Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG
2.1. Hình thành kỹ năng nhận diện các vấn đề toán học trong thực tiễn
Để giúp HS có thể mô tả được các số liệu thực tế bằng cách sử dụng ngôn ngữ toán học thì ta cần chú trọng cho HS cả về ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học trong dạy học toán theo tinh thần chuẩn bị cho việc mô tả tình huống thực tiễn một cách chuẩn xác, đồng thời rèn luyện cho HS quen dần với việc tự đặt ra các bài toán để giải quyết một số tình huống đơn giản trong thực tiễn.
Cùng với hoạt động, trước hết là hoạt động lao động sản xuất, ngôn ngữ là yếu tố quyết định tách hẳn con người ra khỏi thế giới động vật. Quá trình hình thành và phát triển của xã hội loài người diễn ra đồng thời với việc hình thành và phát triển ngôn ngữ tự nhiên từng vùng, từng lãnh thổ. Đối với con người, ngôn ngữ là phương tiện để giao tiếp, là biểu hiện của tư duy. Thông qua giao tiếp để truyền đạt và lĩnh hội thông tin, con người bộc lộ trình độ nhận thức, vốn văn hóa và tính cách của mình. Trong quá trình hình thành và phát triển nhân cách của mỗi cá nhân có sự sàng lọc về ngôn ngữ, làm cho nó ngày càng chuẩn xác và trong sáng hơn. Đặc biệt, khi các ngành khoa học hình thành và phát triển, một cách rất tự nhiên xuất hiện kèm theo: ngôn ngữ toán học, ngôn ngữ văn học, ngôn ngữ hóa học,… con người ngày càng trau dồi ngôn ngữ của mình (dẫn theo [2]).
38
Ngôn ngữ toán học theo nghĩa hẹp là ngôn ngữ được xây dựng trên hệ thống các kí hiệu toán học. Ngôn ngữ toán học theo nghĩa rộng bao hàm ngôn ngữ toán học theo nghĩa hẹp và các thuật ngữ toán học, hình vẽ, mô hình, biểu đồ, đồ thị … có tính chất quy ước nhằm diễn đạt các nội dung toán học được chính xác, lôgíc và ngắn gọn. Ngôn ngữ toán học có hai phương diện: ngữ nghĩa và cú pháp. Theo các tác giả [15], trong toán học, người ta phân biệt cái kí hiệu và cái được kí hiệu, cái biểu diễn và cái được biểu diễn. Nếu xem xét phương diện những cái kí hiệu, những cái biểu diễn, đi vào cấu trúc hình thức để xác định và biến đổi chúng thì đó là phương diện cú pháp. Nếu xem xét phương diện những cái được kí hiệu, những cái được biểu diễn, tức là đi vào nội dung, nghĩa của những cái kí hiệu, nghĩa của những cái biểu diễn thì đó là phương diện ngữ nghĩa [15, tr.80]. Walsch.W cho rằng, phương diện ngữ nghĩa của ngôn ngữ toán học là xem xét nội dung của các mệnh đề toán học;
phương diện cú pháp của ngôn ngữ toán học là xem xét cấu trúc hình thức và sự biến đổi hình thức của những biểu thức toán học, sự làm việc theo những quy tắc xác định và nói riêng là sự làm việc theo thuật giải (dẫn theo [15, tr.80] ). Có thể nói, ngữ nghĩa và cú pháp của ngôn ngữ toán học có thể xem là các mặt nội dung và hình thức của phạm trù này. Ngôn ngữ toán học là kết quả của sự sáng tạo con người để biểu đạt các sự kiện toán học, là sự khắc phục ngôn ngữ tự nhiên theo các khuynh hướng sau: 1) Khắc phục sự cồng kềnh của ngôn ngữ tự nhiên; 2) Mở rộng khả năng biểu đạt; 3) Loại bỏ tính đa nghĩa của ngôn ngữ tự nhiên.
