8. Cấu trúc của luận văn
1.1 Tƣơng tự và các hoạt động trí tuệ có liên quan với tƣơng tự
1 tan 1 tan 1 tan
1 1 1
1 1 tan 1 tan 1 tan
tan tan tan 2
Hay tứ diện S BC là tứ diện vuông cân tại S.
Do đó ta có thêm bài toán sau: Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
1
T 1 tan 1 tan 1 tan
Bài toán 8: Chúng ta biến đổi đẳng thức c) nhƣ sau:
2 2 2
cos cos cos 1 2 2 2
sin sin sin 2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2 2 2 3 2 2 2
2 sin sin sin 3 sin .sin .sin 2 6
sin .sin .sin
9
Suy ra 2 6
(sin .sin .sin ) m
9
ax khi và chỉ khi
6 sin sin sin
3
Hay S BC là tứ diện vuông cân tại S.
Ta có bài toán mới:
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P2 sin .sin .sin .
2.3 Sử dụng tƣơng tự vào việc dự đoán và ng n ngừa sai lầm của học sinh
Giống nhƣ phép qui nạp không hoàn toàn, kết luận trong phép suy luận tƣơng tự chỉ có tính chất giả thuyết, nó đƣợc dùng để dự đoán hay giúp phát hiện ra những mệnh đề mới trong toán học.
hông phải mọi tính chất đúng trong hình học phẳng đều đúng trong hình học không gian nhƣng bằng phép tƣơng tự ta có thể tạo đƣợc những mệnh đề mới. Trong nhiều trƣờng hợp, các mệnh đề mới này đúng, vì về mặt toán học thì đƣờng
thẳng là siêu phẳng trong mặt phẳng, cũng nhƣ mặt phẳng là siêu phẳng trong không gian ba chiều.
Nhƣng trong một số trƣờng hợp, khi ta thay các từ “đƣờng thẳng” bởi “mặt phẳng” của một định lí thì thu đƣợc rất nhiều mệnh đề, có cả những mệnh đề sai. Trên góc nhìn của một giáo viên, chúng ta có thể dự đoán đƣợc nhiều sai lầm mà học sinh thƣờng mắc phải do sự tƣơng tự giữa hình học không gian và hình học phẳng. Từ đó, chúng ta có những biện pháp thƣờng xuyên nhắc nhở, nhấn mạnh những sai lầm đó hoặc chỉ ra phản ví dụ bằng những hình ảnh trực quan.
Qua kinh nghiệm giảng dạy của bản thân và những phân tích ở phần đầu luận văn, tác giả xin tổng hợp lại một số sai lầm thƣờng gặp của học sinh nhƣ sau.
2.3.1Sai l m 1
Sai lầm thứ nhất là sai khi v hình và nhìn hình. Trong hình học phẳng, khi cho một tam giác BC vuông tại , học sinh v góc chính xác là 900
ký hiệu góc vuông. Đến khi cho hình chóp S. BC có đáy là tam giác BC vuông ở thì học sinh nhất quyết phải v góc bằng 900. Chẳng hạn, cho hình chóp tứ giác đều S. BCD, nhiều học sinh v chính xác đáy BCD vuông thực sự nhƣ Hình 2.20. Điều đó không cần thiết, thậm chí là hình v sai, ta chỉ cần v đáy BCD là hình bình hành, nếu ta v hình vuông thì đỉnh S phải trùng với tâm của hình vuông.
D C B A S Hình 2.20
Ngƣợc lại, khi nhìn hình v , học sinh không nhận thấy góc nào bằng 900 nên kết luận không vuông góc. Ví dụ nhƣ khi cho hình chóp S. BCD có đáy BCD là
hình vuông, S vuông góc với mặt đáy nhƣ Hình 2.21, học sinh khó nhận ra tất cả các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông vì chẳng thấy có góc nào bằng 900 . D C B A S Hình 2.21
Hơn nữa, trong hình học phẳng, hai đƣờng thẳng vuông góc với nhau thì luôn luôn cắt nhau tại một điểm. Còn trong không gian, điều này không còn đúng nữa, hai đƣờng thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau tại một điểm cũng có thể chéo nhau. Có em còn nhầm lẫn giữa chéo nhau và cắt nhau của hai đƣờng thẳng khi nhìn hình v .
Ví dụ 2.1Cho tứ diện BCD, M và N lần lƣợt là trung điểm của B và CD. Khi nhìn Hình 2.22, học sinh thƣờng ngộ nhận có giao điểm của MN với C và BD nhƣng trên thực tế MN và C chéo nhau, MN và BD cũng chéo nhau.
