Mạch lọc số IIR có đáp ứng xung dài vô hạn. Mạch lọc như vậy được mô tả bằng phưofng trình sai phân :
208
M N
y[n] = ^ b m X [ n - m ] - ^ a k y [ n - k ] (11.1)
m = 0 k = l
Đối với mạch lọc LTĨ nhân quả thì M < N, ở đây N là bậc của mạch lọc số. Lấy biến đổi z phương trình sai phân (11.1) và sau đó lập tỉ số Y(z)/X(z) ta sẽ thu được hàm truyền của mạch lọc này :
M
X b , . z -in
H(z) = m=0 - (11.2)
- k
N
' " Ik = l a , z Nếu ta đặt :
Trong đó :
và
H(z) = H ,( z). H2(z) (11.3)
H ,(z)= (II--*)
111=^0
H2(z) = --- --- 1 (11.5)
k = l
thì chúng ta sẽ thu được cấu trúc trực tiếp. Đó là cấu trúc gồm đủ các bộ cộng, bộ nhân và bộ trễ đcm vị như trong phương trình sai phân. Sơ đồ dòng tín hiệu của cấu trúc trực tiếp cho trên hình 11.2.
Bây giờ nếu thực thi hàm truyền H2(z) trươc, sau đó đến H|(z); Có nghĩa là ta thực hiện hàm truyền H(z) dưới dạng sau :
H( z) = H2(z).H,(z) (11.6)
x[n] o -o- ỏ-
b„
b2
o o y [ n ]
c>-
0- 'M
<) <>
-a,
"^N-l
Hình 11.2. Sơ đồ dòng tín hiệu mô tả cấu trúc trực tiếp của mạch lọc IIR bậc N.
thì ta sẽ thu được cấu trúc dạng trực tiếp II. Sơ đồ dòng tín hiệu cấu trúc trực tiếp II cho trên hình 11.3.
X n
b„
o---- ằ ----.
-ai
3 ... ằ 0 z '
, 'ỉ- -ả2
ị ”*
1
, J
;
' 1
Ị bN-i t -3n
z-' bN
y[n]
Hình 11.3. Sơ đồ dòng tm hiệu cấu trúc dạng trực tiếp II của mạch lọc II R bậc N.ô • ô
Sau khi đã thu được cấu trúc dạng trực tiếp II, ta lại thực hiện phép chuyển vị sao cho H|(z) thực hiện trước rồi mới đến H2(z); Có nghĩa là ta thực thi hàm truyền H(z) dưới dạng :
210
H(z) = H,(Z).H,(Z) (11.7)
Như vậy ta sẽ thu được sơ đồ dòng tín hiệu cấu trúc dạng trực tiếp II chuyển vị. Cấu trúc này còn có tên là ccíu trúc dụrưị trực tiếp ỉ. Sơ đồ cấu trúc dạng trực tiếp I cho trên hình 11.4.
X n b„
b,
^ z - ‘ -a.
) w ' " (
b ,
^z-‘
-a2 í -
1 1
bN-i
f 1
1 1
' 1
0---b,s^---(Ị
> ^ c
-as.
) ^ - - 0
y[n;
Hình 11.3. Sơ đồ dòng tín hiệu cấu trúc dạng trực tiếp I của mạch lọc II R bậc N.
CẤU TRÚC NỐI TIẾP
Trong nhiều ứng dụng thực tế, hàm truyền của mạch lọc bậc N thường được khai triển thành tích các hàm truyền bậc hai. Do vậy khi thực thi dạng khai triển này, ta sẽ thu được cấu trúc dưới dạng nối tiếp các hệ thống bậc hai.