Trong dạy học toán, tác giả Nguyễn Bá Kim cho rằng: “Những hoạt động ngôn ngữ được HS thực hiện khi họ được yêu cầu phát biểu, giải thích một định nghĩa, một mệnh đề nào đó, đặc biệt là bằng lời lẽ của mình, hoặc biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác, chẳng hạn từ dạng kí hiệu toán học sang dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc ngược lại” [16, tr.100]. Thông qua các dạng hoạt động này, GV rèn luyện cho HS cả về ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Trong việc
39
rèn luyện ngôn ngữ toán học cho HS cần chú trọng cho HS cả hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp nhằm giúp người học nắm vững tri thức toán học, góp phần vào việc mô tả tình huống thực tiễn một cách chuẩn xác.
Thực tiễn dạy học Toán cho thấy rằng: nhiều HS không có “vốn” về ngôn ngữ toán học hay nói cụ thể hơn là trình độ toán học còn thấp. Điều đó thể hiện qua việc không nắm chắc cả về phương diện cú pháp và phương diện ngữ nghĩa của các thuật ngữ, kí hiệu, công thức toán học. Vấn đề này liên quan đến cả một quá trình dạy học Toán đã được nhiều nhà khoa học giáo dục bàn luận tới. Theo [15] thì trong dạy học toán cần nhấn mạnh hơn mặt ngữ nghĩa. Tác giả A. A. Soliar cho rằng “mặt ngữ nghĩa phải trội hơn trong tất cả các giai đoạn của quá trình giảng dạy, mặt cú pháp nên áp dụng ở chỗ mà ở đó phải cần nắm vững các angôrit xác định” (dẫn theo [25]). Nói chung, đối với HS lớn tuổi thì cần chú trọng nhiều hơn mặt cú pháp nhưng không bao giờ được sao nhãng mặt ngữ nghĩa. Trong các công trình của mình [25], [26], tác giả Nguyễn Văn Thuận đã chỉ ra các sai lầm có liên quan đến vấn đề ngôn ngữ, cụ thể là những sai lầm của HS có liên quan đến ngữ nghĩa và cú pháp.
Điều này ảnh hưởng rất lớn đến việc sử dụng ngôn ngữ toán học trong việc mô tả các tình huống thực tiễn. Ta có thể lấy ra ví dụ:
Ví dụ 2.1: HS diễn đạt thuật ngữ “biến cố ngẫu nhiên” trong một số tình huống cụ thể không đúng về mặt cú pháp. Chẳng hạn, đối với bài toán sau:
Viết ngẫu nhiên một số có 4 chữ số. Tính xác suất để số viết ra có 4 chữ số đôi một khác nhau.
Ở đây lẽ ra phải đặt biến cố A: “Viết ra được số có 4 chữ số khác nhau”
để tính xác suất của biến cố này thì không ít HS lại đặt A: “Xác suất viết ra được số có 4 chữ số khác nhau bằng bao nhiêu?” Rõ ràng sự diễn tả biến cố ngẫu nhiên của người học là không đúng về mặt cú pháp, vì rằng biến cố ngẫu nhiên là một sự kiện được diễn tả bởi một mệnh đề, đó là một câu khẳng định.
40
Trong dạy học toán, cố gắng làm cho HS thấy được giữa ngôn ngữ tự nhiên, ngôn ngữ các khoa học khác và ngôn ngữ toán học còn có khoảng cách; từ đó, giúp họ thận trọng khi sử dụng ngôn ngữ toán học trong việc mô tả các tình huống thực tiễn.
Đặc điểm của ngôn ngữ toán học là biểu đạt ngắn gọn, lôgíc và không mang sắc thái biểu cảm. Trong khi đó diễn đạt của ngôn ngữ tự nhiên nhiều khi mang tính đa nghĩa, ước lệ, mang màu sắc biểu cảm và chấp nhận những suy luận không lôgíc. Điều này đã gây không ít khó khăn cho việc mô tả tình huống thực tiễn bằng ngôn ngữ toán học, dựa trên các tư liệu có sự tham gia của ngôn ngữ tự nhiên. Một dẫn chứng cho kết luận vừa đưa ra ở trên là HS rất ngại giải những bài toán có nội dung thực tiễn, mặc dù chúng đã được các nhà khoa học giáo dục chuẩn hóa về mặt ngôn ngữ. Trong dạy học toán, rất cần thiết phải làm cho HS hiểu được cách diễn đạt của ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học nhiều khi không là đồng nhất. Trên cơ sở đó, người học nắm được bản chất vấn đề để mô tả tình huống thực tiễn một cách chuẩn xác bằng ngôn ngữ toán học. Để thực hiện được điều đó, trong dạy học khi dùng các thuật ngữ toán học, GV phải giải thích ngữ nghĩa của thuật ngữ ấy cho HS, đưa ra các ví dụ về tính lôgíc của các lập luận vẫn thường xảy ra trong cuộc sống đời thường, liên hệ với những suy luận tương ứng trong toán học.
