƣơng tự trong định nghĩa “Hai mặt phẳng vuông góc”
Nguồn (Trong mặt phẳng) Đ ch (Trong không gian)
Hai đƣờng thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. (1)
Hai đƣờng thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng bằng 900.
Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai đƣờng thẳng lần lƣợt vuông góc với hai mặt phẳng đó bằng 900. (2)
Hai đƣờng thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai vectơ chỉ phƣơng của chúng bằng 900
.
Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai đƣờng thẳng bất kì lần lƣợt thuộc hai mặt phẳng đó bằng 900. (3)
5. Chỉ ra những kết luận không đúng
ết luận (3): Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai đƣờng thẳng bất kì lần lƣợt thuộc hai mặt phẳng đó bằng 900
. Đây là kết luận sai vì một đƣờng thẳng trong mặt phẳng không xác định đƣợc phƣơng của mặt phẳng đó.
ết luận (1) và (2) đều đúng nhƣng kết luận (1) ngắn gọn hơn.
ết luận (1): Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900
.
2.1.1.5 Định nghĩa “Khoảng cách”
a) hoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
“ hoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P)” [11].
1. Giới thiệu kiến thức cần dạy (kiến thức đích)
Đó là định nghĩa “ hoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng”.
2. Khơi dậy ký ức của học sinh về tình huống tương tự
Các em đã học kiến thức nào có tƣơng tự với hoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng? (Trả lời: hoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng).
Hãy phát biểu định nghĩa Khoảng cách từ điểm M đến một đƣờng thẳng
mà em đã học trong mặt phẳng ?
Hãy so sánh khoảng cách đó với khoảng cách từ điểm M tới một điểm bất kì thuộc?
3. Nhận biết các đặc điểm quan trọng kiến thức dùng làm tương tự (kiến thức nguồn)
hoảng cách từ điểm M đến đƣờng thẳng là độ dài đoạn MM', với M ' là hình chiếu của M trên .
Độ dài đoạn MM' là khoảng cách ngắn nhất từ M đến một điểm bất kì thuộc đƣờng thẳng .
4. Thiết lập sự tương ứng giữa kiến thức nguồn và kiến thức đích (xem Bảng 2.5)
5. Chỉ ra những kết luận không đúng
ết luận (2): hoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó đến một điểm bất kì thuộc mặt phẳng đó.
ết luận (4): Độ dài đoạn MH là chƣa phải là khoảng cách ngắn nhất từ M đến một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (P).
6. Rút ra kết luận về kiến thức đích
ết luận (1): hoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).
ết luận (3): Độ dài đoạn MH là khoảng cách ngắn nhất từ M đến một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (P).
Bảng 2.5 Sự tƣơng tự trong định nghĩa “ hoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng”
Nguồn (Trong mặt phẳng) Đ ch (Trong không gian)
hoảng cách từ một điểm đến đƣờng thẳng.
hoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.
hoảng cách từ điểm M đến đƣờng thẳng là độ dài đoạn MM', với M ' là hình chiếu của M trên .
hoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P). (1)
hoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó đến một điểm bất kì thuộc mặt phẳng đó. (2)
Độ dài đoạn MM' là khoảng cách ngắn nhất từ M đến một điểm bất kì thuộc đƣờng thẳng .
Độ dài đoạn MH là khoảng cách ngắn nhất từ M đến một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (P). (3)
Độ dài đoạn MH là chƣa phải là khoảng cách ngắn nhất từ M đến một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (P). (4)
b) hoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
“ hoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia” [11].
1. Giới thiệu kiến thức cần dạy (kiến thức đích)
Đó là định nghĩa “ hoảng cách giữa hai mặt phẳng song song”.
2. Khơi dậy ký ức của học sinh về tình huống tương tự
Các em đã học kiến thức nào tƣơng tự với hoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ? (Trả lời: hoảng cách giữa hai đƣờng thẳng song song).
