Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG
2.3. Phát triển kĩ năng mô hình hóa các bài toán XS-TK
2.3.3. Mô hình hóa các bài toán XS-TK
Các tri thức về xác suất và thống kê toán là những tri thức có liên hệ trực tiếp với thực tiễn, do đó dạy học những vấn đề này có điều kiện đưa toán học xâm nhập sâu rộng vào đời sống con người. Quá trình vận dụng các phương pháp xác suất và thống kê toán học vào trong thực tiễn cũng bao hàm những đặc trưng của các phương pháp vận dụng toán học vào giải các bài toán thực tiễn.
Hiểu theo một nghĩa nào đó, các bảng số liệu, biểu đồ, đồ thị, đa giác tần số (tần suất) ghép lớp trong thống kê và khái niệm xác suất là các mô hình toán học phản ánh một sự vật, hiện tượng nào đó.
Do đó, trong dạy học những kiến thức về thống kê, xác suất nếu biết khai thác hợp lí thì có thể rèn luyện cho HS kĩ năng mô hình hóa các bài toán XS-
63
TK đồng thời bồi dưỡng cho người học các thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn.
Đối với dạy học thống kê: Dạy học Thống kê phải làm cho HS tự mình có thể giải quyết được bài toán thống kê trong cuộc sống. Điều đó có được khi họ nắm vững và thực hiện thành thạo toàn bộ quy trình vận dụng phương pháp thống kê vào thực tiễn:
Thu thập dữ liệu Tổ chức dữ liệu Phân tích và giải thích Biểu diễn.
Đầu tiên có thể xem quá trình thu thập dữ liệu là quá trình thu nhận thông tin từ tình huống thực tiễn. Quá trình này trong chương trình dạy học hiện hành bị cắt giảm. Chúng tôi cho rằng, phải làm cho HS ý thức được lấy thông tin từ tập mẫu là thu nhận thông tin từ thực tiễn. Thông tin đó phải trung thực và phải đại diện cho lớp đối tượng mà mình quan tâm nghiên cứu.
Việc lấy mẫu số liệu, nhiều khi cũng liên quan đến công tác điều tra, do đó các em phải có kỹ năng đặt ra các câu hỏi để lấy được thông tin, không tỏ ra thiên hướng, thiên vị. Theo [29], giáo dục toán học phổ thông ở Mỹ rất chú ý đến công đoạn này. Thông qua công đoạn này người học được rèn luyện kỹ năng quan sát, biết lọc ra những thông tin phản ánh mối quan hệ bản chất của sự vật hiện tượng.Trong điều kiện dạy học hiện tại ở nước ta, có thể thực hiện một số hoạt động cụ thể sau: Cho HS thu thập số liệu hay tổ chức một hoạt động nhằm xác định mẫu số liệu về một dấu hiệu nào đó. Vấn đề này, có thể xem là công tác chuẩn bị cho dạy học trên lớp. Chẳng hạn, có thể yêu cầu từng tổ (nhóm) HS điều tra: mức thu nhập của từng gia đình trong một tháng ở một khu phố; đo chiều cao của các HS trong một lớp học;… Chú ý nhắc nhở người học, trong khi lấy mẫu số liệu cần đảm bảo tính ngẫu nhiên và mang tính đại diện.
Thứ hai, việc tổ chức số liệu được thể hiện qua lập bảng phân bố tần số (tần suất) ghép lớp, cũng có thể xem các mô hình toán của tập mẫu. Nếu như mẫu có thể đại diện cho lớp đối tượng nghiên cứu thì nó có thể xem là mô hình cho vấn đề thực tế đang quan tâm. Do đó, rèn luyện cho HS kĩ năng lập
64
luận bảng phân bố tần số (tần suất) ghép lớp là rèn luyện cho người học kĩ năng xây dựng mô hình toán cho tình huống thực tiễn. Ở đây, một thao tác cần được bổ sung là kĩ năng phân lớp mẫu số liệu, trong dự thảo chương trình 2009 – 2020 đã đề cập đến vấn đề này (dẫn theo [16]).
