Thiết kế các mạch lọc là xác định được hàm truyền H(z) của mạch lọc đó mà đáp ứng tần số H(e-'“) của nó thoả mãn các yêu cầu thiết kế. Sau khi thu được hàm truyền H(z), đến bước thứ hai là thể hiện hàm truyền đó dưới dạng các cấu trúc thích họp nhất. Đó là sự thực thi các mạch lọc. Có hai loại mạch lọc chính là FIR và IIR . Thiết kế mạch lọc thời gian - rời rạc IIR bao gồm phép biến đổi mạch lọc tưofng tự thành một mạch lọc số thoả mãn các qui định đã được mô tả.
Để thiết kế mạch lọc số mong muốn từ các mạch lọc tưcmg tự, có hai kỹ thuật được áp dụng:
1. Biến đổi mạch lọc tương tự thông thấp đã được chưẩn hoá thành một mạch lọc tưong tự khác chưa chuẩn hoá rồi sau đó số lioâ mạch lọc tương tự này để trở thành mạch lọc số mong muốn.
2. Ánh xạ mạch lọc thông thấp tương tự từ mặt phẳng-s sang mặt phẳng - z và sau đó áp dụng phép biến đổi dải tần để tạo thành mạch lọc số mong muốn; Trong đó phép biến đổi song tuyến ià công cụ chủ chốt. Cả hai kỹ thuật trên được mô tả trên sơ đồ hình (8.1).
Kỹ thuật 1:
Kỹ thuật 2:
Khi thiết kế một mạch lọc số bằng sự biến đổi một mạch lọc tương tự nguyên mẫu, thì các qui định đối với mạch lọc tương tự thu được bằng sự biến đổi các qui định đối với mạch lọc số mong muốn. Hàm truyền H,,(s) hoặc đáp ứng xung h,,(t) của mạch lọc tương tự khi đó sẽ thu được qua một Irong các phương pháp gần đúng được thiết lập đã sử dụng để thiết kế mạch lọc tương tự. Sau đó, hàm truyền H(z) hoặc đáp ứng xung h[n] đối với mạch lọc thời gian - rời rạc thu được bằng cách áp dụng vào H^s) hoặc vào h^(l) phép biến đổi thuộc loại sẽ được thảo luận trong phần này.
Trong các phép biến đổi như vậy, nói chung, các tính chất chủ vếu của đáp ứng tần số tưcfng tự được bảo toàn trong đáp ứng tần số của mạch lọc số kết quả. Trục ảo của mặt phẳng - s sẽ được uốn thành vòng tròn đơn vị của mặt phẳng - z để tính chất ổn định mạch lọc được bảo toàn. Điều đó cho thấy nếu hệ thống thời gian- liên tục chỉ có các điểm cực nằm ở bên trái mặt phẳng - s, thì mạch lọc số phải có các điểm cực chỉ nằm bên trong vòng tròn đcfn vị trong mặt phẳng - z. Các điều kiện ràng buộc này là cơ sở cho tất cả các kỹ thuật được thảo luận trong phần này.
8.2. MỘT SỐ QUI ĐỊNH Đ ố l VỚI MẠCH LỌC TƯƠNG T ự
Đáp ứng biên độ của mạch lọc thông thấp tương tự có thể được biểu thị dưới dạng bình phương hoặc theo thang dB như trên hình 8.2. Trong các trường hợp đó, các qui định của mạch lọc thông thấp tương tự được xác định từ:
Đối với dải thông:
1 + 8 <
Đối với dải chặn:
0 < |H „ ( j Q f Q s<IQ I A
Trong đó £ là thông số mấp mô của dải thông, Qp là tần số của dải thông đo bằng rad/sec, A là độ suy giảm của dải chặn và Qs là tần số cắt của dải chặn. Các thông sô' này chỉ ra trên hình 8.2b.
Như vậy, chúng ta sẽ tìm được:
126
và
=
1 + e^
1
khi Q = Q,
khi Q = Q s
IH/jQ)l
H ình 8.2. Biểu diễn đáp ứng biên độ của mạch lọc thông thấp tưcmg tự.