Hãy phát biểu lại định nghĩa hoảng cách giữa hai đƣờng thẳng song song mà em đã học trong mặt phẳng?
Hãy so sánh khoảng cách đó với khoảng cách giữa hai điểm bất kì thuộc hai đƣờng thẳng song song?
3. Nhận biết các đặc điểm quan trọng kiến thức dùng làm tương tự (kiến thức nguồn)
hoảng cách giữa hai đƣờng thẳng song song và ' là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đƣờng thẳng này đến đƣờng thẳng kia.
hoảng cách đó là ngắn nhất trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lƣợt thuộc hai đƣờng thẳng song song.
4. Thiết lập sự tương ứng giữa kiến thức nguồn và kiến thức đích (xem Bảng 2.6)
Bảng 2.6 Sự tƣơng tự trong định nghĩa “ hoảng cách giữa hai mặt phẳng song song”
Nguồn (Trong mặt phẳng) Đ ch (Trong không gian)
Hai đƣờng thẳng song song. Hai mặt phẳng song song.
hoảng cách giữa hai đƣờng thẳng song song và ' là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đƣờng thẳng này đến đƣờng thẳng kia.
hoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.(1)
hoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lƣợt thuộc hai mặt phẳng đó. (2)
hoảng cách đó là ngắn nhất trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lƣợt thuộc hai đƣờng thẳng song song.
hoảng cách đó là ngắn nhất trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lƣợt thuộc hai mặt phẳng song song.(3) hoảng cách đó chƣa phải là ngắn nhất trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lƣợt thuộc hai mặt phẳng song song. (4)
5. Chỉ ra những kết luận không đúng
ết luận (2): hoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lƣợt thuộc hai mặt phẳng đó.
ết luận (4): hoảng cách đó chƣa phải là ngắn nhất trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lƣợt thuộc hai mặt phẳng song song.
6. Rút ra kết luận về kiến thức đích
ết luận (1): hoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
ết luận (3): hoảng cách đó là ngắn nhất trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lƣợt thuộc hai mặt phẳng song song.
2.1.2Sử dụng phép tương tự vào dạy học đ nh lí
Việc dạy học các định lí toán học nhằm cung cấp cho học sinh một trong những vốn kiến thức cơ bản của bộ môn. Đó cũng là những cơ hội rất thuận lợi để phát triển ở học sinh khả năng suy luận và chứng minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ.
Việc dạy học các định lí toán học cần đạt đƣợc các yêu cầu sau:
•Học sinh nắm đƣợc hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng vào hoạt động giải toán cũng nhƣ giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.
•Học sinh thấy đƣợc sự cần thiết phải chứng minh định lí, thấy đƣợc chứng minh định lí là một yếu tố quan trọng trong phƣơng pháp làm việc trên lĩnh vực toán học.
•Học sinh đƣợc hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ hiểu chứng minh, trình bày lại đƣợc chứng minh, nâng lên mức độ biết cách suy nghĩ để tìm ra hƣớng chứng minh theo yêu cầu của chƣơng trình phổ thông.
Trong chƣơng trình hình học không gian lớp 11 có nhiều định lí là khái quát hoặc tƣơng tự với những định lí mà học sinh đã học. Chính vì vậy, việc khai thác và vận dụng tƣơng tự hoá trong giảng dạy định lí s giúp cho học sinh tiếp cận và lĩnh hội kiến thức tốt hơn thông qua đó củng cố, hệ thống hoá kiến thức và phát triển năng lực trí tuệ cho các em.
Sau đây ta xét một số minh họa cho sự vận dụng đó.
2.1.2.1 Định lí về sự biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng
“Nếu a , b , c là ba vectơ không đồng phẳng thì với mỗi vectơ d , ta tìm đƣợc các số m, n, p sao cho d ma nb pc . Hơn nữa, các số m, n, p là duy
nhất” [11].
1. Giới thiệu kiến thức cần dạy (kiến thức đích)
Đó là khả năng biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng.
