Như đã nói, việc chuyển đổi một mạch lọc tưcfng tự thành một mạch lọc số chính là làm cho mạch lọc tương tự đó được cấu tạo bởi các bộ cộng, bộ nhân và bộ trễ đơn vị ( bộ tích phân).
Các bộ cộng và bộ nhân thì có thể số hoá được ngay, trong khi số hoá phần động lực (tức là các bộ tích phân) là công việc tinh vi hơn và cần thiết phải áp dụng kỹ thuật gần đúng. Tuy nhiên, công việc này không còn mới mẻ đối với các chuyên gia phân tích số và có thể đưa ra những thuật toán phức tạp. Trong miền s phép lấy tích phân được biểu thị bằng:
Y(-s) ^ 1
ư(s) s (8.9)
Trong lĩnh vực số, thì tích phân gần dúng của u(t) có thể viết (theo phương pháp hình thang);
y, = y,-i + (8.10)
Lấy biến đổi z của biểu thức này ta được:
Y(z) = z'Y (z) + ^ U(z) + z U(z) (8.11)
Hình 8.9 Tích phân số tính gần đúng theo phưcmg pháp hình thang.
Hay:
Như vậy:
s tương đương với
Y(z) _ T l + Z U(z) 2 i - z - '
1 - z
1 + z
(8.12)
(8.13)
Đây là phép biến đổi đại số giữa các biến số s và z, cũng là phép ánh xạ toàn bộ trục jQ trong mặt phẳng - s thành vòng tròn đơn vị ở trong mặt phẳng - z.
Nếu ký hiệu Hc(s) là hàm truyền tương tự và H(z) là hàm truyền thời gian - ròi rạc, thì phép biến đổi song tuyến tương đương với sự thay đổi s bằng hệ thức
s = T
1 - z
(8.14)
có nghĩa là:
H(z) = H T
(8.15)
Cũng như trong phương pháp bất biến xung, thông số "lấy mẫu" T được bao gồm ở trong biểu thức định nghĩa của phép biến đổi song tuyến.
142
v ề mạt nguồn gốc mà nói, thì thông số này buộc phải có mặt bởi vì phương trình sai phân tương ứng với H(z) có thể thu được bằng cách áp dụng qui tắc tích phân theo kiểu hình thang phương irình vi phân tưcmg ứng với H„(s), với T biểu thị cho kích thước của một bước tích phán sỏ'. Cũng như với phưcíng pháp bất biến xung, thông số T không có vai trò gì trong thủ tục thiết kế, bởi vì chúng ta giả thiết rằng vấn đề thiết kế luôn luôn bắt đầu với các qui định trên mạch lọc sô' HCe'"’).
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh phép biến đổi song tuyến bảo toàn tính chất ổn định . Chúng ta giải ra đối với z và thu được:
1 - ( T / 2 ) S
và sau khi thay s = ơ + jQ vào trong phương trình (8.16), chúng ta thu được:
1 + ơ T /2 + jQ T /2
--- „ 1 (8.17)
1 -ơ T / 2 - j Q T /2
Nếu ơ < 0 thì khi đó, từ phương trình (8.17) suy ra rằng lzl < 1 đối với gía trị bất kỳ của Q. Tương tự, nếu ơ > 0, thì lzl > 1 với mọi Q bất kỳ.
Điều đó có nghĩa là, nếu một điểm cực của H^(s) nằm ở nửa trái của mặt phẳng - s, thì ở trong mặt phẳng - z nó sẽ nằm ở bên trong vòng tròn đơn vị.
Do đó, các mạch lọc thời gian liên tục ổn định và nhân quả ánh xạ thành các mạch lọc số ổn định và nhân quả.