Các thông số s và A liên hộ với các thông số Rp và As của thang dB trong hình 8.2c bằng các hệ thức:
Rp = -lOlog10 9
1 + 8^
=► 8
và
As = -lOIog10
Ngoài ra độ mấp mô ôi và ỏ2 của thang đo giá trị tuyệt đối liên hệ với g và A bằng các hệ thức:
I-Ỗ Ị _ Ị 1 1 + Ôị vl + e^
e = h Ễ ỉ I-Ô
và 1 + 5, A ỗo
Đáp ứng tần số H^(jQ) của mạch lọc tương tự liên hệ với hàm truyền H„(s) của nó bằng hệ thức:
s=j-a nên
hay
R,(s) H,(-s) =
s=jn
Í2=s/j
Do vậy, các điểm cực và các điểm không của hàm bình phưcíng biên độ phân bố đối xứng ảnh gương đối với trục ảo jQ . Giản đồ điểm cực/điểm không tiêu biểu của Ha(s) H^(-s) cho trên hình 8.3. Từ giản đồ này, chúng ta có thể tìm được hàm truyền HJs) của mạch lọc tưcfng tự cần thiết kế. Để mạch lọc tương tự ổn định và nhân quả thì các điểm cực của hàm truyền của nó bắt buộc phải nằm ở nửa trái của mặt phẳng -s. Các điểm không của H^(s) có thể nằm đâu đó trong mạt phẳng-s , do đó chúng không được xác định một cách duy nhất trừ khi tất cả đều nằm trên trục jQ. Chúng ta sẽ chọn các điểm không của H^(s) H J-s) nằm bên trong hoặc ngay trên trục jQ như các điểm không của H Js). Mạch lọc có các điểm không như vậy được gọi là mạch lọc pha cực tiểu.
Hình 8.3 Giản đồ điểm cực không tiêu biểu của H^(s) H^(-s),
128
8.3. THIẾT KẾ MẠCH LỌC s ố BẰNG SỰBẤT b iê n x u n g
Đây chính là phương pháp lấy mẫu đáp ứng xung của mạch lọc tương tự để thu được đáp ứng xung của mạch lọc số, nghĩa là:
h[n] = = h,(iiT)
với h[n] là đáp ứng cung của mạch lọc số còn h,,(t) là đáp ứng xung của mạch lọc tương tự. Thông số T được chọn như thế nào để dạng của h^(t) được " chấp nhận" bởi các mẫu của h[n]. Vì đó là phép lấy mẫu nên các tần sô' tương tự và rời rạc liên hệ với nhau bằng hệ thức:
co = Q T
hay = (8.1)
Vì z = 6^“ là ở trên vòng tròn đơn vị ở trong mặt phẳng-z; còn s = jQ ở trên trục ảo ở trong mặt phẳng-s, nên chúng ta có phép biến đổi sau đây từ mặt phẳng-s sang mặt phẳng-z;
z = eằ"
Khi đó hàm truyền H^(s) sẽ chuyển thành hàm truyền H(z) của mạch lọc số;
H(z) = ị £ H . ( s - j ^ k ) T k = -00 I
Như vậy, nhờ phép biến đổi (8.1), toàn bộ nửa trái của mặt phẳng-s (ơ < 0) được ánh xạ vào bên trong vòng tròn đơn vị ở trong mặt phẳng-z ; Còn trục ảo (ơ = 0) thì biến thành vòng tròn đơn vị. Do đó tính chấl ổn định của mạch lọc được bảo toàn.
