Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.3. Các cách tiếp cận trong dạy học nội dung XS-TK
1.3.2. Ba cách tiếp cận khái niệm Xác suất ở trường THPT
Khi đưa XS-TK vào trường phổ thông, người ta quan tâm tới ba cách định nghĩa khái niệm xác suất sau đây: định nghĩa cổ điển, định nghĩa thống kê và định nghĩa bằng phương pháp tiên đề.
Theo định nghĩa cổ điển, giả sử một phép thử có một số hữu hạn các kết quả có thể và các kết quả này là đồng khả năng thì xác suất của một biến cố trong phép thử đó là tỉ số giữa các kết quả thuận lợi cho biến cố đó với số tất cả các kết quả có thể của phép thử nói trên.
Theo định nghĩa thống kê, người ta định nghĩa xác suất của một biến cố xảy ra trong một phép thử là tần suất của biến cố này khi phép thử đó được lặp đi lặp lại một số lần rất lớn.
20
Theo định nghĩa bằng phương pháp tiên đề, xác suất là một hàm được xác định trên tập hợp tất cả các biến cố của một phép thử ngẫu nhiên, có giá trị thuộc tập hợp số thực và thỏa mãn một hệ tiên đề.
Theo chương trình toán THPT mới, xác suất được đưa vào ở lớp 11.
GV cần có những hiểu biết nhất định và có ý thức về từng cách tiếp cận nói trên, cụ thể:
- Người dạy phải có một tầm nhìn hoàn chỉnh hơn về khái niệm xác suất, tránh hiểu khái niệm này một cách phiến diện.
- Người hiểu rõ chương trình và SGK đặt vấn đề như thế nào đối với từng cách tiếp cận nói trên.
- Làm như thế nào để HS có thể hiểu biết tốt hơn về khái niệm xác suất theo từng phương diện đã nêu ở trên trong điều kiện chương trình và SGK của nước ta.
1.3.2.1. Về cách tiếp cận cổ điển
Trong chương trình toán THPT, định nghĩa xác suất thường tiếp cận theo cách cổ điển. Hầu hết ví dụ và bài tập trong SGK đều minh họa cho định nghĩa cổ điển và áp dụng của định nghĩa đó. Tuy nhiên, trong cách tiếp cận này, các điều kiện trong giả thiết của định nghĩa xác suất chưa được làm rõ trong chương trình. Có hai điều kiện bao hàm trong giả thiết của định nghĩa cổ điển: tập hợp các kết quả có thể của phép thử (còn gọi là các biến cố sơ cấp) là hữu hạn và tất cả các kết quả đó là đồng khả năng.
Mặc dù điều kiện này có được nêu ở định nghĩa trong SGK nhưng lại không có ví dụ hoặc bài tập nào yêu cầu kiểm tra xem các điều kiện đó có được thỏa mãn hay không. Sách GV tuy có nhắc tới các điều kiện này nhưng ngay trong quy trình ba bước để giải bài toán tính xác suất theo định nghĩa cổ điển được nêu trong sách này cũng không có bước nào nói đến việc phải kiểm tra “tính có hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện của phép thử”, nên
21
chừng đó chưa đủ để HS thấy có trách nhiệm kiểm tra tính chất đó. Điều đó khiến HS hiểu định nghĩa này một cách thiếu chính xác và không đầy đủ.
Ví dụ 1.3: Trước khi nêu định nghĩa cổ điển của xác suất SGK Đại số và Giải tích 11 (nâng cao) có nêu ví dụ sau:
Giả sử T là phép thử “Gieo hai con súc sắc”. Kết quả của T là cặp số (x ; y), trong đó x và y tương ứng là kết quả của việc gieo con súc sắc thứ nhất và thứ hai. Các kết quả có thể xảy ra của T được cho trong bảng sau đây:
y
x 1 2 3 4 5 6
1 (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) 2 (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) 3 ( 3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) 4 (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) 5 (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) 6 (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6) Không gian mẫu của T là ={ (1; 1), (2 ; 1), (3; 1), (4; 1), (5; 1), (6;
1),…, (1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6), (6; 6)}. Phép thử T có 36 kết quả có thể. Nếu con súc sắc được chế tạo cân đối thì các mặt của con súc sắc đều có cùng khả năng xuất hiện. Ta nói 36 kết quả của T là đồng khả năng.
