Hệ thống LTI được đặc trưng bởi đáp ứng xung đơn vị h[n]. Tín hiệu lối ra của hệ thống LTI đối với một dãy lối vào bất kỳ đều được xác định bằng phép nhân chập giữa đáp ứng xung của nó với tín hiệu lối vào đó. Quan hệ vào / ra của hệ thống LTI này còn được biểu thị bằng phương trình sai phân hệ số hằng số. Trên lĩnh vực thời gian này, việc thực hiện phép nhân chập hoặc giải các phương trình sai phân đôi khi gặp nhiều khó khăn. Bằng cách áp dụng biến đổi z hoặc phép biến đổi Pourier thời gian rời rạc DTFT, mối qua hệ vào/ ra của các hệ thống LTI được xác định rất đơn giản, ngoài ra lại còn cho thấy nhiều tính chất rất quan trọng của các hệ thống đó . Cách biểu diễn hệ thống LTI trên lĩnh vực biến đổi được sử dụng trong rất nhiều ứng dụng nhờ sự thiết kế và thực thi đơn giản của chúng.
• Nếu hệ thống LTI có đáp ứng xung h[n] , thì đáp íữtg tần iỡ của nó được xác định bằng biến đổi Pourier thời gian rời rạc H(e của h[n]:
H (e'")= f h [ n ] e - j “ " (5.1) n=-oo
Nói chung H(e^“) là một hàm số phức của co tuần hoàn với chu kỳ 271 nên có thể được biểu thị dưới dạng
H(eJ“)==IH (eO leJ'^‘“' (5.2)
Trong đó I H(e j“)l được gọi là đãp ứng biên độ, còn O(co) được gọi là đáp ứng pha của hệ thống LTI đó. Hàm đáp ứng biên độ I H(e J“)l luôn là một hàm số chẵn, tức là I H(e J“)l = I H(e j“)i , trong khi đáp ứng pha là hàm số lẻ của oo, 0(cừ) = - O(-co).
• Trong thang dB, hệ số khuếch đại của hệ thống LTI này được biểu thi bởi:
G(co) = 201og,ol H(eJ“ )l dB (5.3) Độ suy giảm hay hàm suy hao a( Cữ) được xác định từ
a(cù) = - G(co) (5.4)
• Biểu diễn hệ thống LTI trên lĩnh vực tần số cho phép xác định một thông số quan trọng. Đó là hàm trễ nhóm co). Hàm này đặc trưng cho vận tốc truyền nhóm của tín hiệu ở trong hệ thống được xác định từ :
^ dcD((0)
x(co) = - — — (5.5)
dcù
Nếu hàm pha đo bằng radian thì độ trễ nhóm x(co) đo bằng giây.
• Nhờ đáp ứng tần số, ta dễ dàng xác định được đáp ứng dừng của hệ thống LTI đối với tín hiệu sin ở lối vào . Thật vậy, nếu:
x[n] = Acos(cOon+%) (5.6)
thì đáp ứng trạng thái dừng của hệ thống được xác định bằng:
y[n] = AI H(e^“)lcos(c0„n+O(c0(|)+(Pd) (5.7) trong đó A là hằng số thực.
• Đáp ứng tần số của hệ thống LTI có thể tính được từ phương trình sai phân hệ số hằng số mô tả quan hệ vào/ra của hệ thống đó , được biểu thị dưới dạng;
--- ( 5 . 8 )
m=()
_N
‘ " Ik=l a ,e~ jk u j
Biến đổi z H(z) của đáp ứng xung đcm vị h[n] của một hệ thống LTI được gọi là hàm truyền hay hàm hệ của hệ thống đó. Vì tín
68
hiệu lối ra của hệ thống LTI bằng tổno nhân chập giữa đáp ứng xung đcín vị với tín hiệu lối vào x[n], nén hàm truyền:
H(z) = Y(z)
X (z) (5.9)
Như vậy hàm truyền bằng tỉ số giữa biến đổi z của tín hiệu lối ra và biến đổi z của tín hiệu lối vào.
• Đáp ứng tần số của hệ thống LTII H(e ^“)l liên hệ chặt chẽ với hàm truyền của nó. Nếu miền hội tụ ROC của hàm truyền H(z) chứa vòng tròn đơn vị thì;
H(e^“) = H(z)
z -e j“ (5.10)
Do vậy trên lĩnh vực tần sô' quan hệ vào/ra của hệ thống LTI được biểu thị bằng hệ thức:
H(e^“) = Y(ej“)/X(eJ“) (5.11)
Trong đó Y(e^“) là biến đổi Pourier thời gian rời rạc của dãy tín hiệu lối ra y[n] còn X(e^“) là biến đổi Pourier thời gian rời rạc của dãy lối vào x[n].