Thứ ba, việc nghiên cứu trên các bảng đã trình bày ở trên chính là khai thác chức năng của mô hình, thông qua việc tính các số đặc trưng; từ đó giải thích, đánh giá lại tình huống thực tiễn. Cần cho HS biết ý nghĩa của các số đặc trưng và dùng các số đặc trưng để đánh giá các khía cạnh của sự vật, hiện tượng. Thông thường, người học biết thao tác tính các số đặc trưng; tuy nhiên, không nắm được ý nghĩa của chúng và sử dụng chúng trong ngữ cảnh nào cho phù hợp. Chẳng hạn, đối với mẫu có kích thước đủ lớn (thông thường n 10) và độ lệch giữa các phần tử không quá lớn thì số trung bình có thể đại diện cho mẫu đang xét. Có thể đưa ra các ví dụ cụ thể sau, cho HS thấy được điều đó.
Ví dụ 2.14: Kết quả điểm kiểm tra của Nam về môn Toán trong năm học vừa qua được cho bởi mẫu số liệu sau: (7,7,6,5,8,9,8,7,6,8). Dưới đây là tình huống GV hỏi HS nhằm tìm hiểu khả năng hiểu ý nghĩa của số trung bình cộng trong một tình huống thực tiễn:
GV HS
- Hỏi: Điểm trung bình của Nam là bao nhiêu?
- Dựa vào điểm và điểm trung bình của Nam thì có nhận xét gì về học lực của Nam về môn Toán?
- Nếu cho Nam kiểm tra thêm một bài nữa thì ta dự đoán điểm của Nam thế nào?
- Vậy đó chính là ý nghĩa của trung bình cộng. Tuy nhiên nếu Nam chỉ kiểm tra 2 bài và được điểm là 9 và 8. Như vậy, điểm trung
- Là 7,1
- Nam là HS khá
- Dao động xung quanh 7 điểm
- HS phân vân suy nghĩ
65
bình của Nam là 8,5. Khi đó ta có thể kết luận học lực môn Toán của Nam là giỏi được không?
- Ban đầu, kích thước mẫu bằng 10 (tương đối lớn) nên trung bình cộng tương đối ổn định. Nhưng với kích thước mẫu quá bé (n=2) thì giá trị trung bình cộng không có ý nghĩa nữa.
Ví dụ 2.15 (Thăm dò cử tri): Tại California (Hoa Kỳ), các cuộc thăm dò dư luận được tổ chức để dự đoán mức độ ủng hộ Tổng thống trong cuộc bầu cử sắp tới. Bốn tờ báo đã tiến hành riêng biệt trên toàn quốc các cuộc thăm dò. Kết quả của chúng được thể hiện dưới đây:
Tờ báo thứ 1: 36,5 % (cuộc thăm dò tiến hành vào ngày 6/1 với 500 công dân có quyền biểu quyết được lựa chọn ngẫu nhiên).
Tờ báo thứ 2: 41,0 % (cuộc thăm dò tiến hành vào ngày 20/1 với 500 công dân có quyền biểu quyết được lựa chọn ngẫu nhiên).
Tờ báo thứ 3: 39,0 % (cuộc thăm dò tiến hành vào ngày 20/1 với 1000 công dân có quyền biểu quyết được lựa chọn ngẫu nhiên).
Tờ báo thứ 4: 44,5 % (cuộc thăm dò tiến hành vào ngày 20/1 với 1000 độc giả gọi điện bình chọn).
Câu hỏi: Theo em, kết quả của tờ báo nào dự đoán gần đúng nhất mức độ ủng hộ cho Tổng thống nếu cuộc bầu cử được tổ chức vào ngày 25/1? Giải thích lý do?