Tiếp theo, để chỉ ra trục jQ của mặt phẳng - s ánh xạ thành vòng tròn đơn vị, chúng ta phải thế s = jQ vào trong phương trình (8.17), và thu được:
l+ jQ T /2
z = ---- _ (8.18)
l-jQ T /2
Từ phương trình (8.17) thấy rõ ràng là lzl = 1 đối với mọi giá trị của s nằm trên trục jQ. Có nghĩa là, trục jQ ánh xạ thành vòng tròn đơn vị, để sao cho phương trình (8.18) có dạng:
1 + p T / 2
e j “ = ---— --- (8.19)
1 - jfìT /2
Để dẫn ra mối quan hệ giữa các biến số (0 và Q, thì điều thuận lợi là quay trở lại phương trình (8.14) và thay z = . Chúng ta thu được:
hoặc tưofng đưcíng:
s = 1 - e
JW
(8.20)
s = ơ + jQ = T
2e~-’"*^^(jsino)/2)
2e"j“ ^^(cosco/2)
= ^ t a n ( c o /2)
T (8.21)
Cân bằng phần thực với phần thực và phần ảo với phần ảo trên cả hai phía của phương trình (8.2 1) sẽ dẫn đến các hệ thức ơ = 0 và;
Q = ^ t a n ( c o /2) (8.22)
hoặc (0 = 2artan(Q T /2 ) (8.23)
Các tính chất này của phép biến đổi song tuyến chính là sự ánh xạ từ mật phẳng - s sang mặt phẳng - z và được tổng quát hoá trong các hình 8.9 và 8.10. Từ phương trình (8.22) và hình 8.10, chúng ta thấy rằng vùng tần số 0 < Q < 71 ánh xạ thành 0 < co < 7T, trong khi vùng tần số - 7Ĩ < Q < 0 ánh xạ thành - 7Ĩ < co < 0. Phép biến đổi song tuyến tránh được vấn đề chồng phổ gặp phải khi sử dụng sự bất biến xung, bởi vì nó ánh xạ toàn bộ trục ảo của mặt phẳng - s thành vòng tròn đơn vị ở trong mặt phẳng - z. Tuy nhiên, cái giá phải trả cho điều này là sự nén phi tuyến của trục tần số như đã được mô tả trên hình 8.10. Vì thế, sự thiết kế các mạch lọc số sử dụng phép biến đổi song tuyến chỉ có lợi khi độ nén có thể bỏ qua hoặc được cân bằng , như trong trường hợp của các mạch lọc có các đặc trưng gần đúng với đáp ứng biên độ bằng hằng số - từng khúc . Đặc trưng này đã được minh họa trong hình 8.1 1, ở đấy cho thấy một đáp ứng tần số thời gian liên tục và đung sai được ánh xạ như thế nào tới đáp ứng tần số và dung sai thời gian rời rạc tương ứng qua phép nén tần số được biểu thị bởi các hệ thức (8.22) và (8.23).
Nếu các tần số tới hạn ( chẳng hạn như các tần số ở đầu dải chặn và dải thông) của mạch lọc thời gian liên tục được nén trước nhờ hệ thức (8.2 2) và sau đó, khi mạch lọc thời gian liên tục được biến đổi thành mạch lọc số bằng
144
cách sử dụng phương trình (8.23), thì mạch lọc số sẽ thoả mãn các qui định mong muốn.
Imz
Ảnh của s=jQ Rez Vòng tròn đơn vị Ảnh nửa trái của
mặt phảng s
H ình 8.10 Sự ánh xạ mặt phẳng-s thành mặt phẳng-z dùng biến đổi song tuyến .
Các mạch lọc thời gian liên tục tiêu biểu là các mạch lọc Buttervvorth, Tshebyshev, và elliptic. Các công thức thiết kế dưới dạng biểu thức toán học chặt chẽ của các phưcíng pháp gần đúng thời gian liên tục này tạo thành thủ tục thiết kế rõ ràng hơn. Một mạch lọc Butterworth thời gian liên tục có đặc tính đồng mấp mô ở trong dải thông và dải chặn. Mạch lọc Tchebyshev loại I có đặc tính đồng mấp mỏ ở dải thông và thay đổi một cách đơn điệu ở trong dải chặn. Mạch lọc Tchebyshev loại II lại đcfn điệu trong dải thống và đồng mấp mô ở trong dải chặn. Mạch lọc elliptic đồng mấp mô cả ở trong dải thông lẫn trong dải chặn. Rõ ràng là các tính chất này sẽ được bảo toàn khi mạch lọc được ánh xạ thành mạch lọc số nhờ phép biến đổi song tuyến. Điều này được minh họa bởi dải gần đúng gạch sọc ở trong hình 8.1 2.
H ình 8.11. Ánh xạ trục tần số thời gian liên tục thành
Để đạt được các tần số cắt thời gian-rời rạc mong muốn, các tần số cắt của mạch lọc thời gian-liên tục phải được nén trước khi ánh xạ.
Mặc dù phép biến đổi song tuyến có thể được sử dụng một cách hiệu quả khi ánh xạ đặc trưng đáp ứng biên độ hằng số- từng khúc từ mặt phẳng - s sang mặt phẳng - z, nhưng bản thân nó cũng biểu thị sự biến dạng trong trục tần số như một sự nén đáp ứng pha của mạch lọc. Chẳng hạn, hình 8.13 cho thấy kết quả của việc áp dụng phép biến đổi song tuyến cho một thừa số pha tuyến tính lý tưởng e '“ . Nếu chúng ta thay thế s từ phương trình (8.13) và đánh giá kết quả trên vòng tròn đơn vị thì góc pha là -(2aA'd)tan(oo/2).