Nếu hàm truyền H(z) có các hệ số thực thì có thể viết:
= H(ej“ )H*(ej“ )
= H(ej“ )H(e~j®) = H (z)H (z'’ ) (5.12)
Từ phương trình sai phân hệ số hằng số, ta cũng có thể suy ra hàm truyền và được biểu diễn dưới dạng:
= = (3.13)
X ( z ) l + a | Z + . . . + aN Z
Hàm truyền (5.13) cũng có thể được biểu diễn dưới dạng:
(5.14)
trong đó z^, m = 1,2, ..., M là các điểm không của hệ thống, còn Pk, k = 1, 2 ,..., N là các điểm cực của H(z). Nếu N > M thì còn có thêm (N-M) điểm không tại gốc toạ độ z = 0, và nếu N < M thì còn có thêm (M-N) điểm cực tại z = 0.
• Tất cả các điểm cực của một hệ thống LTI ổn định đều nằm bên trong vòng tròn đơn vị; có nghĩa là các điểm cực thoả mãn điều kiên:
Pk <1 (5.15)
• Mạch lọc lý tưởng có đáp ứng biên độ bằng đofn vị ở trong dải thông và bằng không ở trong dải chặn và có đáp ứng pha bằng không ở khắp nơi.
• Đáp ứng xung của mạch lọc thông thấp lý tưởng được xác định bằng hệ thức;
TTn
• Hàm truyền của mạch lọc thông thấp IIR bậc nhất có dạng:
- 1
Hlp(z) = ì - a l + z
2 (5.17)
ở đây lal < 1 vì lý do ổn định. Tần số co^ là tần số cắt 3dB liên hệ với thông số a bằng hệ thức :
a = 1 - sin Cù, COSCÙ,
(5.18)
Hàm truyền của mạch lọc thông cao IIR bậc nhất có dạng:
70
Hip(z) —\ + a 1 - 2 -1
2 \ - a z (5.19)
ở đây lal < 1 vì lý do ổn định. Tần số Cù^, là tần số cắt 3dB liên hệ với thông số a cũng bằng hệ thức (5.18).
• Hàm truyền của mạch lọc thông dải bậc hai được biểu thị dưới dạng :
H b p(z) =
1 - a l - z -2
-2 (5.20)
Đáp ứng biên độ bằng không tại co = 0 và 71 và đạt giá trị cực đại tại Cù = C0(), được gọi là tần số trung tâm của mạch lọc (đỉnh cộng hưởng), C0(, liên hệ với thông số p bằng hệ thức :
Ci)(, = cos'(Ịì) (5.21) Độ rộng dải thông tại 3 dB được xác định bằng
Bw = Cù,2 - co,, = cos'
1 + a (5.22)
• Hàm truyền của mạch lọc chặn dải bậc hai được biểu thị dưới dạng:
H b p(z) =
1 + a l - 2 p z “ ’ + z “ ^
- 1 , . . „ - 2
2 l - p ( l + a ) z “ ' +
(5.23) a z
Đáp ứng biên độ đạt giá trị cực đại tại co = 0 và K và đạt giá trị bằng không tại Cù = cOo, được gọi là tẩn sô' cắt của mạch lọc; C0() liên hệ với thông số p cũng bằng hệ thức (5.21), còn độ rộng dải cắt cũng bằng (5.22).
• Có thể thực thi các mạch lọc có đáp ứng biên độ dốc hơn bằng cách ghép nối tiếp nhiều mạch lọc đom giản nói trên.
Chẳng hạn ghép K mạch lọc số thông thấp bậc nhất có hàm
truyền (5.17) sẽ thu được mạch lọc thông thấp có hàm truyền tổng thể bằng:
1 - a l + z-1
2 l - a z “'
\ K
(5.24)
Tần số cắt của mạch lọc tổng thể liên hệ với các thông số a và K bằng hệ thức:
a = 1 + (1 - B)cosOị, - sinơị V2B- B'
1 - B + cosoị (5.25)
ở đây:
_ o (K -l)/K
B = 2 (5.26)
• Hệ thống LTI nhân quả, ổn định có tất cả điểm không nằm bên trong vòng tròn đơn vị được gọi là hệ thống có pha cực tiểu, trong khi tất cả các điểm không nằm ngoài vòng tròn đcfn vị thì được gọi là hệ thống có pha cực đại.
• M hệ thống với các hàm truyền { H()(z), H,(z)... Hm.i(z) ị sao cho tổng các hàm truyền này bằng một số nguyên lần độ trễ đơn v ị ; tức là:
M - l
2 ^ H ,(z) = cz
k=()
thì các hệ thống đó được gọi là bù trễ với nhau. Trong đó m là một số nguyên không âm.
M hệ thống với các hàm truyền { Ho(z), H|(z), Hm.|(z) } sao cho tổng bình phương biên độ bằng đơn v ị ; tức là:
M - l
k=0
với mọi 03 (5.28) thì các hệ thống đó được gọi là bù công suất với nhau.
72