Trường hợp nếu mạch ỉọc tưcíng lự bị giới hạn dải; nghĩa là:
(jQ) = (j“ /T) = 0, với Icol > 7i/T, thì khi đó:
H ( 0 = T . co
Y co I < 7i;
Tức là, các đáp ứng tần số thời gian - rời rạc và tương tự liên hệ với nhau bằng một sự chia thang tuyến tính của trục tần số được biểu thị bằng co = QT với Icol < 71 và sẽ không có sự chồng phổ. Rất tiếc rằng trong thực tế, không thể giới hạn dải mạch lọc tương tự một cách chính xác, vì thế sự giao thoa giữa các thành phần kế tiếp nhau xẩy ra, là nguyên nhân của sự chồng phổ như được minh họa trong hình 8.4. Vì vậy, có thể có sai sô' chồng phổ nào đó gặp phải khi thiết kế theo phương pháp này, và do đó khoảng lấy mẫu T trong kỹ thuật thiết kế này đóng vai trò thứ yếu. Tuy nhiên, nếu mạch lọc tưcfng tự đạt đến không ở các tần số cao, thì sự chồng phổ có thể loại trừ vì rất bé, nên mạch lọc số có thể thu được một cách rất hữu hiệu từ sự lấy mẫu đáp ứng xung của mạch lọc tương tự.
Tóm lại, thủ tục để thiết kế một mạch lọc số bằng kỹ thuật bất biến xung là xác định các qui định đối với mạch lọc số thông thấp : (Op, ©s, Rp, và As . Để xác định H(z) trước tiên phải thiết kế mạch lọc tương tự tương đương rồi sau đó ánh xạ nó thành mạch lọc số mong muốn. Các bước tiến hành như sau:
ỉ. Chọn T và xác định các qui định cho mạch lọc tương tự:
Qp = cOp/T ; Qs = Íừs/T
2. Thiết k ế mạch lọc tương tự với các qiii định Qp, Í2^, Rp, và As- 3. Sử dụng khai triển phân thức riêng phần HJs) thành dạng:
H ,(s)= IN c k=l S-Sk
4. Biến đổi các điểm cực Sị. của mạch lọc tương tự thành các điểm cực của mạch lọc số Pk = ế'^để thu được mạch lọc số:
N
H(z) = I
k=l 1 - z e
130
... . • •
>c
H(eJ"
.v;
- 2 n In co
H ình 8.4. Minh họa sự chồng phổ trong kỹ thuật thiết kế bằng sự bất biến xung.
Ví dụ 8.1. Biến đổi mạch lọc tương tự:
s + 1
H a ( s ) = - ^ ^
s + 5s + 6
thành mạch lọc số H(z) dùng kỹ thuật bất biến xung với T=0,1 Giải:
Đầu tiên khai Iriển
s^ + 5 s + 6 s + 3 s + 2 có hai điểm cực là S| = -3 và S2 = -2. Do vậy:
H(z) =
2 1 l- 0 ,8 9 6 6 z ''
l - z - ' e '2T l-l,5 5 5 9 z ‘ ' +0,6065z- 2
Trong MATLAB, kỹ thuật bất biến xung được thực thi nhờ hàm iin p in v r .
Nếu H^(s) cho dưới dạng phân thức, thì hàm residue để thu được các điểm cực và điểm không để khai triển H^(s) thành phân thức riêng phần. Sau đó mỗi điểm cực của mạch lọc tương tự được ánh xạ thành điểm cực của mạch lọc số . Cuối cùng sử dụng hàm residuez để chuyển H(z) thành dạng phân thức. Thủ tục này được mô tả trong hàm im p_invr như sau:
Ịimction [b,a] = im pjnvr(c,d,T)
%Biến đổi bất biến xung từ mạch lọc tương tự sang số ... ... ... --- ^ '
R,p,k]=residue(c,d);
P = exp(p*T);
[b,a]=residuez(R,P,k);
b=real(b'); a=real(a');
Ví dụ 8.2 Biến đổi mạch lọc tương tự cho trong ví dụ 6.3 thành mạch lọc số dùng kỹ thuật bất biến xung.
G iả i: Chưong trình MATLAB viết dưới dạng:
c=[l,l];d=[l,5,6];T=0.1;
b,a]=imp_invr(c,d,T);
x=impseq(0,-2,30);
figure(l) n=[-2;30];
subplot(2,1,1 );stem(n,h) Title('Dap ung xung')
H,w]=freqz(b,a,100);
magH=abs(H); phaH-angle(H);
subplot(2,1,2);plot(w/pi,magH);grid title('Dap ung tan so').