Ví dụ này rèn luyện cho HS khả năng đánh giá, phê bình của những thông tin được đưa ra trong sách, báo, tài liệu, các phương tiện thông tin đại chúng với nền là những kiến thức toán học. Điều này khá quan trọng bởi những cuộc thăm dò dư luận ngày càng phổ biến. Để được điểm câu hỏi này
66
HS cần trả lời đúng là tờ báo thứ 3 bởi vì có thời gian thăm dò gần hơn, kích thước mẫu lớn hơn, cử tri được lựa chọn ngẫu nhiên. HS cần có ít nhất là 2 luận cứ cho lập luận của mình, ví dụ:
- Chọn tờ báo thứ 3 vì công dân được lựa chọn ngẫu nhiên và có quyền bỏ phiếu.
- Chọn tờ báo thứ 3 vì có 1000 người, được lựa chọn ngẫu nhiên và gần đến ngày bầu cử nên ít có thời gian để họ thay đổi quyết định.
- Chọn tờ báo thứ 3 vì nó khảo sát nhiều người hơn và cử tri được lựa chọn ngẫu nhiên.
Một vấn đề nữa cần làm sáng tỏ cho HS là nên chọn số đặc trưng nào làm đại diện cho mẫu? Vấn đề này còn phụ thuộc vào sự quan tâm của con người đối với mẫu, trong ngữ cảnh đó. Chẳng hạn, xét ví dụ sau đây:
Ví dụ 2.16: Một cửa hàng điện tử gia dụng bán 5 loại tivi với giá mỗi loại tương ứng là 1; 2; 3; 4; 5 (triệu đồng). Trong năm vừa qua có 1285 lượt khách đến mua các mặt hàng trên với bảng số liệu dưới đây:
Giá tiền 1 2 3 4 5
Số chiếc
bán được 256 350 500 104 75
256
350
500
104 75
0 100 200 300 400 500
1 2 3 4 5
số ti vi
Biểu đồ 2.1: Biểu đồ mô tả số lƣợng ti vi bán ra trong năm
Ở đây, một chiếc tivi với giá tiền trung bình là 2,527 triệu đồng, mốt của dãy số liệu trên là 3 (GV có thể vẽ biểu đồ 2.1 để mô tả số lượng ti vi bán ra
67
trong năm để HS xác định được rõ giá trị mốt). Cục thuế thì quan tâm đến giá tiền trung bình của mỗi chiếc tivi (số trung bình cộng); còn chủ của hàng thì quan tâm tới mốt của dãy kí hiệu trên (loại tivi giá 3 triệu đồng được mua nhiều nhất). Như vậy đối với cục thuế, số đặc trưng đại diện cho mẫu trên là số trung bình cộng 2,572 còn đối với chủ của hàng, số đặc trưng đại diện cho mẫu số liệu là 3 (giá trị mốt) [12, tr.231].
Thứ tư, rèn luyện kỹ năng biểu diễn số liệu thông qua vẽ các biểu đồ, đa giác tần số (tần suất) ghép lớp,…cũng chính là rèn luyện kỹ năng xây dựng mô hình toán (mô hình thực nghiệm). Cái đích của GV cần đạt được ở đây là HS phải hiểu được quy luật ẩn dấu bên trong các số liệu của các biểu đồ, đồ thị. Chú ý cần tập luyện cho người học phát hiện ra những cách biểu diễn sai, làm mất đi những thông tin quan trọng. Sau đây là một vài ví dụ.
Ví dụ 2.17: Bảng 2.3 chỉ ra tiền lương (tính bằng nghìn bảng) trong một tuần của một số cầu thủ trong đội Manchester United (lấy thông tin từ tháng 11 năm 2012), còn biểu đồ 2.2 mô tả bảng số liệu đó.
Bảng 2.3: Tiền lương của một số cầu thủ đội Manchester United (nghìn bảng)
Tên cầu thủ Tiền lương Tên cầu thủ Tiền lương
Nick Powell 5 Rafael da Silva 40
Federico Macheda 6 Phil Jones 40
Tom Cleverley 20 Chris Smalling 40
Angelo Henriquer 20 Luis Nani 45
Alexander Buttner 25 Jonny Evans 45
Rooney 180 Nemanja Vidic 90
Van Persie 180 Ashley Young 90
Paul Scholes 30 Darren Fletcher 50
68
0 2 4 6 8 10 12
0-50 50-100 100-150 150-200
lương
Biểu đồ 2.2
Hãy bình luận biểu đồ tần số hình cột trên mô tả bảng số liệu đó.