N M D C B A Hình 2.22
2.3.2Sai l m 2
Từ một tính chất trong hình học phẳng “Qua một điểm nằm ngoài đƣờng thẳng, có duy nhất một đƣờng thẳng vuông góc với đƣờng thẳng đã cho”, ta thay từ “đƣờng thẳng” thành “mặt phẳng” s đƣợc nhiều mệnh đề đƣợc tổng hợp trong Bảng 2.19, trong đó chỉ có vài mệnh đề sai.
Bảng 2.19Bảng tổng hợp các mệnh đề tƣơng tự của Sai lầm 2 HHP Qua một điểm nằm ngoài đƣờng thẳng, có
duy nhất một đƣờng thẳng vuông góc với đƣờng thẳng đã cho.
HHKG Qua một điểm nằm ngoài đƣờng thẳng, có duy nhất một đƣờng thẳng vuông góc với
đƣờng thẳng đã cho (Mệnh đề sai). O
Phản ví dụ Qua một điểm nằm ngoài đƣờng thẳng, có
duy nhất một mặt phẳng vuông góc với
đƣờng thẳng đã cho. O
Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng, có duy nhất một đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho.
Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt
phẳng đã cho (Mệnh đề sai). O
Các mệnh đề sai là:
“Qua một điểm nằm ngoài đƣờng thẳng, có duy nhất một đƣờng thẳng vuông góc với đƣờng thẳng đã cho”.
“Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho”.
2.3.3Sai l m 3
Từ tính chất “Qua một điểm nằm ngoài đƣờng thẳng, có duy nhất một đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng đã cho” của hình học phẳng, bằng cách thay cụm từ “đƣờng thẳng” bởi “mặt phẳng”, ta thu đƣợc các mệnh đề nhƣ trong Bảng 2.20.
Các mệnh đề sai là:
“Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng, có duy nhất một đƣờng thẳng song song với mặt phẳng đã cho”.
“Qua một điểm nằm ngoài đƣờng thẳng, có duy nhất một mặt phẳng song song với đƣờng thẳng đã cho” .
Bảng 2.20Bảng tổng hợp các mệnh đề tƣơng tự của Sai lầm 3 HHP Qua một điểm nằm ngoài đƣờng thẳng, có
duy nhất một đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng đã cho.
A
HHKG Qua một điểm nằm ngoài đƣờng thẳng, có duy nhất một đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng đã cho.
Qua một điểm nằm ngoài đƣờng thẳng, có duy nhất một mặt phẳng song song với
đƣờng thẳng đã cho (Mệnh đề sai) A
Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng, có duy nhất một đƣờng thẳng song song với mặt phẳng đã cho (Mệnh đề sai).
Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng, có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
A
2.3.4Sai l m 4
Từ hai tính chất trong hình học phẳng: “Hai đƣờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đƣờng thẳng thì song song với nhau; Đƣờng thẳng vuông góc với một trong hai đƣờng thẳng song song thì vuông góc với đƣờng thẳng còn lại”, ta thay một, hai rồi ba đƣờng thẳng thành mặt phẳng, ta s thu đƣợc rất nhiều mệnh đề, có cả những mệnh đề sai. Học sinh có thể phân tích để khẳng định sự đúng đắn của các mệnh đề, và tìm phản ví dụ cho những mệnh đề sai. Bảng 2.21 là bảng tổng hợp các mệnh đề thu đƣợc.
Bảng 2.21Bảng tổng hợp các mệnh đề tƣơng tự của Sai lầm 4 HHP Hai đƣờng thẳng phân biệt cùng
vuông góc với một đƣờng thẳng thì song song với nhau
Đƣờng thẳng vuông góc với một trong hai đƣờng thẳng song song thì vuông góc với đƣờng thẳng còn lại.
HHKG Hai đƣờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đƣờng thẳng thì song song với nhau (Mệnh đề sai).
Phản ví dụ Hai mặt phẳng phân biệt cùng
vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau (Mệnh đề sai).
O
Phản ví dụ Hai đƣờng thẳng phân biệt cùng
vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đƣờng thẳng thì song song với nhau.
Đƣờng thẳng vuông góc với một trong hai đƣờng thẳng song song thì vuông góc với đƣờng thẳng còn lại.
Mặt phẳng vuông góc với một trong hai đƣờng thẳng song song thì vuông góc với đƣờng thẳng còn lại.