Ví dụ 2.2: Một người bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư vào 4 chiếc phong bì đã ghi rõ địa chỉ. Hỏi có bao nhiêu cách bỏ thư như vậy? Trong ví dụ này cần chỉ rõ cho HS thấy được nếu ta cố định 4 bì thư thì việc bỏ bốn lá thư vào 4 bì thư là một hoán vị của 4 bức thư đó.
Không chỉ đưa ra các ví dụ về các tình huống trong cuộc sống minh họa cho những suy luận của ngôn ngữ tự nhiên không hợp lôgíc mà còn tận dụng một số cơ hội trong dạy học để yêu cầu HS giải thích những vấn đề có liên quan đến các lập luận đó.
41
Ví dụ 2.3: Hai người cùng chơi một trò chơi như sau: Gieo hai đồng xu nguyên chất, cân đối trên mặt phẳng nằm ngang. Quy ước nếu hai đồng xu xuất hiện mặt sấp thì người thứ nhất thắng, nếu hai đồng xu xuất hiện mặt ngửa thì người thứ hai thắng. Tính xác suất thắng cuộc của mỗi người chơi.
Có HS đã giải bài toán như sau:
Đặt S1: “Đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt sấp”; S2: “đồng xu thứ hai xuất hiện mặt sấp”. Ta có:
1 2 1 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
2 2 4 P S S P S P S
1 2 1 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
2 2 4 P S S P S P S
(Do S1 , S2 độc lập; S1, S2 độc lập và (S )1 ( )1 1 P P S 2) Bởi vậy xác suất thắng cuộc của mỗi người là 1
4.
Hãy cho HS kiểm tra lại lời giải và đặt vấn đề: Trong lời giải không có các biến cố A: “Người thứ nhất thắng cuộc” và B: “người thứ hai thắng cuộc”
làm sao có thể kết luận như vậy? Mục đích của câu hỏi này buộc người học phải vận dụng những suy luận không lôgíc trong ngôn ngữ tự nhiên để giải thích: Các cặp biến cố S1 S2 và A, S1 S2 và B cùng mô tả một sự kiện (các biến cố tương thích với nhau).
Bên cạnh đó, trong các giờ giảng bài mới GV có thể linh hoạt sử dụng nhiều phương pháp khác nhau để kết hợp với kiến thức thực tiễn để giảng dạy. Chẳng hạn, có thể nêu hiện tượng thực tiễn xung quanh đời sống hằng ngày thay cho lời giới thiệu bài mới. Vì phần mở đầu rất quan trọng, nếu ta biết đưa ra một tình huống thực tiễn, một tình huống giả định yêu cầu HS cùng tìm hiểu, cách nêu vấn đề như vậy sẽ tạo cho HS cố gắng sử dụng các kiến thức được học để giải thích hoặc sẽ suy nghĩ tại sao lại như vậy,… Đây chính là bước tiền đề thuận lợi khi vào học bài mới, tạo hứng cho HS và bước đầu giúp các em làm quen với việc thu nhận thông tin từ tình huống thực tiễn.
42
Ví dụ 2.4: (Tổ chức cho HS đi tham quan): GV tổ chức cho HS đi tham quan tại một khu di tích lịch sử vào một ngày hè. GV yêu cầu mỗi HS mang theo một cốc nước đá với những vật liệu, kích thước khác nhau.
Đến giờ nghỉ giải lao, GV yêu cầu HS thảo luận về việc sử dụng vật liệu nào thì giữ nhiệt tốt hơn (cốc nước đá lạnh lâu hơn). Trong quá trình thảo luận, GV sẽ hướng dẫn HS xét xem nhưng yếu tố nào ảnh hưởng đến sự tăng hay giảm nhiệt độ của cốc nước đá. Đây chính là phần mở đầu cho bài học để GV giới thiệu về khái niệm biến (vật liệu, kích thước, nhiệt độ, độ ẩm,…) trong XS-TK.
