Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG
2.2. Hình thành và phát triển trực giác xác suất cho HS
Trực giác toán học được hiểu với nhiều nghĩa khác nhau và trên thực tế tồn tại nhiều dạng khác nhau. Trực giác có thể coi là trực quan cảm tính “nhận thức trực tiếp không phải bằng suy luận của lý trí” (Từ điển Bách khoa toàn thư Việt Nam, tr.1369), là sự “thấy trực tiếp” các khái niệm hoặc sự kiện trong các tình huống toán học (được hiểu theo nghĩa rộng bao gồm cả Toán học hình thức lẫn những tình huống thực tiễn mang đặc trưng toán học). Ở mức độ cao, trực giác toán học cho khả năng định hướng nghiên cứu trong các tình huống toán học mới không quen biết, dự đoán được kết quả nghiên cứu và đường lối tìm ra kết quả đó, phát hiện những sai lầm rõ ràng, trực giác toán học còn là một nhân tố quan trọng trong quá trình nhận thức lôgíc các yếu tố của toán học, và trong quá trình vận dụng toán học vào thực tiễn.
Mặc dù còn có những điểm chi tiết chưa thật tương đồng trong quan niệm của các nhà khoa học về trực giác toán học nhưng sự tồn tại và vai trò quan trọng của trực giác toán học trong quá trình tư duy đều được mọi người thừa nhận. Theo A. N. Konomgorov cho rằng một trong ba thành phần chính của năng lực học Toán của HS là trực giác hình học. Do trực giác mà đoán ra được chân lí, cũng chính là nhờ ở kinh nghiệm, ở những tri thức đã tích lũy được trước đó chứ không phải là một thứ nhận thức thần bí, bẩm sinh, không dựa gì vào hoạt động lôgíc. Vì vậy, trực giác xác suất ở HS phổ thông là cần thiết và có thể rèn luyện được.
Trực giác xác suất là trực giác toán học được thể hiện trong nghiên cứu các tình huống xác suất (được hiểu theo nghĩa rộng, bao gồm cả
50
những tình huống trong các mô hình toán học – xác suất, lẫn những tình huống thực tiễn mang đặc trưng xác suất). Theo Đỗ Mạnh Hùng: “Khi sử dụng phương pháp trực quan và suy luận hợp lí để đánh giá các tình huống xác suất cụ thể, có thể giúp HS thấy trực tiếp (không qua định nghĩa) khái niệm xác suất trong những tình huống chứa đựng nó. Bằng cách đó trực giác xác suất của HS được hình thành và sau đó nó được vận dụng ngay…” [3, tr.89]. Do đó, hình thành và phát triển trực giác xác suất giúp HS hiểu hơn về tính ngẫu nhiên, biến cố, tương quan, quy luật xác suất,… GV có thể tổ chức các hoạt động nhằm hình thành phát triển trực giác xác suất của HS như: tổ chức trò chơi thực nghiệm; thực hiện các thí nghiệm ảo; hướng dẫn HS đọc và biểu diễn các loại bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, biểu đồ, mô hình kết hợp suy luận thống kê dựa trên số liệu đã có. Để thực hiện được điều này thì trong nội dung và phương pháp dạy học cần phải thực hiện trong từng giai đoạn, trong các tình huống điển hình của quá trình dạy học: dạy học khái niệm, dạy học chứng minh định lý, dạy học giải bài tập có nội dung thực tiễn. GV có thể tiến hành qua các bước sau:
- Bước 1: GV tổ chức thực nghiệm cho HS theo từng nhóm hoặc cá nhân. Trong giai đoạn này, GV cần hướng dẫn HS sử dụng các phương pháp trực quan đo đạc, làm thực hành, thí nghiệm, thực hiện các phép thử, hình vẽ, mô tả,…
- Bước 2: Yêu cầu HS ghi lại kết quả, trao đổi nhóm, từ đó các em sẽ phân tích, đánh giá các tình huống xác suất cụ thể và được tập luyện khả năng thấy trực tiếp các khái niệm, mệnh đề trước khi định nghĩa khái niệm, chứng minh mệnh đề cũng như thấy trực tiếp đường lối xây dựng, xử lý mô hình xác suất của bài toán có nội dung thực tiễn trước khi giải bài toán đó.
- Bước 3: GV cần giúp đỡ HS củng cố mối liên hệ giữa nội dung của cách giải quyết vấn đề với những điều mà các em đã thấy trước bằng trực giác
51
để xác nhận, củng cố và phát triển trực giác xác suất của các em, sử dụng trực giác để kiểm tra và điều chỉnh nội dung của cách giải quyết vấn đề.
- Bước 4: GV hướng dẫn HS sử dụng phương pháp trực quan và các suy luận hợp lí để phân tích, đánh giá kết quả vừa thu được; liên hệ các kết quả đó với các tình huống thực tế khác nhau; từ đó giúp các em thấy được các khái niệm, định lí của XS-TK trong các tình huống sinh ra nó. Mặt khác, cũng cần tổ chức cho HS đối chiếu các kết quả mà các em thấy được một cách trực giác với kết quả thu được sau khi giải quyết vấn đề; các em có thể tự xác nhận trực giác xác suất đúng hay phải điều chỉnh, bác bỏ trực giác xác suất chưa đúng của mình, rút ra kinh nghiệm cần thiết cho bản thân.