Cho đƣờng thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nhau. Đƣờng thẳng nào vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a. a Nếu một đƣờng thẳng và một mặt phẳng (không chứa đƣờng thẳng đó) cùng vuông góc với một đƣờng thẳng thì chúng song song với nhau. a Đƣờng thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì vuông góc với mặt phẳng còn lại.
Mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì vuông góc với mặt phẳng còn lại.
Cho hai mặt phẳng vuông góc, đƣờng thẳng nào song song với mặt phẳng này thì vuông góc với mặt phẳng kia (Mệnh đề sai).
Cho hai mặt phẳng vuông góc, đƣờng thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì song song với mặt phẳng kia.
Các mệnh đề sai là:
“Hai đƣờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đƣờng thẳng thì song song với nhau”
“Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau”
“Cho hai mặt phẳng vuông góc, đƣờng thẳng nào song song với mặt phẳng này thì vuông góc với mặt phẳng kia”.
p
q
Kết luận chƣơng 2
Tƣơng tự hoá đã trở thành một phƣơng pháp suy nghĩ sáng tạo và là nguồn gốc của nhiều phát minh trong toán học sơ cấp cũng nhƣ cao cấp. Phép tƣơng tự giúp học sinh hình thành tri thức lý thuyết, cũng nhƣ giải quyết các dạng bài tập tƣơng tự. Đồng thời, nó là phƣơng pháp suy nghĩ sáng tạo giúp học sinh mở rộng, đào sâu và hệ thống hoá kiến. Ngoài ra, nó đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành những phẩm chất trí tuệ cho học sinh, giúp họ làm quen với phƣơng pháp nghiên cứu khoa học, góp phần đào tạo và bồi dƣỡng năng khiếu toán học.
Nếu giáo viên sử dụng tƣơng tự thích hợp thì quá trình dạy học có những ƣu điểm sau đây [7]:
•Trực quan vì việc dùng những khái niệm tri thức mà học sinh đã biết hay đã quen thuộc giúp học sinh học tập khái niệm một cách trực quan.
•Liên hệ với đời thƣờng: sử dụng các tri thức đời thƣờng làm tƣơng tự tạo thuận lợi cho học sinh hiểu kiến thức mới trừu tƣợng.
•Gây động cơ học tập cho học sinh bởi các tình huống có vấn đề đƣợc tạo ra bằng tƣơng tự.
• huyến khích giáo viên chú ý kiến thức vốn có của học sinh trƣớc khi dạy tri thức mới.
•Phát triển năng lực giải quyết vấn đề, do đó phát triển năng lực làm việc độc lập.
•Phát triển khả năng phát hiện kiến thức mới cho học sinh. Do đó góp phần rèn luyện năng lực sáng tạo cho học sinh.
Ngƣợc lại, nếu giáo viên sử dụng kiến thức nguồn mà không đƣợc học sinh biết rõ thì sự tƣơng tự có thể gây rối rắm cho học sinh. Ngoài ra, kiến thức nguồn và đích thƣờng có những dấu hiệu giống nhau, và có những dấu hiệu khác nhau, nên tƣơng tự cũng có thể làm học sinh hiểu sai những vấn đề nằm ngoài dự kiến của giáo viên [7].
Chương 3 . THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
•Mục đích thực nghiệm •Nội dung thực nghiệm
•Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm • ết quả thực nghiệm
3.1 Mục đ ch thực nghiệm
Thực nghiệm sƣ phạm đƣợc tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của đề tài và tính đúng đắn của giả thuyết khoa học.
3.2 Nội dung thực nghiệm
Giả thuyết H1: “Nếu giáo viên sử dụng phép tƣơng tự một cách hợp lí s giúp học sinh phát hiện ra kiến thức mới”.
Giả thuyết H2: “Giữa hình học phẳng và hình học không gian có nhiều dấu
hiệu tƣơng tự nhƣng không phải mọi tính chất đúng trong mặt phẳng đều đúng trong không gian nên học sinh dễ mắc phải các sai lầm nhƣ:
SL2.1. Hai đƣờng thẳng vuông góc luôn cắt nhau.
SL2.2. Có duy nhất một đƣờng thẳng đi qua một điểm O cho trƣớc và vuông
góc với đƣờng thẳng cho trƣớc.
SL2.3. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm O cho trƣớc và vuông
góc với mặt phẳng cho trƣớc.
Sl2.4. Qua một điểm nằm ngoài đƣờng thẳng, có duy nhất một mặt phẳng
song song với đƣờng thẳng đã cho.