Ví dụ 2.5: Khi dạy về “Khái niệm xác suất” GV có thể đưa ra ví dụ:
Trong đời sống hàng ngày, có thể gặp những khẳng định như: “khả năng tôi thi đỗ đại học là 40%” hoặc “cơ hội chiến thắng của hai đội là đều nhau” hoặc
“đội bóng đá Việt Nam ít có cơ hội chiến thắng đội bóng Brazil”,… Trong mỗi trường hợp ta đều đề cập đến một biến cố mà ta không chắc chắn có thể xảy ra hay không, nhưng bằng những thông tin trong quá khứ hay những hiểu biết về phép thử mà ta có mức độ tin tưởng nào đó vào khả năng đúng đắn của các giả định. Có những biến cố thường xuyên xảy ra, có những biến cố ít xảy ra,… Như vậy, vấn đề đặt ra là phải đo lường mức độ xảy ra của các biến cố.
“Con số đo lường mức độ xảy ra của các biến cố gọi là xác suất của nó”.
Ví dụ 2.6: Chuẩn bị bước sang bài “Các số đặc trưng của mẫu số liệu”, GV có thể hướng dẫn HS tham gia các hoạt động tìm hiểu thực tế dựa trên sở thích của từng nhóm HS. Các hoạt động có thể là: thu thập số liệu về doanh thu tại các nhà hàng ăn uống, giải khát, giày dép, quần áo, đồ chơi, quán internet,… Khi HS học bài “Các số đặc trưng của mẫu số liệu” thì HS có thể dựa trên các số liệu đó để thảo luận, phân tích rồi từ đó đề xuất hướng phát triển danh mục và số lượng các sản phẩm sao cho doanh thu của cửa hàng đạt giá trị cao nhất. Ta lấy ví dụ một em HS thu thập được bảng dữ liệu sau:
43
Một cửa hàng bán quần áo thống kê số áo sơ mi nam đã bán ra trong một quý theo các cỡ khác nhau và có được bảng tần số sau:
Cỡ áo (x) 36 37 38 39 40 41 42
Số áo bán được (n) 10 42 96 155 110 35 6
GV phân tích cho HS thấy được: Điều mà cửa hàng quan tâm đến là cỡ áo mà bán được nhiều nhất. Qua bảng này HS sẽ thấy được cỡ áo cửa hàng bán được nhiều nhất là cỡ 39 (tức là giá trị 39 có tần số lớn nhất, giá trị 39 được gọi là mốt của dãy số liệu trên). Như vậy, nghĩa của khái niệm tần số và mốt đã rõ, nó giúp cho người kinh doanh điều chỉnh mặt hàng kinh doanh của mình để bán được nhiều hàng nhất. GV đặt ra câu hỏi: Nếu HS là người chủ cửa hàng thì có thể đề xuất hướng phát triển danh mục và số lượng sản phẩm như thế nào để cửa hàng có doanh thu đạt giá trị cao?
Trong quá trình giảng dạy, ta có thể lựa chọn và phân tích, giảng giải những bài tập điển hình có nội dung thực tiễn góp phần hiểu sâu thêm bản chất của lí thuyết XS-TK.
Ví dụ 2.7: (Phân tích bản tin dự báo thời tiết): GV có ý định tổ chức cho HS của lớp đi pícníc vào ngày mai. Tuy nhiên, bản tin thời tiết ngày hôm nay thông báo rằng khả năng xảy ra mưa vào ngày mai là 70%. GV hướng dẫn HS phân tích về khả năng có thể xảy ra mưa hay không?