Xét biến cố A: „„Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc là 7‟‟.
Tập con A các kết quả thuận lợi cho A là:
A={(1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1)}.
Khi đó tỉ số 6 1
36 6 được coi là xác suất của A.
22
Đây là ví dụ duy nhất trong SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao có nói đến các kết quả của phép thử T là đồng khả năng và hữu hạn. Các ví dụ sau không đề cập gì tới vấn đề này.
Ví dụ 1.4: Sau khi nêu định nghĩa cổ điển của xác suất thì SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao có nêu ví dụ:
Một vé xổ số có 4 chữ số. Khi quay số, nếu vé bạn mua có số trùng hoàn toàn với kết quả thì bạn trúng giải nhất. Nếu vé bạn mua có đúng 3 chữ số trùng với 3 chữ số của kết quả (kể cả vị trí) thì bạn trúng giải nhì. Bạn An mua một vé xổ số.
a, Tính xác suất để An trúng giải nhất.
b, Tính xác suất để An trúng giải nhì.
SGK đưa ra lời giải như sau:
a, Số kết quả có thể là 104 = 10 000 và chỉ có một kết quả trùng với số vé của An. Do đó, xác suất trúng nhất của An là 1
0,0001
10000 .
b, Giả sử số vé của An là abcd. Các kết quả trùng với 3 chữ số của An là abct (t d) hoặc abtd (t c) hoặc atcd (t b) hoặc tbcd (t a). Vì mỗi trường hợp trên đều có 9 khả năng nên có 9+9+9+9=36 kết quả An trúng giải nhì. Do đó, xác suất trúng giải nhì của An là 36
0,0036
10000 .
1.3.2.2. Về cách tiếp cận thống kê
Định nghĩa thống kê của xác suất chỉ ra điều kiện tồn tại của xác suất và cho phương pháp ước lượng gần đúng nó. Nhưng việc tính (gần đúng) xác suất theo định nghĩa thống kê đòi hỏi phải thực hiện những dãy đủ lớn của các phép thử như nhau. Trong khi các giả thiết trong định nghĩa cổ điển bị vi phạm ta phải sử dụng tới định nghĩa thống kê của xác suất. Trong SGK viết:
„„Người ta chứng minh được rằng khi số lần thử N càng lớn thì tần suất của biến cố càng gần với một số xác định, số đó gọi là xác suất của A‟‟. Đây là
23
một cách phát biểu trực quan về một định luật quan trọng của xác suất có tên là Luật số lớn như sau: „„Gọi fN(A) là tần suất của biến cố A trong N phép thử.
Khi đó ta có: lim N( ) ( )
N f A P A ‟‟.
Tuy nhiên, ta không thể định nghĩa kiểu này cho HS vì HS chưa được học về giới hạn. Định nghĩa này là một trong những công cụ đắc lực để điều tra, nghiên cứu, phát hiện ra các quy luật thống kê trong hiện thực khách quan. „„Đồng thời, cùng với ý nghĩa thống kê của xác suất, nó cho những hiểu biết đầy đủ hơn và cụ thể hơn về xác suất, về khả năng xảy ra của biến cố ngẫu nhiên‟‟[11, tr.59].
Ví dụ 1.5: Dưới đây là bảng 1.5 ghi số liệu của các thí nghiệm được thực hiện từ thế kỉ XVIII nhằm xác định tần suất của biến cố „„xuất hiện mặt sấp‟‟
trong các dãy gồm một số lớn các phép thử „„gieo đồng xu đồng chất và đối xứng‟‟.
Bảng 1.5
Người làm thí nghiệm
Số lần thực hiện thí nghiệm
Số lần xuất hiện mặt sấp
Tần suất của biến cố „„xuất hiện mặt
sấp‟‟
Boffon K.Pirson K.Pirson De Morgan
Dgiewnx Romanovxki
Pheller
4040 24000 12000 4092 20480 80640 10000
2048 12012
6019 2048 10379 39699 4979
0,5070 0,5005 0,5016 0,5005 0,5068 0,4923 0,4979
Theo số liệu này chúng ta thấy các tần suất của biến cố “xuất hiện mặt sấp‟‟ trong các dãy rất nhiều phép thử “gieo đồng xu đồng chất và đối xứng‟‟
24
là có tính ổn định, khi biến thiên rất ít xung quanh hằng số 1
2 với độ lệch không đáng kể (nhỏ hơn 0,01).