SL2.5. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng, có duy nhất một đƣờng thẳng
song song với mặt phẳng đã cho.
SL2.6. Hai đƣờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đƣờng thẳng thì song
song với nhau.
SL2.7. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song
song với nhau.
SL2.8. Cho hai mặt phẳng vuông góc, đƣờng thẳng nào song song với mặt
3.3 Tổ ch c thực nghiệm sƣ phạm
3.3.1Đối với gi thuyết H1
3.3.1.1 Đối tượng thực nghiệm
Thực nghiệm đƣợc tiến hành tại trƣờng THPT Phan Văn Trị, huyện Phong Điền, Thành phố Cần Thơ, năm học 2011-2012.
Lớp thực nghiệm: 11 1, sĩ số 37, do tác giả luận văn trực tiếp giảng dạy. Lớp đối chứng: 11 2, sĩ số 37, do giáo viên Hồ Thị Thu Hƣơng giảng dạy (thâm niên 22 năm).
Hai lớp có một số đặc điểm tƣơng đƣơng: Số học sinh, chất lƣợng và kết quả học tập tƣơng đƣơng nhau về môn toán, cùng học ban khoa học tự nhiên, nề nếp học tập, ý thức tổ chức kỷ luật, đạo đức và tác phong cũng nhƣ nhau.
3.3.1.2 Triển khai thực nghiệm sư phạm
Lớp thực nghiệm: Tác giả luận văn dạy 6 tiết. •Đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (2 tiết); •Luyện tập (2 tiết);
•Hai mặt phẳng vuông góc (2 tiết).
Dạy lớp thực nghiệm có vận dụng phép tƣơng tự trong dạy học để giúp học sinh phát hiện ra kiến thức mới và ngăn ngừa một số sai lầm do sự tƣơng tự giữa hình học phẳng và hình học không gian.
Lớp đối chứng: Dạy học bình thƣờng theo đúng phân phối chƣơng trình hiện hành của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
Sau khi dạy thực nghiệm, tổ chức kiểm tra 45 phút ở cả hai lớp nhằm thu thập điểm số và tiến hành phân tích số liệu.
a)Đề kiểm tra nhƣ sau
KIỂM TRA MÔN TOÁN Thời gian: 45 ph t
Câu 1: (7 điểm) Trong tứ diện vuông O BC, có O , OB, OC đôi một vuông góc, đƣờng cao OH có một số tính chất tƣơng tự nhƣ trong tam giác vuông BC (vuông tại ), đƣờng cao H. (Hình 3.1)
H C B A H C B A O Hình 3.1
Ví dụ 1: Trong tam giác vuông BC, công thức liên hệ giữa đƣờng cao và hai cạnh góc vuông là 1 2 12 12
AH AB AC thì trong tứ diện vuông O BC, công thức liên hệ giữa đƣờng cao và ba cạnh đôi một vuông góc là
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC .
Ví dụ 2: Định lí Pytago trong tam giác vuông cho biết mối liên hệ giữa bình phƣơng độ dài cạnh huyền và tổng bình phƣơng độ dài hai cạnh góc vuông là:
2 2 2
BC AB AC . Tƣơng tự nhƣ vậy, trong tứ diện vuông O BC, công thức liên hệ giữa tổng bình phƣơng diện tích ba mặt phẳng đôi một vuông góc với bình phƣơng diện tích mặt phẳng còn lại là 2 2 2 2
ABC OAB OBC OAC
S S S S (Định lí Pytago trong không gian).
Hãy điền vào chỗ trống trong Bảng 3.1 các tính chất của tứ diện vuông tƣơng tự với các tính chất của tam giác vuông đƣợc cho ở cột bên trái.
Câu 2. (3 điểm) Cho tam giác BC, trọng tâm G, ta có các tính chất sau: a) GA GB GC 0;
b) OA OB OC 3OG, với O là điểm bất kì.
Theo em, trong tứ diện BCD, trọng tâm G có tính chất nào tƣơng tự nhƣ hai tính chất trên? Chứng minh các tính chất mà em vừa nêu.
Tam giác vuông T diện vu ng 2 2 2 1 1 1 AH AB AC 1 2 1 2 12 12 OH OA OB OC 2 2 2 BC AB AC 2 2 2 2
ABC OAB OBC OAC
S S S S 2 AB BH.BC 2 OAB S ; 2 OBC S ...; 2 OAC S 2 2 cos B cos C 1