Các hệ số của hàm truyền của mạch lọc số là:
b = i.oooo -0.8966; a = 1.0000 -1.5595 0.6065 Do vậy, hàm truyền có dạng
l-0 ,8 9 6 6 z “ ' H(z) =
l - l , 5 5 9 5 z " ' + 0 , 6 0 6 5z"2
132
Đáp ứng xung và đáp ứng biên độ của mạch lọc số cho trên hình 8.5:
1
0.5 ũ -Ũ.5
Dap ung xung
oo o
Ỹọo o o o o o o o o o o o o o o - : o o o o o o o o o -5
3
5 10 15 20 25 30
Dap wng tan Sữ
o 2 T3c CD 1
\ . V
ũ .2 ũ,4 0.6 0.8
Hình 8.5. Đáp ứng xung và đáp ứng biên độ của mạch lọc số trong ví dụ 8.2.
8.4. THIẾT KẾ MẠCH LỌC s ố TỪ MẠCH LỌC BUTTERWORTH THÔNG
8.4.1. Đặc trưng của mạch lọc Butterw orth thông thấp tương tự
Mạch lọc này có dải thông và dải chặn bằng phẳng. Mạch lọc Butterworth thông thấp bậc N có bình phương đáp ứng biên độ dạng:
1 +
\ c /
Trong đó N là bậc của mạch lọc còn là tần số cắt đo bằng rad/sec.
Đồ thị của bình phương biên độ cho trên hình 8.5.
Từ hình vẽ ta thấy:
• tại Q = 0, IH(jQ)P = 1 với mọi N.
• tại Q = Q^„ IH(jQ)P = ]/2 với mọi N . Đó cũng chính là độ suy giảm 3dB tại
• IH(jQ)P là hàm giảm đơn điệu của Q.
• IH(jQ)l^ đạt gần đến mạch lọc thông thấp lý tưởng khi N dần ra oo.
• IH(jQ)l^ tuyệt đối bằng phẳng tại Q = 0 vì đạo hàm tất cả các bậc đều tồn tại và bằng không.
Để xác định hàm truyền H_,(s) của mạch lọc này, ta được:
ÍÍ=S/J
1 +
1 _ ^ _ J j Q )
2N ..2N
2N
/ \ s v j ^ c .
2N
Các điểm cực của H,(s)H^(-s) được xác định từ phương trình
tìm được
2N
Như vậy H,(s)H,(-s) có:
2 7 ĩ ( 2 k + N + l ) _
, k = 0, 1,2,...,2N -1
• 2N điểm cực phân bố đều đặn trên vòng tròn bán kính Q(- cách đều nhau mộl khoảng 7t/N radians.
• Nếu N lẻ thì các điểm cực được cho bởi S;, = k = 0, 1, 2...,2N-1.
• Nếu N chẵn thì các điểm cực được cho bởi: S|, = với k
= 0,
• Các điểm cực định xứ đối xứng đối với trục ảo jQ.
• Điểm cực không khi nào nằm trên trục ảo và chỉ nằm trên trục thực khi N lế.
134
Hình 8.6 cho thấy sự phân bố của các diểin cực của H,,(s)H^(-s) bậc 6,
Mặt phẳng z
Hình 8.6. Vị trí của các điểm cực của H,(s)H^(-s) đối với mạch lọc Butterworth bậc 6 .
Mạch lọc H^(s) ổn định và nhân quả phải có các điểm cực nằm ở nửa trái của mặt phẳng-s. Do đó H^(s) có dạng:
QN n( s - Sk)
L H P -p o lc s
8.4.2. T hiết kê mạch lọc tương tự B utterw orth thông thấp
Thủ tục để thiết kế mạch lọc tưưng tự BuUei vvDilh thôag thấp với các qui định Qp, Rp, Qs và Ag. Do đó, vấn đề chủ yếu trong thiết kế mạch lọc Butterworth là xác định được bậc N của mạch lọc \'à tần sô' cắt Qc, khi các qui định trên đã cho.