Ví dụ 2.11: Hình thành, phát triển trực giác xác suất cho HS thông qua dạy học định nghĩa cổ điển của xác suất:
GV tổ chức thực nghiệm cho HS theo từng nhóm hoặc cá nhân. Các thực nghiệm đơn giản có thể thực hiện tại lớp như tung một chiếc cốc nhựa, tung đồng xu hoặc tung súc sắc. Số lần tung tăng dần và GV yêu cầu HS ghi lại kết quả của từng lần tung.
Bảng 2.1: Bảng hướng dẫn thực nghiệm với chiếc cốc nhựa Tung lần thứ Cốc ngửa Cốc úp Cốc nằm ngang
1 2
… n Tần số
52
Hình 2.3: Thực nghiệm với chiếc cốc nhựa
Tương tự, GV tổ chức cho HS thực nghiệm tung đồng xu, yêu cầu HS ghi lại kết quả số lần xuất hiện mặt xấp, mặt ngửa và tính tần suất. Không gian mẫu bao gồm tổng số lần mà đồng xu rơi xuống đất. Khi rơi xuống đất chúng ta có thể thấy mặt xấp hoặc mặt ngửa của đồng xu, có nghĩa là có hai khả năng có thể xảy ra. Do đó, mẫu số của xác suất phải là 2. Vì vậy, xác suất để đồng xu rơi xuống đất có mặt ngửa là 1
2 hay 50%. Thông qua hoạt động thực nghiệm trên, HS sẽ nhận thấy rằng khi tăng dần số lần tung đồng xu thì tần suất xuất hiện mặt xấp hoặc mặt ngửa sẽ xấp xỉ 0,5 tức 50%. Từ đó giúp các em hình thành trực giác về xác suất. Do vậy, để phát triển trực giác xác suất cho HS, GV có thể tổ chức trò chơi khi thực nghiệm với chiến thuật chiến thắng của trò chơi là HS phải biết tính xác suất để đưa ra được dự đoán trong thực nghiệm:
- GV cho HS dự đoán và ghi lại kết quả của từng HS;
- Tổ chức cho nhóm HS hoặc cá nhân tiến hành thực nghiệm;
- Tính kết quả và xác định xem HS nào có dự đoán gần đúng với kết quả nhất sẽ là người chiến thắng.
Ví dụ 2.12 (Hoạt động thí nghiệm ảo): GV có thể minh họa thí nghiệm ảo tung đồng xu (một ứng dụng trên mạng internet) để giúp HS phát triển trực giác về các quy luật xác suất:
53
Hình 2.4: Kết quả tung đồng xu 100 lần
Kết quả thí nghiệm ảo trên cho thấy, khi tung đồng xu 100 lần thì số lần xuất hiện mặt xấp là 49, mặt ngửa là 50, xác suất xuất hiện mặt ngửa là 51%.
Hình 2.5: Kết quả tung đồng xu 500 lần
Khi tăng số lần tung lên 500, kết quả là số lần xuất hiện mặt xấp là 246, số lần xuất hiện mặt ngửa là 254, xác suất xuất hiện mặt ngửa là 50%,…
54
Hình 2.7: Kết quả tung đồng xu 1000 lần
Khi tăng số lần tung lên 1000, kết quả là số lần xuất hiện mặt xấp là 504, số lần xuất hiện mặt ngửa là 496, xác suất xuất hiện mặt ngửa là 49%…
Hình 2.8: Kết quả tung đồng xu 1500 lần
Khi tăng số lần tung lên 1500, kết quả là số lần xuất hiện mặt xấp là 763, số lần xuất hiện mặt ngửa là 737, xác suất xuất hiện mặt ngửa là 49%,…
Qua thí nghiệm ảo này HS sẽ thấy được khi ta tăng số lần tung con súc sắc đến các số càng lớn thì các tần suất của biến cố “xuất hiện mặt ngửa‟‟
55
trong các dãy rất nhiều phép thử “gieo đồng xu đồng chất và đối xứng‟‟ càng có tính ổn định, khi biến thiên rất ít xung quanh hằng số 1
2 , với độ lệch không đáng kể (nhỏ hơn 0,01).
Ví dụ 2.13: Hình thành, phát triển trực giác xác suất cho HS khi hướng dẫn HS làm bài tập sau:
Gieo 3 đồng xu cân đối một cách độc lập. Tính xác suất của biến cố sau:
A: “Cả 3 đồng xu đều sấp”.
B: “Có ít nhất một đồng xu sấp”.
C: “Có đúng một đồng xu sấp”.