Biểu đồ hình cột ở trên, che dấu một thông tin khá là quan trọng. Cột thứ nhất tính từ trái sang phải biểu diễn 12 người có mức lương dưới 50 nghìn bảng, trong đó có đến 2 người có mức lương dưới 10 nghìn bảng. Sai lầm này có liên quan đến sự phân lớp cho mẫu số liệu. Sẽ là tốt hơn, nếu biểu diễn bằng biểu đồ 2.3.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
10 20 40 60 80 100 120 140 160 180
lương
Biểu đồ 2.3
Đối với dạy học xác suất: Quá trình vận dụng xác suất vào trong thực tiễn có thể mô tả như sau: Phép thử (sự kiện, hiện tượng) Xây dựng không
69
gian mẫu (mô hình toán của phép thử) Dựa trên không gian mẫu để đánh giá khả năng (xác suất) xảy ra của các tình huống. Trên cơ sở đó, HS dựa vào kết quả thu nhận được để vận dụng vào hoạt động thực tiễn của bản thân mình. Dạy học quy trình này cũng có thể rèn luyện nhiều thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS.
Thứ nhất, khác với dạy học các tri thức toán học khác, ngoài những suy luận có tính lôgíc, người học cần có sự liên tưởng đến các tình huống xảy ra trong cuộc sống. Quá trình đó được diễn ra trong đầu HS, các em có thể tự đặt ra những câu hỏi: có những kết quả nào có thể xảy ra khi sự kiện, hiện tượng xảy ra (phép thử thực hiện)? Đây là một quá trình làm việc xây dựng mô hình định tính của HS.
Thứ hai, dạy học xác suất có nhiều vấn đề liên quan đến mô hình toán học: không gian mẫu là mô hình toán của phép thử; xác suất là mô hình toán để lượng hóa khả năng xảy ra biến cố ngẫu nhiên. Do đó, dạy học phần này có cơ hội để rèn luyện một số thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn. Trước hết, thông qua dạy học xác suất ở trường THPT, ta có thể rèn luyện cho HS về mặt ngôn ngữ (cả về ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học) và thông qua đó rèn luyện cho HS kỹ năng mô hình hóa các bài toán xác suất. Điều đó, được thể hiện qua một số hoạt động chính sau:
- Hướng dẫn cho HS dùng ngôn ngữ tự nhiên để mô tả sự kiện (biến cố) đúng ngữ nghĩa và cú pháp. Thực tế dạy học ở phổ thông, nhiều em khi dùng ngôn ngữ của mình có thể diễn ta biến cố ngẫu nhiên sai về mặt cú pháp.
- Hướng dẫn HS “toán học hóa” các biến cố ngẫu nhiên bằng cách mô tả chúng bởi các tập hợp. Thực tiễn dạy học cho thấy rằng: nhiều HS (ngay cả một số GV) cũng làm tắt bỏ qua công đoạn này, khi giải quyết các bài toán xác suất liên quan đến đời sống thực tiễn. Cần phân biệt cho HS cái biểu diễn và cái được biểu diễn, cái kí hiệu và cái được kí hiệu trong khi dạy học các vấn đề cụ thể liên quan đến chủ đề này, để góp phần
70
bồi dưỡng năng lực toán học hóa các tình huống thực tiễn. Chẳng hạn, khi cho HS xét bài toán sau:
Bài toán 2.1: Gieo một con súc sắc trên mặt phẳng nằm ngang. Tìm xác suất để:
a. Mặt có số chấm là số nguyên tố xuất hiện.
b. Mặt có số chấm không phải là số nguyên tố xuất hiện.