Dự báo thời tiết được đưa ra dựa trên tính toán của những kĩ thuật viên của Trung tâm dự báo khí tượng thủy văn quốc gia khi họ quan sát xu hướng di chuyển của các đám mây của những ngày trước đó với cùng điều kiện nhiệt độ, áp suất, độ ẩm,… và xác định rằng 70% thời tiết của ngày mai giống những ngày trước đó và trời sẽ mưa. Như vậy, GV hướng dẫn HS tìm hiểu tại sao Trung tâm dự báo thời tiết lại có thể đưa ra thông báo như trên. Thật vậy, theo định nghĩa xác suất cổ điển, xác suất là tỉ số của các biến cố có lợi trên tổng số biến cố của không gian mẫu. Nếu ta xét cơ hội trời sẽ mưa, xác suất sẽ là số ngày mưa chia cho tổng số ngày trong cơ sở dữ liệu. Nếu chuyên gia khí
44
tượng học có dữ liệu của 100 ngày với điều kiện thời tiết tương tự (không gian mẫu) và 70 ngày sẽ mưa (số biến cố có lợi), xác suất mưa sẽ là 70/100 hay 70%. Vì xác suất 50% có nghĩa là một sự kiện có thể xảy ra hay không, xác suất lớn hơn 50% có nghĩa là trời có khả năng mưa nhiều hơn. Nhưng GV cần nhấn mạnh cho HS thấy rằng vẫn còn 30% khả năng có thể trời không mưa.
Ví Dụ 2.8: Sau khi học xong bài biến ngẫu nhiên rời rạc, GV đưa ra bài toán: “Người ta phát hành 500 vé số với một giải nhất trị giá 2 000 000đ, ba giải nhì mỗi giải trị giá 1 000 000đ và 5 giải ba, mỗi giải trị giá 500 000đ. Giá bán mỗi vé là 20 000đ. Một người mua một vé. Gọi X là số tiền người đó nhận sau khi đã trả tiền vé.
1, Lập bảng phân phối xác suất cho mỗi biến ngẫu nhiên X.
2, Tính E(X) và nêu ý nghĩa.
GV hướng dẫn HS giải bài tập, lời giải mong muốn:
1, Nếu người mua vé trúng giải nhất thì: X= 2000000 – 20000 = 1980000.
Ta có P(X=1980000)= 1 500.
Nếu người mua vé trúng giải nhì thì X= 1000000 – 20000 = 980000.
Ta có P(X=980000)= 3 500.
Nếu người mua vé trúng giải ba thì: X= 500000 – 20000 = 480000.
Ta có P(X=480000)= 5 500.
Nếu người mua vé không trúng giải thì: X= – 20000.
Ta có P(X=-20000)=491 500.
Vậy ta có bảng phân bố xác suất như sau:
45
X 1980000 980000 480000 -20000
P 1
500
3 500
5 500
491 500 Ta có ( )E X p xi i 5000.
Ý nghĩa: Trung bình mỗi lần chơi người mua vé mất 5000đ.
Sau khi HS làm xong bài toán và hiểu ý nghĩa của kì vọng thì GV có thể gợi ý cho HS tổ chức các trò chơi như sau: Giả sử cô có vòng quay số (như hình vẽ bên), cô bán mỗi vé là 2000đ, một vé sẽ được quay 2 lần. Nếu trong cả 2 lần quay đều vào các ô chẵn thì em được 20000đ. Nếu lần 1 em quay được số chẵn và lần 2 được số lẻ thì em được 10000đ. Theo các em cô tổ chức trò chơi này có bị lỗ hay không? Nếu các em tham gia chơi thì khả năng được tiền hay mất tiền nhiều hơn?
Câu hỏi này giúp các em HS liên tưởng tới bài trước, nếu các em cũng gọi X là số tiền các em nhận sau khi đã trả tiền vé. Khi đó dễ dàng lập được bảng phân bố xác suất và tính E(X). GV cần phân tích cho HS thấy được nếu E(X) > 0 thì trung bình mỗi lần tham gia HS đó sẽ được tiền, hay nói cách khác là GV sẽ bị lỗ.
GV có thể hỏi HS: muốn không bị lỗ thì ta phải điều chỉnh điều gì? HS suy nghĩ và có thể trả lời là giảm tiền thưởng hoặc tăng thêm tiền vé.
Ví dụ 2.9: Trong hội trại sắp tới, lớp 11A dự định tổ chức một bánh xe số với các số từ 1 đến 10 (hình 2.1). Bạn Lâm đưa ra ý kiến như sau: Mỗi lần chơi, người chơi phải trả 10.000đ, sau đó được chọn hai trong 10 số và quay bánh xe. Nếu bánh xe dừng lại ở một trong hai số đã chọn thì người chơi sẽ nhận được 60.000đ. Em có đồng ý với ý kiến của bạn Lâm hay không? Tại sao?