- Bước 1: GV tổ chức cho HS thực nghiệm việc gieo 3 đồng tiền xu loại mệnh giá 200đ, 500đ, 1000đ với quy ước mặt ngửa là mặt ghi giá trị đồng tiền. GV chia lớp thành 4 nhóm và yêu cầu HS tung 10 lần 3 đồng tiền một cách độc lập. Và ghi lại kết quả vào bảng sau:
Bảng 2.2: Bảng hướng dẫn thực nghiệm với chiếc 3 đồng tiền xu
Đồng 200đ Đồng 500đ Đồng 1000đ
Lần 1 Lần 2 Lần 3 Lần 4 Lần 5 Lần 6 Lần 7 Lần 8 Lần 9 Lần 10
56
- Bước 2: GV tổng hợp kết quả của 4 nhóm và hướng dẫn HS sử dụng phương pháp trực quan để phân tích, để “thấy trực tiếp” các khả năng xảy ra của từng biến cố: Khi thực hiện phép thử T: “Gieo 3 đồng xu cân đối”. Yêu cầu HS dự đoán xác suất của các biến cố A, B và C.
- Bước 3: GV yêu cầu HS chỉ ra các khả năng có thể của biến cố A, B, C.
Qua phân tích HS “thấy trực tiếp” được rằng biến cố B có khả năng xảy ra nhiều nhất, biến cố A có khả năng xảy ra ít nhất, cụ thể, nếu ta kí hiệu S là mặt sấp, N là mặt ngửa và đánh số thứ tự 3 đồng xu. Khi thực hiện phép thử T thì:
Biến cố A: SSS
Biến cố B: SNN, NSN, NNS, SSN, SNS, NSS, SSS Biến cố C: SNN, NSN, NNS
- GV hỏi HS: “Việc tung 3 đồng tiền xu có độc lập với nhau hay không?”. Qua quá trình thực nghiệm thì HS thấy ngay được rằng việc tung 3 đồng tiền xu là hoàn toàn độc lập. Khi đó, HS dễ dàng sử dụng các bước tính xác suất của từng biến cố để có được kết quả cụ thể, từ đó liên hệ với những điều thấy trước bằng trực giác để xác nhận.
Cụ thể là: P(A) = P(S).P(S). P(S) =1 2.1
2.1 2=1
8. P(B) = 1 – P(A) = 1 - 1
8 = 7 8.
P(C) = P(S).P(N). P(N) + P(N). P(S). P(N) + P(N). P(N). P(S).
= 1 2.1
2.1 2 + 1
2.1 2.1
2 + 1 2.1
2.1 2 = 3
8.
- Bước 4: Yêu cầu HS so sánh kết quả bài toán với kết quả dự đoán của mình.
Ví dụ 2.14: Thực hiện hình thành, phát triển trực giác xác suất cho HS khi hướng dẫn HS chứng minh tính chất sau của xác suất: “Nếu A và B là 2 biến cố xung khắc thì: P(A B) = P(A) + P(B)”.
57
- Bước 1: GV dùng biểu đồ Ven để mô tả:
+) n – biến cố sơ cấp đồng khả năng của phép thử T được biểu thị bởi hình E.
+) m1 – biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A xảy ra được biểu thị bởi hình A.
+) m2 – biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố B xảy ra được biểu thị bởi hình B.
- GV hỏi HS các tập A, B và E có mối quan hệ như thế nào?
- HS có thể thấy được ngay là A E, B E, và A B (vì các biến cố A và B
xung khắc nên không có biến cố nào vừa thuận lợi cho biến cố A xảy ra lại vừa thuận lợi cho biến cố B xảy ra), nghĩa là không có biến cố sơ cấp nào vừa thuộc hình A lại vừa thuộc hình B, do đó hai hình A và B rời nhau.
- Bước 2: Dựa vào hình vẽ HS sẽ “thấy trực tiếp” rằng: Mỗi biến cố sơ cấp thuộc vào hợp của hai hình A và B đều thuận lợi cho biến cố A B xảy ra, suy ra có tất cả m1 + m2 biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A B xảy ra.
- Bước 3: Từ những điều HS có thể phác họa được các bước chứng minh và từ đó “thấy trực tiếp” đường lối chứng minh. Do đó, trực giác xác suất của HS được hình thành.
Tóm lại, để hình thành và phát triển trực giác xác suất cho HS, GV tổ chức cho HS thực nghiệm với vật thật hoặc thực hiện các thí nghiệm ảo. Từ kết quả thực nghiệm, các em phân tích, dự đoán, thảo luận và rút ra kết luận của mình, đó là quá trình “thấy trước một cách trực giác”. Sau đó, GV hướng dẫn HS sử dụng phương pháp trực quan và các suy luận hợp lý để phân tích, đánh giá kết quả vừa thu được. Quá trình này rèn luyện cho HS khả năng phát hiện ra quy luật của tình huống thực tiễn, từ đó xây dựng mô hình toán học,
E A
B
58
làm việc trên mô hình, kiểm tra, đánh giá và điều chỉnh mô hình,… góp phần bồi dưỡng năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS.