Dự đoán, so sánh

8. Cấu trúc của luận văn

1.1.2.3 Dự đoán, so sánh

Trên phƣơng diện tâm lí học, so sánh là sự xác định bằng trí óc sự giống hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau

giữa các sự vật, hiện tƣợng [24].

Muốn so sánh hai sự vật (hay hai hiện tƣợng), ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó với nhau, rồi tổng hợp lại xem hai sự vật đó có gì giống nhau hay khác nhau [8].

Trong khi giải các bài tập hình học không gian, việc so sánh, dự đoán giúp chúng ta khai thác triệt để giả thiết của bài toán, từ đó đề xuất phƣơng hƣớng giải bài toán.

Các hoạt động dự đoán, so sánh không những giúp chúng ta định hƣớng cách giải bài toán mà nó còn kết hợp với tƣơng tự hoá và các hoạt động trí tuệ khác đề xuất các bài toán tƣơng tự, bài toán khái quát và đƣờng lối giải các bài toán đó.

1.1.2.4 Trừu tượng hóa, cụ thể hóa

Trừu tƣợng hóa là sự trừu xuất (lãng quên) những dấu hiệu không bản chất và tách riêng những đặc điểm cơ bản của một nhóm đối tƣợng và hiện tƣợng.

Sức mạnh của trí tuệ đƣợc đánh giá ở năng lực trừu tƣợng hóa. Trừu tƣợng hóa cho phép ta đi sâu vào bản chất của đối tƣợng, hiện tƣợng cần nhận thức. Vì vậy, trong dạy học toán, phải luôn chú ý phát triển năng lực trừu tƣợng hóa cho học sinh [8].

Trừu tƣợng hoá là quá trình con ngƣời dùng trí óc gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những mối liên hệ và quan hệ chủ yếu không cần thiết mà chỉ giữ lại những yếu tố nào cần thiết, cơ bản để tƣ duy.

Trong lĩnh vực “hình” thì trừu tƣợng đã vƣợt qua các cấp nhƣ sau [16]: a) Từ những hình ảnh cụ thể nhƣ “hạt bụi”, “sợi dây mảnh căng thẳng”, “mặt nƣớc đứng yên” tiến lên các khái niệm “điểm”, “đƣờng thẳng”, “mặt phẳng” rồi đến các khái niệm dẫn xuất từ đó mà ra với những quan hệ nhƣ “đi qua”, “nằm trên”, “ở giữa”, “bằng nhau”.

b) Từ chỗ các khái niệm nói ở phần a) đƣợc v ra trên giấy hay dựng lên bằng một vật liệu nào đó trong không gian với những lập luận logic còn dựa không ít vào trực giác để nghiên cứu, tiến lên đƣa tọa độ vào để dùng đại số và giải tích mà nghiên cứu, nhờ vậy mà đã tinh vi đi sâu vào

các hình đến mức vƣợt qua mọi sự nhận thức trực giác nhƣ khái niệm “mật tiếp”, “thái tiếp” giữa hai đƣờng cong và mở rộng trong không gian vật lí ba chiều lên thành những không gian nhiều chiều.

c) Từ chỗ “điểm”, “đƣờng thẳng”, “mặt phẳng” với các quan hệ giữa chúng còn cụ thể hay ít ra cũng gắn với các tọa độ, phƣơng trình của chúng, tiến lên chỗ các khái niệm đó và các quan hệ giữa chúng muốn hiểu là gì cũng đƣợc, miễn sao một số tiên đề đƣợc thỏa mãn.

Nhƣ vậy trừu tƣợng hoá là hoạt động trí tuệ mà nhờ nó con ngƣời lĩnh hội kiến thức ở mức cao hơn, phổ quát hơn không những trong toán học mà trong các lĩnh vực khác.

Một vấn đề đặt ra là trong dạy học toán làm thế nào để học sinh hiểu đƣợc các khái niệm, các vấn đề trừu tƣợng, từ đó rèn khả năng trừu tƣợng hoá cho các em.