“Để tăng cường khả năng thực hành ứng dụng cho HS cần thiết phải có sự trình bày kết hợp được cả hai định nghĩa: định nghĩa cổ điển và định nghĩa thống kê của xác suất. Theo quan điểm của toán học lí thuyết, cả hai định nghĩa này đều không phải là những định nghĩa hình thức, chặt chẽ; chúng là những định nghĩa chấp nhận được trong Toán học ứng dụng‟‟ [11, tr.59].
Cách tiếp cận thống kê của khái niệm xác suất chỉ giữ một vị trí rất hạn chế trong chương trình, SGK chỉ nêu “định nghĩa thống kê xác suất của biến cố” mà trong các ví dụ tính xác suất chỉ có những áp dụng của định nghĩa cổ điển, không có áp dụng của định nghĩa thống kê. Tuy nhiên, định nghĩa thống kê của xác suất lại có nhiều ứng dụng thực tế hơn so với định nghĩa cổ điển.
Định nghĩa này có thể được sử dụng ngay cả trong trường hợp định nghĩa cổ điển không áp dụng được, đó là khi một phép thử có vô số kết quả hoặc là khi điều kiện về các kết quả đồng khả năng không được thỏa mãn.
Do đó, việc nêu rõ ý nghĩa thống kê của xác suất không chỉ cho HS nhận thức được đầy đủ hơn về xác suất (do đó có khả năng tốt hơn trong việc sử dụng các suy luận hợp lí và các suy luận diễn dịch để học tốt về các biến cố ngẫu nhiên), mà còn góp phần hình thành cho HS quan niệm về thống kê dạng đơn giản và sự tồn tại của nó trong hiện thực khách quan. Thật vậy,
“Nếu chỉ đứng trong khuôn khổ của khái niệm xác suất và các công thức cộng, công thức nhân thì không thể hình thành được cho HS quan niệm về quy luật thống kê. Mặc dù các quy luật này tồn tại ngay cạnh các em, trong đời sống hàng ngày và có mặt ngay trong chính định nghĩa thống kê của xác suất‟‟ [11, tr.60].
25
Tuy nhiên, việc nêu rõ ý nghĩa thống kê của xác suất cho HS có được thực hiện hay không? Thật khó khăn nếu như bảo HS tìm kiếm quy luật thống kê trong thực tiễn với những kiến thức như khái niệm xác suất, công thức cộng, công thức nhân xác suất; vì những kiến thức này không trực tiếp thấy được những chỉ dẫn cho việc tìm kiếm này; và vì từ trước tới nay HS chưa được tìm hiểu gì về quy luật thống kê. Do đó, cần phải thực hiện liên hệ khái niệm xác suất với quy luật thống kê (dạng đơn giản nhưng lại có nhiều ứng dụng trong thực tiễn) bằng cách vạch rõ: Mệnh đề “xác suất P(A)=p‟‟ (1) phán ánh quy luật thống kê sau: “Nếu gọi xi là số lần xảy ra biến cố ở lần thứ i trong k lần đủ lớn thực hiện n phép thử T (n là số tự nhiên tùy ý cho trước), thì mỗi xi riêng lẻ là một giá trị ngẫu nhiên mà có, nhưng trong hầu hết các đợt thực hiện k lần đủ lớn n phép thử T, trung bình cộng 1 1 2
(x x ... xk)
k là
luôn bằng hằng số n.p khi bỏ qua sai số không đáng kể (2). Khi đó, ta gọi quy luật (2) là ý nghĩa thống kê của mệnh đề (1), và gọi kết quả: Mệnh đề (1) phản ánh quy luật thống kê (2)‟‟ là ý nghĩa thống kê của xác suất.
Quá trình dạy học không thể diễn giải một cách trừu tượng như vậy cho HS, mà khi thực hiện hình thành cho HS kiến thức về ý nghĩa thống kê của xác suất cần đi theo con đường quy nạp, tức là: Trước hết cho HS làm quen với ý nghĩa thống kê của xác suất trong các bài toán cụ thể khác nhau, có nội dung thực tiễn.