Thật vậy, hàm truyền H(z) từ (11.2) có thể khai triển dưới dạng :
M
H(z) = ---
k = l
= b, 1 + b,,z ' + b,,z-1
i=i
Trong đó : L=
l + a „ z '' +a,,z"^
N + 1
= b o f j H , ( z ) (1 1 .8 )
1=1
Vậy nếu N lẻ thì ngoài các hệ thống bậc hai còn có một hệ thống bậc nhất ghép nối tiếp và :
l + b,,z-' + b , ị Z
H.(z) =
- 1
- (11-9)
là hàm truyền của mạch lọc bậc hai thứ i. Hình 11.5 mô tả cấu trúc nối tiếp của mach loc IIR bâc 4.
x[n] bu y[n]
p---m ---
-a,i
' z-'
■^21 , , z- ‘
ọ---m>
<
-a,2
z-' ) ^ b,2
-a22
z-' b22
Hình 11.3. Sơ đồ dòng tín hiệu cấu trúc nối tiếp dạng trực tiếp II của mạch lọc II R bậc 4 .ô • ô
• Cấu trúc song song
Nếu ta phân tích hàm truyền H(z) của mạch lọc IIR bậc N (11.2) thành tổng các hàm truyền bậc hai như sau :
M
H(z) = in=0 in
N
' " ẳk=l
= Co
i = l
a ,z-k
boi + b „ z -1
í r i + a,iZ-' + a , , z ~ -
= Co+ X h , (z) (11.9 )
i = l
212
trong đó L= N + 1
, thì ta sẽ thu được cấu tiúc gồm các hệ thống bậc hai ghép song song với nhau như trên hình 11.4. Nếu N lẻ thì ngoài các hệ thống bậc hai còn có một hệ thống bậc nhất ghép song song. Mạch lọc bậc hai thứ i có hàm truyền dạng :
H.(z) = bo, + b „ z
l + a „ z ‘' + a ,,z (11.10)
Q,
x[n] 0— I.
H ình 11.4. Cấu trúc song song dạng trực tiếp I của mạch lọc IIR bậc 4.
• Cấu trúc m ắt cáo
Cấu trúc mạng mắt cáo hay còn gọi là cấu trúc mạch lọc ô mạng (lattice íilter structues) rất có ích trong xử lý tiếng nói và trong thực thi các mạch lọc thích nghi dùng để tiên đoán tuyến tính. Trong xử lý tiếng nói, cấu trúc này thường được sử dụng nhiều hơn các cấu trúc FIR và IIR, bởi vì trong phân tích và tổng hợp tiếng nói chỉ cần một lượng nhỏ các hệ số cũng có thể cho phép một số lượng lớn các formants được mô hình hoá theo thời gian thực . Có hai cấu trúc mắt cáo chính là mạng toàn điểm không và mạng toàn cực điểm . Mạng vừa có điểm không lại vừa có điểm cực thì được gọi là mạng bậc thang mắt cáo (ladder).
Mạch lọc IIR toàn điểm cực có hàm truyền H(z) dạng:
H(z) =
k=l
sẽ CÓ s ơ đồ dòng tín hiệu cho trên hình 11.5.
Hình 11.5 Cấu trúc mạng mắt cáo toàn điểm cực.
Biến đổi z giữa tín hiệu f„[n] và fm_i[n] liên hệ với nhau bằng hệ thức:
k ,z - ^ F ,( z (11.12)
1 - k m
Phưcrng trình này cho phép tính đa thức bậc thấp hơn F„.|(z) từ F„(z).
Do đó phương pháp này còn có tên là phương pháp hạ cấp, bắt đầu từ m và lùi dần tới m = 1 .
Các hệ s ố phản xạ k„, liên hệ với các hệ số ãị. của H(z) từ (11.11) bằng hệ thức truy hồi:
a., ~ (11.13)
l - k m
với kn, = với m = M, M - 1 , , 1 và i = 0 ,1 , 2 ,..., m-1; Ik^l 1.
214
• Cấu trúc thang - mắt cáo (lattice-ladder)
Cấu trúc thang- mắt cáo hay còn gọi là cấii trúc Gray-Markeỉ được thực thi đối với mạch lọc IIR tổng quát (11.2) :
H(z) =
M
m = Q __________
N
k = l
-k
Bm(z) Am(z)
Cấu trúc này được thực thi theo hai bước. Bước đầu tiên là thực thi cấu trúc mắt cáo toàn điểm cực như trong hình 11.5 với các hộ sô phản xạ k„„ 1 < m < N. Bước thứ hai là cộng các lối ra g„[n] với các hằng số như trong hình 11.6 để tạo ra cấu trúc thang - mắt cáo.
Hình 11.6 Cấu trúc thang - mắt cáo của mạch lọc IIR tổng quát bậc N.