Bản thân các tri thức khoa học nói chung và tri thức toán học nói riêng là một sự thống nhất giữa cái cụ thể và cái trừu tƣợng. Muốn cho việc dạy học đạt hiệu quả tốt thì cần khuyến khích và tạo điều kiện cho học sinh thƣờng xuyên tiến hành hai quá trình thuận nghịch nhƣng liên hệ mật thiết với nhau, đó là trừu tƣợng hoá và cụ thể hoá [5].

Khi học sinh gặp khó khăn trong việc lĩnh hội cái trừu tƣợng, giáo viên phải cụ thể hoá, sử dụng các phƣơng tiện trực quan để các em dễ ràng hình dung và tiếp thu kiến thức. Tuy vậy

hi cụ thể hoá cần hƣớng về cái trừu tƣợng, có nhƣ vậy mới gạt bỏ đƣợc những dấu hiệu không bản chất để nắm cái bản chất, mới gạt bỏ đƣợc những cái cá biệt để nắm qui luật Trực quan là chỗ dựa để dự đoán, khám phá chứ không phải là phƣơng tiện để chứng minh những mệnh đề toán học [5].

Ví dụ 1.5 hái niệm “mặt phẳng” đƣợc mô tả nhƣ mặt bàn, tấm gƣơng phẳng. Nhƣng phải cho học sinh thấy bản chất của mặt phẳng là tập hợp điểm và trải rộng vô tận.

Trừu tƣợng hoá là tách những đặc điểm bản chất ra khỏi những đặc điểm không bản chất. Trừu tƣợng hoá là điều kiện cần của khái quát hoá. Nhƣ vậy, để rèn luyện tƣơng tự hoá với trừu tƣợng hoá ta có thể yêu cầu trên cơ sở so sánh những trƣờng hợp riêng lẻ, thực hiện tƣơng tự hoá, nhƣng trong những trƣờng hợp tƣơng tự đó có những đặc điểm không bản chất, học sinh phải tách đƣợc những đặc điểm bản chất ra khỏi những đặc điểm không bản chất, nghĩa là đã thực hiện trừu tƣợng hoá.

Nhƣ vậy để rèn luyện hoạt động trừu tƣợng hoá ta tìm cách cố ý bố trí những trƣờng hợp riêng lẻ mang một số đặc điểm chung nổi bật nhƣng không cần thiết cho việc dự đoán qui luật tổng quát từ đó học sinh phải tách đƣợc đặc điểm bản chất ra khỏi các đặc diểm chung đó. Hoạt động này cần đƣợc rèn luyện thƣờng xuyên trong quá trình học tập, tuy vậy, tuỳ theo trình độ của học sinh mà giáo viên yêu cầu trừu tƣợng hoá ở mức nào và phải kết hợp với sự minh hoạ của cụ thể hoá.

1.1.3Mối quan hệ giữa tương tự và các hoạt động trí tuệ khác

hái quát hóa, đặc biệt hóa và tƣơng tự thƣờng tác động với nhau trong việc giải quyết những vấn đề toán học. Có thể lấy định lý Pytago, một định lý nổi tiếng của toán học sơ cấp làm thí dụ.

Ví dụ 1.6Xét tam giác vuông có cạnh a, b, c; a là cạnh huyền. Chúng ta muốn chứng minh rằng 2 2 2

a b c . (A)

Mục đích ấy gợi ý cho ta dựng những hình vuông trên ba cạnh của tam giác. Và nhƣ vậy chúng ta tiến tới làm quen với hình I của Hình 1.1.

Các phát minh, ngay cả những phát minh rất đơn giản; cũng đòi hỏi phải nhận thức đƣợc một cái gì đó, hiểu rõ đƣợc một mối liên hệ nào đó. Chúng ta có thể tìm ra cách chứng minh nếu chúng ta nhận thấy sự tƣơng tự giữa hình I đã quen thuộc của hình v và hình II chƣa chắc đã kém quen thuộc hơn: hình II cũng chính là tam giác vuông trong hình I đƣợc tách thành hai bởi đƣờng cao ứng với cạnh huyền.