GV có thể yêu cầu HS lập bảng sau đây để hướng dẫn các em thực hiện các hoạt động sau:
Cái được biểu diễn (cái được kí hiệu) Cái biểu diễn (kí hiệu)
Phép thử: Gieo con súc sắc ={1,2,3,4,5,6}
A: “xuất hiện số chấm là số nguyên tố” A={2,3,5}
Khả năng xảy ra biến cố A là 1
2 P(A)= 1
2 B: „„xuất hiện số chấm không là số nguyên tố‟‟ B={1,4,6}
Khả năng xảy ra biến cố B là 1
2 P(B)= 1
2
Phân biệt cái được biểu diễn, cái được kí hiệu với cái biểu diễn và cái kí hiệu giúp cho người học thấy được sự chuyển đổi giữa ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Thông qua đó, HS cũng thấy được rằng: chính là mô hình toán của phép thử thứ tự là các tập hợp mô tả các biến cố A, B. Trong thực tiễn dạy học do không tách bạch rõ ràng giữa cái kí hiệu, cái biểu diễn với cái được kí hiệu cái được biểu diễn nên nhiều HS đã mắc sai lầm.
- Giải thích cho HS khái niệm xác suất là mô hình toán để lượng hóa khả năng xảy ra các biến cố ngẫu nhiên. Trong một số ngữ cảnh nhất định, con số đó, đồng nghĩa với „„tỉ lệ‟‟ hay „„khả năng‟‟. Làm như vậy, HS sẽ thấy được khái niệm này „„gần gũi‟‟ với cuộc sống hơn và dễ áp dụng được vào trong cuộc sống.
71
- Cần chú ý rằng, các bài toán về xác suất trong chương trình phổ thông có liên quan đến các tri thức về tổ hợp và chỉnh hợp. Các tri thức này được xây dựng trên nền tảng tập hợp nên có tính phổ dụng rất lớn. Bởi vậy, khi hướng dẫn người học giải các bài toán dạng này, cần yêu cầu họ phát biểu các bài toán cùng dạng trong những ngữ cảnh khác nhau, góp phần đưa toán học xâm nhập sâu rộng vào đời sống thực tiễn. Chẳng hạn, ví dụ sau đây:
Ví dụ 2.18: Một hộp có 13 viên bi được đánh số thứ tự từ 1 đến 13. Lần lượt lấy các viên bi ra khỏi hộp. Tính xác suất để 4 viên bi lấy ra cuối cùng lần lượt là 10, 11, 12, 13.
GV có thể dẫn ra ở đây một ví dụ và yêu cầu HS nhận xét xem bài toán mới có cùng dạng với bài toán đã nêu ở trên hay không? Bài toán mới như sau:
Một người muốn gửi một bức thư mật có nội dung như sau: „„M. you in the Park‟‟ (chữ M viết tắt của từ „„Meet‟‟). Anh ta dùng hoán vị các chữ cái để mã hóa bức thư trên. Bức thư được gọi là được mã hóa một cách bí mật nếu từ „„Park‟‟ không xuất hiện ở vị trí cuối cùng của dãy các chữ cái.
Anh ta mã hóa bức thư một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất bức thư được mã hóa là bí mật.
Rõ ràng, để thực hiện được yêu cầu của GV, HS đã buộc phải hoạt động ngôn ngữ. HS phải hiểu được việc mã hóa bức thư trên chính là một hoán vị của các chữ cái trong bức thư. Hoán vị này cũng tương tự như việc lần lượt lấy 13 viên bi ra khỏi hộp. Bức thư được gọi là mã hóa một cách bí mật nếu từ
„„Park‟‟ không xuất hiện ở vị trí cuối cùng của dãy các chữ cái tức là HS phải hiểu được rằng: việc bức thư được mã hóa thành công cũng tương tự như 4 viên bi lấy ra cuối cùng lần lượt là 10, 11, 12, 13. Như vậy, HS sẽ trả lời được câu hỏi của GV đặt ra là hai bài toán có cùng dạng với nhau. Sau đó, GV yêu cầu HS phát biểu một bài toán cùng dạng (cùng mô hình toán học) với bài toán trên. Qua hoạt động này có thể giúp HS tìm ra được những hiện tượng,