hay
Tại Q = Qp, ta có:
-101og„,IR,(jf^)P = Rp
-lOlogKI
1 + Qp 2 N
= R / / Và
• Tại Q = Qs ’ -101og,(|IH^(jQ)P = Rp, hay
-lOIog10
1 +
A s
Giải hai phương trình này theo N và Qc chúng ta sẽ thu được:
log10 N =
2 iog|0( n „ / n , )
Hiển nhiên bậc N phải là số nguyên nên chúng ta làm tròn lên, Đối với Qc, chúng ta tìm được;
/10
hoặc theo Qs'
Qc = ô s
2 N / ( , 0 As/ I 0 _ „
Ví dụ 8.3 Thiết kế mạch lọc Buttervvorth thông thấp thoả mãn các qui định sau:
Tần số cắt Qp = 0,2tĩ; Độ mấp mô của dải thôngRp = 7dB;
136
Tần số cắt của dải chặn; Qỵ = 0,37t; Độ mấp niô của dải chặn As=16dB.
ỉ ỉ a i :
Trước hết xác định bạc của mạch lọc theo : N = log10
21og,o(0,2/0,3)
= 2,79 N phải là số nguyên nên chọn N = 3.
Tiếp theo xác định Qc theo Qp . Từ công thức 0,2n = 0,4985 .
Theo Qs tính được thì Qc = 0,5122. Chúng ta có thể chọn giá trị bất kỳ nằm giữa hai giá trị trên cho Qc- Ta chọn bằng 0,5. Như vậy, chúng ta phải thiết kế mạch lọc có N=3 và Qc = 0,5. Với các giá trị này thì bình phương đáp ứng biên độ của mạch lọc có dạng:
1
1 + 64Q'
Để xác định hàm truyền của mạch lọc này chúng ta phải xác định các điểm cực của H^(s)H^(-s). VI N=3 bậc lẻ nên ta sử dụng:
= ,k = 0,l,2,3,4,5.
Từ đó tìm được 6 điểm cực là:
s,.2 = ±0,5; = 0,25+0,433; s ,,, =0.25 ± 0,433
Các điểm cực này cho trên hình 8.7. Vậy hàm truyền có dạng:
H,(s) = 0,125
(s + 0,5)(s^ +0,5s + 0,25)
71/3
Hình 8.7. Vị trí của các điểm cực của HJs)H.,(-s) đối với mạch lọc Butterxvorth bậc 3 .
Ví dụ 8.4. Sự bất biến xung với mạch lọc Butterworth
Xét thiết kế mạch lọc số thông thấp bằng cách áp dụng sự bất biến xung cho mạch lọc tương tự Butterworth. Các qui định đối với mạch lọc số cần thiết kế là:
0,89125 < I H(ej“ I < 1, 0 <1 co l< 0,2ji (8.2a) 0,17783, 0,3 <1 co I < 71 (8.2b) Vì thông số T không có ảnh hưởng trong thủ tục bất biến xung, nên chúng ta có thể chọn T = 1, vì vậy co = 71.
Khi thiết kế mạch lọc sử dụng sự bất biến xung trên một mạch lọc tương tự Buttervvorth, trước tiên chúng ta phải biến đổi các qui định thời gian - rời rạc thành các qui định trên các mạch lọc tương tự. Cần nhắc lại rằng sự bất biến xung tương ứng với phép ánh xạ tuyến tính giữa Q và co khi không có sự chồng phủ. Để lấy ví dụ về điều này, chúng ta sẽ giả thiết rằng ảnh hưởng của sự chồng phổ có thể được loại trừ. Sau khi thiết kế đã được hoàn tất, chúng ta có thể đánh giá đáp ứng tần số của mạch lọc thu được theo các qui định lại một lần nữa trong các phương trình (8.1) và (8.2).