Hình 1.1 Mối liên hệ giữa hái quát hóa, Đặc biệt hóa và Tƣơng tự [18]. Có thể làm sáng tỏ sự tƣơng tự giữa hình I và II bằng cách khái quát hóa đồng thời các hình I và II, thể hiện ở hình III. Ở đấy ta vẫn có tam giác vuông đã cho và trên ba cạnh của nó ta dựng ba đa giác tùy ý đồng dạng với nhau.

Diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền ở hình I bằng 2

a . Diện tích của đa giác không đều dựng trên cạnh huyền ở hình III có thể đặt là 2

a

 ; thừa số  là tỉ số của hai diện tích nói trên. Trong hình III, ba đa giác dựng trên ba cạnh a, b, c của tam giác vuông là đồng dạng với nhau. Từ đó suy ra diện tích của chúng theo thứ tự là a²,b²,c².

Bây giờ, nếu phƣơng trình ( ) đúng thì phƣơng trình sau đây cũng đúng:

2 2 2

b

a  c

    (B)

Bây giờ (B) là khái quát hóa của định lý Pytago nêu lên ban đầu: Nếu trên ba cạnh của một tam giác vuông ta dựng ba đa giác đồng dạng thì diện tích của đa giác dựng trên cạnh huyền bằng tổng các diện tích của hai đa giác kia.

Cần chú ý rằng trƣờng hợp tổng quát này tƣơng đƣơng với trƣờng hợp riêng xuất phát. Thật vậy, từ phƣơng trình ( ) có thể suy ra (B) và ngƣợc lại, bằng cách nhân hay chia với  ( khác không vì là tỉ số hai diện tích).

Định lý tổng quát, thể hiện ở (B) không những chỉ tƣơng đƣơng với trƣờng II

hợp riêng ( ) mà tƣơng đƣơng với mọi trƣờng hợp riêng khác. Do đó nếu một trƣờng hợp riêng nào đó đã đƣợc chứng minh, thì trƣờng hợp tổng quát cũng đƣợc chứng minh.

Vậy chỉ cần tìm một trƣờng hợp riêng nào đó thuận lợi nhất cho việc chứng minh. Có thể chọn trƣờng hợp của hình II. Thật vậy, tam giác vuông dựng trên cạnh huyền của nó rõ ràng đồng dạng với hai tam giác vuông kia, dựng trên hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đã cho. Tất nhiên là diện tích của cả tam giác bằng tổng các diện tích của hai phần của nó. Nhƣ vậy là định lý Pytago đã đƣợc chứng minh.

Ví dụ 1.6 chỉ rõ rằng từ một trƣờng hợp riêng (trƣờng hợp của hình I), bằng khái quát hóa có thể tiến lên một tình huống tổng quát hơn (hình III) và từ đó, bằng đặc biệt hóa, ta lại trở về một trƣờng hợp tƣơng tự (nhƣ hình II). Thí dụ đó còn chứng tỏ rằng một trƣờng hợp tổng quát có thể tƣơng tự về mặt lôgic với một trƣờng hợp đặc biệt. Ví dụ 1.6 cũng chứng tỏ một cách đơn giản nhƣng rõ ràng rằng các phép khái quát hóa, đặc biệt hóa và tƣơng tự kết hợp một cách tự nhiên trong khi cố gắng tìm kiếm lời giải của bài toán [18].

1.2 Các mô hình dạy học có sử dụng phép tƣơng tự

hi dạy học có sử dụng tƣơng tự, cần chú ý đến ba thành phần [7]: • iến thức đích (target): kiến thức mà học sinh cần truyền thụ. • iến thức nguồn (analog): kiến thức đƣợc dùng làm tƣơng tự. •Các dấu hiệu tƣơng ứng giữa kiến thức nguồn và đích.