2. Khơi dậy ký ức của học sinh về tình huống tương tự
Trong mặt phẳng, phải chăng mọi vectơ đều có thể biểu thị đƣợc qua hai vectơ không cùng phƣơng?
Hãy phát biểu lại định lí và nêu cách chứng minh.
Liệu trong không gian, một vectơ có biểu thị đƣợc qua ba vectơ không đồng phẳng không? Hãy phát biểu và chứng minh điều phát biểu đó.
3. Nhận biết các đặc điểm quan trọng kiến thức dùng làm tương tự (kiến thức nguồn)
Cho hai vectơ không cùng phƣơng a và b . hi đó mọi vectơ x đều có thể biểu thị đƣợc một cách duy nhất qua hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho xmanb.
Chứng minh
Từ một điểm O nào đó, ta v các vectơ OA a , OBb, OXx (xem Hình 2.2).
Nếu điểm X nằm trên đƣờng thẳng O thì ta có số m sao cho OX mOA . Vậy ta có x ma 0b (lúc này n0). Tƣơng tự, nếu điểm X nằm trên đƣờng thẳng OB thì ta có x 0a nb (lúc này m0).
Nếu điểm X không nằm trên O , OB thì ta có thể lấy điểm A ' trên OA và B’ trên OB sao cho OA'XB' là hình bình hành. hi đó ta có OX OA' OB' , và do đó có các số m, n sao cho OX mOA nOB , hay xmanb.
Giả sử tồn tại hai số m',n ' sao cho x ma nb m'a n 'b , thì (m m')a (n ' n)b . hi đó, nếu m m' thì n ' n a b m m '
, tức là hai vectơ a và b cùng phƣơng (trái với giả thiết), vậy m m' . Chứng minh tƣơng tự ta cũng có n n ' .
Hình 2.2
Hãy mở rộng định lí trên trong không gian và đề xuất hƣớng chứng minh định lí đó?
4. Thiết lập sự tương ứng giữa kiến thức nguồn và kiến thức đích (xem Bảng 2.7)
Bảng 2.7Sự tƣơng tự trong cách biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng
Nguồn (Trong mặt phẳng) Đ ch (Trong không gian)
Hai vectơ không cùng phƣơng a và b . Ba vectơ không đồng phẳng a , b và c . Mọi vectơ x ( x bất kì). Mọi vectơ d ( d bất kì).
Mọi vectơ x đều có thể biểu thị đƣợc một cách duy nhất qua hai vectơ a và b .
Mọi vectơ d đều có thể biểu thị đƣợc một cách duy nhất qua ba vectơ a , b và
c . (1) Chứng minh dựa vào quy tắc hình bình
hành.
Chứng minh dựa vào quy tắc hình bình hành. (2)
5. Chỉ ra những kết luận không đúng
Cả hai kết luận (1) và (2) đều đúng.
6. Rút ra kết luận về kiến thức đích
ết luận (1): Nếu a , b , c là ba vectơ không đồng phẳng thì với mỗi vectơ O A X a b a b x B B’ ’ x
d , ta tìm đƣợc các số m, n, p sao cho dmanbpc. Hơn nữa, các số m, n, p là duy nhất.
Hình 2.3
Chứng minh theo kết luận (2), (xem Hình 2.3).
Từ điểm O, ta đặt OA a , OBb, OCc, ODd thì O, A, B, C không cùng thuộc một mặt phẳng.
Từ điểm D kẻ đƣờng thẳng song song (hoặc trùng) với đƣờng thẳng OC, cắt mặt phẳng (O B) tại điểm D'. hi đó OD OD' D'D .
Ta có các số m, n sao cho OD' ma nb . Ngoài ra do D 'D và c cùng phƣơng nên có số p để D'D pc . Vậy ODmanbpc.
Giả sử tồn tại các số m',n ',p' sao cho OD m'a n 'b p'c thì (m m')a (nn ')b (p p')c 0.