Ví dụ 1.6: GV nêu câu hỏi: Em hiểu thế nào về câu “xác suất để bạn H bắn trúng bia (khi bạn đó bắn vào bia một viên đạn) bằng 0,8‟‟. Có HS giải thích rằng: cứ 10 lần cho bạn H bắn vào bia một viên đạn trong những điều kiện cơ bản không đổi của trường bắn thì có đúng 8 lần bạn H bắn trúng bia‟‟.
Thầy giáo cho biết rằng sự giải thích của HS như vậy là sai. Để giải thích cho HS hiểu thì phải nhờ sử dụng những mô tả trực quan, từ đó dẫn các em đến được kết quả dưới đây:
26
Mệnh đề: “Xác suất để bạn H trúng bia (khi bạn đó bắn vào bia một viên đạn) bằng 0,8‟‟ phản ánh quy luật: “Nếu gọi xi là số lần xảy ra biến cố B:
“Bạn H bắn trúng bia‟‟ ở lần thứ i trong k lần đủ lớn thực hiện 10 phép thử g:
“Bạn H bắn vào bia một viên đạn trong những điều kiện cơ bản không đổi của trường bắn‟‟, thì mỗi xi riêng lẻ là một giá trị ngẫu nhiên mà có, nhưng trong hầu hết các đợt thực hiện k lần đủ lớn, trung bình cộng 1 1 2
(x x ... xk)
k là
luôn luôn bằng hằng số 10.0,8=8, khi bỏ qua sai số không đáng kể.
Trong ví dụ trên nếu thay số 10 bởi số tự nhiên n bất kì, thì những kết quả thu được vẫn đúng và là những kết quả tương tự với những kết quả trên.
Ta có thể củng cố cho HS về ý nghĩa thống kê của xác suất bằng ví dụ sau:
Ví dụ 1.7: GV chuẩn bị 5 con súc sắc cân đối. Gọi 5 HS và yêu cầu mỗi em gieo một con súc sắc 10 lần và ghi lại xem mặt k chấm xuất hiện trong 10 lần gieo đó (k=1, 2, 3, 4, 5, 6). Cộng kết quả 5 em lại ghi kết quả tần số xuất hiện mặt k chấm trong 50 lần gieo 1 con xúc xắc vào bảng 1.6 như sau:
Bảng 1.6
Số chấm xuất hiện Tần số Tần suất 1
2 3 4 5 6
Từ bảng yêu cầu HS nêu rõ ý nghĩa thống kê của kết quả thu được.
Những điều nói trên cho thấy: “việc nêu rõ ý nghĩa thống kê của xác suất đã tính được đưa vào nội dung dạy học giai đoạn phân tích và biểu thị thực tế kết quả toán học đã thu được” [11, tr. 64]. Điều này góp phần quan trọng trong việc hình thành cho HS kĩ năng giải các bài toán có nội dung thực tiễn.
27
Bên cạnh đó, SGK vẫn tạo được nhiều cơ hội có thể liên hệ với tiếp cận thống kê của khái niệm xác suất:
- Nêu rõ hạn chế của định nghĩa cổ điển của xác suất.
- Đưa ra định nghĩa thống kê của xác suất. Nêu rõ định nghĩa thống kê khắc phục được hạn chế định nghĩa cổ điển.
- Thông báo nội dung luật số lớn dưới một dạng đơn giản: khi số lần thử N càng lớn thì tần suất của biến cố A càng gần với một số xác định gọi là xác suất của A theo nghĩa thống kê, tần suất là một giá trị gần đúng của xác suất.
Ví dụ 1.8: SGK Đại số và Giải tích 11 (nâng cao) có các ví dụ và hoạt động sau minh họa cho định nghĩa thống kê của xác suất:
a, Ví dụ 7 (tr.74): Nếu ta gieo một đồng xu cân đối thì xác suất xuất hiện mặt ngửa là 0,5. Buýp-phông (Buffon), nhà toán học người Pháp thế kỉ XVIII, đã thí nghiệm việc gieo đồng xu nhiều lần và thu được kết quả sau:
Số lần gieo Tần số xuất hiện mặt ngửa
Tần suất xuất hiện mặt ngửa
4 040 2 048 0,5070
12 000 6 019 0,5016
24 000 12 012 0,5005
b, Ví dụ 8 (tr.74): Một công ty bảo hiểm nhân thọ đã thống kê được trong 100 000 đàn ông 50 tuổi có 568 người chết trước khi bước sang tuổi 51 và trong 100 000 phụ nữ 50 tuổi có 284 người chết trước khi bước sang tuổi 51. Khi đó, xác suất thực nghiệm để một người đàn ông 50 tuổi chết trước khi bước sang tuổi 51 là 568
0,00568
100000 và xác suất thực nghiệm để một người phụ nữ 50 tuổi chết trước khi bước sang tuổi 51 là 284
0,00284
100000 .