Mục tiêu của việc sử dụng tƣơng tự ở đây là chuyển những tƣ tƣởng từ những kiến thức nguồn (cái quen thuộc) thành kiến thức đích (cái không quen thuộc). Nếu chúng có chung một số đặc điểm (hay tính chất), thì một điều tƣơng tự có thể đƣợc rút ra. Nhƣ vậy tƣ tƣởng chính của phép tƣơng tự có thể đƣợc tóm tắt nhƣ Hình 1.2.

Hình 1.2 Các thành phần cơ bản của quá trình dạy học tƣơng tự [7].

Để biểu thị quá trình so sánh các đặc điểm trong khi dùng phép tƣơng tự, ta iến thức nguồn ^{Các dấu hiệu tƣơng ứng} iến thức đích

có thể dùng sơ đồ ở Hình 1.3.

Hình 1.3 Quá trình so sánh các đặc điểm khi dùng phép tƣơng tự [7]

1.2.2Mô hình TWA

Qui trình của dạy học với tƣơng tự đƣợc thể hiện trong mô hình TW (the Teaching- With- nalogies), do Glynn đề nghị (1989) gồm các bƣớc nhƣ sau [7]:

1. Giới thiệu kiến thức cần dạy (kiến thức đích).

2. hơi dậy ký ức của học sinh về tình huống tƣơng tự.

3. Nhận biết các đặc điểm quan trọng kiến thức dùng làm tƣơng tự (kiến thức nguồn).

4. Thiết lập sự tƣơng ứng giữa kiến thức nguồn và kiến thức đích. 5. Chỉ ra những kết luận không đúng.

6. Rút ra kết luận về kiến thức đích.

1.2.3Mô hình FAR

Trƣớc và sau khi dạy học một tƣơng tự, giáo viên cần phân tích tƣơng tự đó để cho việc dạy học hiệu quả hơn. Mô hình FAR (the Focus- Action- Reflection) hƣớng dẫn giáo viên thực hiện việc phân tích khi dạy học một tƣơng tự, xem Hình 1.4.

1.3 Dạy học khám phá với phép tƣơng tự

1.3.1 ng tương tự đ y dựng gi thuyết khoa học

Trong dạy học môn toán, ta có thể sử dụng phép tƣơng tự theo thuộc tính hay theo quan hệ giữa các đối tƣợng mà đƣa ra giả thuyết, sau đó tiến hành chứng minh

TƢƠNG TỰ

iến thức nguồn iến thức đích

So sánh

hay bác bỏ (xem Hình 1.5 và Hình 1.6). Tâm điểm (Focus):

hái niệm: hái niệm cần học có khó, không quen thuộc hay trừu tƣợng. Học sinh: Những ý tƣởng nào mà học sinh đã biết về khái niệm.

Nguồn: Có điều gì mà học sinh quen thuộc.

Hành động ( ction):

Tƣơng đồng: Thảo luận những đặc điểm của nguồn và khái niệm và rút ra những điểm giống nhau giữa chúng.

Dị biệt: Thảo luận những đặc điểm của nguồn không giống với khái niệm.

Suy xét (Reflection):

ết luận: Nguồn có rõ ràng và hữu ích, hay gây nhầm lẫn. Cải tiến: Xét lại tâm điểm trên cơ sở những kết luận.

Hình 1.4 Mô hình FAR

(Treagust, Venville, Stocklmayer & Thiele, 1993) (dẫn theo [7])

Hình 1.5 Mô hình xây dựng giả thuyết bằng tƣơng tự theo thuộc tính [7].

Hình 1.6Mô hình xây dựng giả thuyết bằng tƣơng tự theo quan hệ [7].

Ví dụ 1.7Sử dụng tƣơng tự dạy Quy tắc hình hộp và tính chất trọng tâm của - có quan hệ với C

- và B cùng loại (hay có cấu trúc tƣơng tự)

B có quan hệ với C ? - có tính chất P_n+1

- và B cùng có các tính chất P₁,...,P_n

tứ diện nhƣ Bảng 1.1.