Vì a , b , c không đồng phẳng nên m m' n n ' p p' 0 Hay mm';nn ';pp'.
Suy ra các số m, n, p là duy nhất.
2.1.2.2 Các tính chất có liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Tính chất 1 O A B D’ C D a b c d
“Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trƣớc và vuông góc với một đƣờng thẳng a cho trƣớc” [11].
1. Giới thiệu kiến thức cần dạy (kiến thức đích)
Số mặt phẳng đi qua một điểm O cho trƣớc và vuông góc với một đƣờng thẳng a cho trƣớc.
2. Khơi dậy ký ức của học sinh về tình huống tương tự
Trong hình học phẳng, có bao nhiêu đƣờng thẳng đi qua một điểm O cho trƣớc và vuông góc với một đƣờng thẳng a cho trƣớc?
3. Nhận biết các đặc điểm quan trọng kiến thức dùng làm tương tự (kiến thức nguồn)
Trong hình học phẳng, có duy nhất một đƣờng thẳng đi qua một điểm O cho trƣớc và vuông góc với một đƣờng thẳng a cho trƣớc.
4. Thiết lập sự tương ứng giữa kiến thức nguồn và kiến thức đích (xem Bảng 2.8)
Bảng 2.8 Sự tƣơng tự về Số mặt phẳng đi qua một điểm O cho trƣớc và vuông góc với một đƣờng thẳng a cho trƣớc
Nguồn (Trong mặt phẳng) Đ ch (Trong không gian)
Điểm O cho trƣớc. Điểm O cho trƣớc.
Đƣờng thẳng a cho trƣớc. Đƣờng thẳng a cho trƣớc.
Có duy nhất một đƣờng thẳng đi qua một điểm O cho trƣớc và vuông góc với một đƣờng thẳng a cho trƣớc.
Có duy nhất một đƣờng thẳng đi qua một điểm O cho trƣớc và vuông góc với một đƣờng thẳng a cho trƣớc. (1)
Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trƣớc và vuông góc với một đƣờng thẳng a cho trƣớc. (2)
Có duy nhất một mặt phẳng (Q) đi qua một điểm O cho trƣớc và vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trƣớc. (3)
5. Chỉ ra những kết luận không đúng
và vuông góc với một đƣờng thẳng a cho trƣớc.
ết luận (3): Có duy nhất một mặt phẳng (Q) đi qua một điểm O cho trƣớc và vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trƣớc.
6. Rút ra kết luận về kiến thức đích
ết luận (2): Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trƣớc và vuông góc với một đƣờng thẳng a cho trƣớc.
Tính chất 2
“Có duy nhất một đƣờng thẳng đi qua một điểm O cho trƣớc và vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trƣớc”[11].
1. Giới thiệu kiến thức cần dạy (kiến thức đích)
Số đƣờng thẳng đi qua một điểm O cho trƣớc và vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trƣớc.
2. Khơi dậy ký ức của học sinh về tình huống tương tự
Trong hình học phẳng, có bao nhiêu đƣờng thẳng đi qua một điểm O cho trƣớc và vuông góc với một đƣờng thẳng a cho trƣớc?
3. Nhận biết các đặc điểm quan trọng kiến thức dùng làm tương tự (kiến thức nguồn)
Trong hình học phẳng, có duy nhất một đƣờng thẳng đi qua một điểm O cho trƣớc và vuông góc với một đƣờng thẳng a cho trƣớc.
4. Thiết lập sự tương ứng giữa kiến thức nguồn và kiến thức đích (xem Bảng 2.9)
5. Chỉ ra những kết luận không đúng
ết luận (1): Có duy nhất một đƣờng thẳng đi qua một điểm O cho trƣớc và vuông góc với một đƣờng thẳng a cho trƣớc.
ết luận (3): Có duy nhất một mặt phẳng (Q) đi qua một điểm O cho trƣớc và vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trƣớc.