c, Hoạt động 3 (tr.75): Gieo con súc sắc 50 lần. Ghi lại kết quả của việc gieo này và tính tần suất xuất hiện mỗi mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 chấm.
28
Số chấm xuất hiện Tần số Tần suất
1 2 3 4 5 6
Ví dụ 1.9: SGK Đại số và Giải tích 11 (nâng cao) có các ví dụ, bài tập và hoạt động sau xuất phát từ dữ liệu là những xác suất có được dựa vào định nghĩa thống kê:
i, Bài tập 40 (tr. 85): Trong một trò chơi điện tử, xác suất để An thắng trong một trận là 0,4 (không có hòa). Hỏi An phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95.
ii, Ví dụ 2 (tr. 87): Số vụ vi phạm luật giao thông trên đoạn đường A vào tối thứ 7 hàng tuần là một biến ngẫu nhiên rời rạc X. Giả sử X có bảng phân bố xác suất như sau:
X 0 1 2 3 4 6
P 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1
Hoạt động 1 (tr. 87): Tính xác suất để tối thứ 7 trên đoạn đường A:
a, Có hai vụ vi phạm luật giao thông;
b, Có nhiều hơn ba vụ vi phạm luật giao thông.
iii, Bài tập 45 (tr. 90): Số ca cấp cứu ở một bệnh viện vào tối thứ 7 là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:
X 0 1 2 3 4 5
P 0,15 0,2 0,3 0,2 0,1 0,05
29
Biết rằng, nếu có hơn 2 ca cấp cứu thì phải tăng cường thêm bác sĩ trực.
a, Tính xác suất để phải tăng cường thêm bác sĩ trực vào tối thứ bảy.
b, Tính xác suất để xảy ra ít nhất một ca cấp cứu vào tối thứ bảy.
iv, Bài tập 46 (tr.90): Số cuộc điện thoại gọi đến một tổng đài trong khoảng thời gian một phút vào buổi trưa (từ 12 giờ tới 13 giờ) là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:
X 0 1 2 3 4 5
P 0,3 0,2 0,15 0,15 0,1 0,1
Tính xác suất để trong khoảng thời gian từ 12 giờ 30 phút đến 12 giờ 31 phút có nhiều hơn 2 cuộc gọi.
Để giúp HS dần dần am hiểu cách tiếp cận thống kê của xác suất GV có thể:
- Nhấn mạnh hạn chế của định nghĩa cổ điển là không áp dụng được cho trường hợp phép thử có vô số kết quả hoặc các kết quả là không đồng khả năng, từ đó HS thấy rõ sự cần thiết đưa vào một định nghĩa khác khắc phục được hạn chế này.
- Nhấn mạnh nội dung của luật số lớn dưới dạng đơn giản như SGK đã nêu, từ đó HS biết cách tìm những giá trị gần đúng của xác suất bằng cách tìm tần suất của biến cố khi phép thử được lặp lại một số lớn lần.
- Khi trình bày ví dụ 7 (tr.74) và hoạt động 3 (tr.75) ở SGK thì không dừng ở việc minh họa cho sự phù hợp với thực tế của định nghĩa cổ điển của xác suất mà ta còn có thể yêu cầu HS nêu ra nhận xét về tần số, tần suất xuất hiện của kết quả, hay ở hoạt động 3 “yêu cầu gieo súc sắc nhiều lần hơn nữa” để có thể tiếp cận khái niệm xác suất theo con đường thực nghiệm” [12, tr.37-39]. Nhờ vậy HS thấy rằng việc gieo đồng xu rất nhiều lần và tính tần suất xuất hiện mặt ngửa gieo con súc sắc rất nhiều lần và tính tần suất xuất hiện mỗi mặt còn là một cách để tính gần đúng xác suất. Cần chỉ rõ cho HS thấy cách làm này đặc biệt có