Vì các thảo luận trước đây muốn thiết kế một mạch lọc tương tự Buttervvorth với hàm biên độ IH^(jQ)l thoả mãn hệ thức
138
0 .8 9 i2 5 < l H ,(jQ )l< 1. 0 < I Q I < ( U ti (8.3a) I H ,(jQ )l < 0.17783. 0 , 3 7 t < K i l < 7 t . (8.3b)
Vì đáp ứng bién độ của mạch lọc ButlciAVorth iươiig tự là một hàm số đơn diỘLi cúa tần số, nên các phương trình (8.3a) \ à (8.3b) sẽ được thoả mãn nêu
IH„(j0.27r) I >0,89125 (8.4a) và IR,{jO,3t:)I < 0.17783. (8.4b)
Đặc biệt, hàm bình phương bièn độ cua mạch lọc Buttei'\vorth có dan 2:
+ ( f ì / í ỉ , ) 2 N
(8.5)
Quá trình thiết kế mạch lọc là xác dịnh các thôns số N và 0)^ đé thoả mãn các qui định mona muốn. Nếu sứ dụns phương trình (8.5) trong các phương trình (8.4) với dâu bằna thì sẽ dần dến các phương trình
và
' 0.271^
í ' '
+ ,0.89125,
+
/ \ 2 N
0 ,3 7 1 1 _
(X17783
(8.6a)
(8.6b)
Nghiệm của hai phương trình này là N = 5,8838 và = 0,70474.
Tuy nhiên, thông số N phải là một số nguyên. Do dó, để các qui định được thoá mãn hoặc vưẹrt quá vêLi cầu, chúng ta pliải làm tròn N t ớ i số nguyên ở phía trên, N = 6. Bởi \’ì chúng ta dã làm Iròn lc-n, nên mạch lọc sẽ không thoá mãn một cách chính xác cả phương tiìnli (8.5 ) lẫn phương trình (8.6b) một cách đồng thời. Với N = 6, thì thông sổ Q có thể được chọn vượt qua hoặc ở trona dải thỏng, dải chặn, hoặc Irong cả hai. Đặc biệt, khi giá trị của Q( thay đổi, thì có sự dung hoà về số lượng mà theo đó các qui định của dải thông \'à dái chặn được virọt quá. Nếu ihay N =: 6 vào trong phương trình (8.6a), thi chúng ta sẽ thu được = 0,7032. Với giá trị này, các qui định
của dải thông ( của mạch lọc tương tự ) sẽ được thoả mãn một cách chính xác, và các qui định của dải chặn ( của mạch lọc tương tự ) sẽ được vượt quá yêu cầu. Điều này cho phép có một cái lề cho sự chồng phổ trong mạch lọc số. Với Q^, = 0,7032 và với N = 6, thì hàm số bình phương biên độ H^(s)H^(-s) = l / [ l + ( s / j Q c ) ^ ' ^ ] có 12 điểm cực được phân bố đều đặn về góc trên vòng tròn bán kính Qc = 0,7032, như đã chỉ ra trên hình 8.8. Vì thế, các điểm cực của H^(s) là ba cặp ở phía trái của mặt phẳng - s với các tọa độ sau đây:
cặp điểm cực 1 : -0,182 ± j'(0,679).
cặp điểm cực 2 : -0,497 ± j(0,497), cặp điểm cực 3 : -0,679 ± j(0 ,182), Do đó:
1
(s^ + 0,3640s + 0,4945)(s‘^ + 0,9945s + 0,4945)(s^ + l,3585s + 0,4945) (8.7)
Vlặt phẳng s
H ình 8.8. Vị trí của các điểm cực của H^(s)H„(-s) đối với mạch lọc Butterworth bậc 6 trong ví dụ 8.6.
140
Nếu biểu thị H_,(s) như inột biểu thức khai liiển phàn thức riêng phần, thì hàm truyền của mạch lọc số là:
H(z) = 0,2871-0,4466z- I
+ l-l,2 9 7 1 z “ ’ + 0,6949z'^
1,8557-0,6303z~' l-0 ,9 9 7 2 z ~ ’ +0,2570z“ -
- 2,1428+ l,1455z~' -l,0 6 9 1 z“ ' +0,3699z” ^
(8.8)
Như vậy, hàm truyền thu được từ (8.8) có thể được thực thi dưới dạng song song. Nếu muốn thực hiện dưới dạng nối tiếp hoặc dưới dạng trực liếp, thì các số hạng bậc hai riêng biệt phải được kết hợp lại với nhau theo một cách thích hợp.