Bảng 1.1 Dạy học Quy tắc hình hộp và tính chất trọng tâm của tứ diện

Nguồn Đích

Trong hình bình hành ABCD, ta có

ABADAC.

Trong hình hộp BCD. ’B’C’D’, liệu ta cũng có ABADAA 'AC'?

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì GA GB GC  0.

Nếu G là trọng tâm của tứ diện BCD thì liệu cóGA GB GC GD   0?

Nếu G là trọng tâm của tam giác BC và O là một điểm bất kì thì

3

OA OB OC   OG.

Nếu G là trọng tâm của tứ diện BCD và O là một điểm bất kì thì liệu có

4

OA OB OC OD    OG?

1.3.2 ng tương tự khám phá nội dung học t p

Trong môn toán ở nhà trƣờng phổ thông có nhiều chủ đề có bố cục nội dung nghiên cứu giống nhau. Vì vậy, khi dạy học chủ đề sau có thể tổ chức cho học sinh tự đề ra các vấn đề nghiên cứu nhờ sử dụng tƣơng tự.

Ví dụ 1.8Trƣớc khi học bài Mặt cầu, học sinh đã học xong bài Đƣờng tròn ở lớp 10. Nhƣ thế, giáo viên có thể dùng tƣơng tự để học sinh tự đặt ra vấn đề nghiên cứu.

Giáo viên: Các em đã biết gì về đƣờng tròn?

Học sinh: Định nghĩa, phƣơng trình đƣờng tròn, tiếp tuyến với đƣờng tròn, điều kiện tiếp xúc...

Giáo viên: Tƣơng tự với đƣờng tròn, các em hãy đƣa ra những vấn đề mà chúng ta s nghiên cứu trong bài Mặt cầu.

Học sinh: Định nghĩa, phƣơng trình mặt cầu, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu, điều kiện tiếp xúc...

1.4 Các c ng dụng khác của phép tƣơng tự

1.4.1 ng tương tự trong y dựng ngh a c a tri th c

Trong quá trình dạy học, để giúp học sinh hiểu đƣợc những khái niệm khoa học, giáo viên thƣờng sử dụng tƣơng tự. Chẳng hạn, con mắt giống nhƣ một máy quay phim, trái tim giống nhƣ một máy bơm, dòng điện giống nhƣ một dòng nƣớc. Trong toán học, một vô cùng lớn trừ cho một

số hữu hạn là một vô cùng lớn giống nhƣ ta lấy một số hữu hạn thùng nƣớc biển ra khỏi biển không làm thay đổi mực nƣớc biển; một dãy số có giới hạn là a thì các số hạng có khuynh hƣớng tập trung quanh số a giống nhƣ trên một đoạn đƣờng quy định xe ô tô chỉ đƣợc chạy với vận tốc giới hạn là 35 km/h thì tốc độ của các xe ô tô đến đoạn đƣờng này hầu hết giữ tốc độ 35 km/h; đồ thị của hàm số gián đoạn tại một điểm bị đứt khoảng tại điểm đó giống nhƣ trên một tuyến đƣờng lƣu thông có một cây cầu bị gãy [7].

1.4.2 ng tương tự đ dự đoán và ng n ng a sai l m c a học sinh

Trong học toán, học sinh thƣờng mắc sai lầm khi sử dụng tƣơng tự vì hai đối tƣợng dù tƣơng tự nhƣng vẫn có những dấu hiệu không giống nhau. Chẳng hạn, trong mặt phẳng hai đƣờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với đƣờng thẳng thứ ba thì song song với nhau nhƣng trong hình học không gian, mệnh đề trên không còn đúng nữa. Vì vậy, trong quá trình dạy học toán, giáo viên cần đặc biệt lƣu ý ngăn ngừa những sai lầm của học sinh khi dạy học những chủ đề tƣơng tự nhau trong chƣơng trình [7].

1.5 Hệ thống kiến th c, k n ng v Quan hệ vu ng g c trong hình học kh ng