Trong hình 8.12, đường cong đậm là đồ thị của hàm số -(2a/Tj)tan(co/2), còn đường chấm chấm là hàm pha tuyến tính tuần hoàn -(coa/Td), thu được bằng cỏch sử dụng gần đỳng của gúc bộ (o/2 ô tan((D/2).Từ đú cú thể thấy rừ ràng rằng nếu chúng ta quan tâm đến mạch lọc thông thấp thời gian rời rạc với đặc trưng pha tuyến tính, thì có thể sẽ không thu được mạch lọc như vậy nhờ áp dụng phép biến đổi song tuyến cho mạch lọc thông thấp thời gian liên tục với đặc trưng pha tuyến tính.
0 cOp 71 CO
Hình 8.12 Sự uốn tần số do phép biến đổi song tuyến ánh xạ mạch lọc thông thấp thời gian-liên tục thành mạch lọc thông thấp thời gian-rời rạc.
146
Như đã nói trước đây, do sự nén tần số , nên việc sử dụng phép biến đổi song tuyến bị giới hạn cho việc thiết kế một cách gần đúng các mạch lọc với các đặc tính đáp ứng biên độ hằng số - từng khúc, chẳng hạn như các mạch lọc thông cao, thông thấp và thông dải.
Hình 8.13. Minh họa tác c
ZH (e^“ )
■ 27ta/T na/T
n 2n co
— na/ -(aco)/T
^ 2a / \
-2na/T r - — tan (Ỡ T
ộng của biến đối song tuyến lên đặc trưng pha ( đường chấm chấm là pha tuyến tính còn đường đậm là pha do biến đổi song tuyến sinh ra)
8.6. THIẾT KẾ MẠCH LỌC s ố THÔNG THẤP TỪMACH LỌC
BUTTERWORTH TƯƠNG TựDÙNG PHÉP BIÊN Đ ố l SONG TUYÊN Xét thủ tục thiết kế một mạch lọc số với các qui định là:
0,89125 <IH(e^“) < l , 0 < (0 < 0,2tĩ (8.24a) IH(eJ“)l< 0,17783, 0,37t < co < 7T (6.24b)
Trong thiết kế dùng biến đổi song tuyến, thì các tần số tới hạn của mạch lọc số phải được nén trước tới các tần số thời gian liên tục tưofng ứng bằng cách sử dụng phưong trình (8.2 2) sao cho sự méo về tần số do phép biến đổi song tuyến sinh ra sẽ ánh xạ các các tần số thời gian liên tục trở về các tần số tới hạn chính xác của mạch lọc số. Đối với mạch lọc đặc biệt này, với IH3(jQ)l biểu thị hàm đáp ứng biên độ của mạch lọc thời gian liên tục, thì chúng ta phải yêu cầu điều kiện:
0,89125 < IR, (jQ)l < 1 , 0 < Q < ~ t a n ^0,271^
IH,(jQ)< 0,17783, — tan
T ,|
^0,3n'' V 2 y
J V -
< Q < oo
(8.2.^a) (8.23b)
Để thuận tiện, chúng ta chọn T = 1. Vì mạch lọc Butterworth thời gian liên tục có đáp ứng biên độ đơn điệu, nên chúng ta có thể đòi hỏi điều kiện tương đương là :
và
IH„0'2tan(0, l7:))l> 0,89125
IH,(j2tanO,157ĩ))l< 0,17783,
(8.26a)
(8.26b) Dạng của hàm đáp ứng bình phương biên độ đối với mạch lọc Buttervvorth là :
1
1 + (Q / Q(- )2N (8.27)
Giải ra đối với N và Q(- với dấu bằng trong các phưcíng trình (8.26a) và (8.26b), chúng ta sẽ thu được:
1 + 2tan(0,l) Q r
2 N
0,89 (8.28a)
và;
1 + 2tan(0,15) Q .
2 N
(8.28b)
và khi giải ra đối với N trong các phương trình (8.28a) và (8.28b) sẽ cho:
N =
log (_. l _ ) 2 _ ị Ì /
1 0,178
í 1 ^
\{ --Ỷ - 1 1
1 0,78 )_
2 log[tan(0,l 571) / tan(0,l7t) = 5,305 (8.29)
148
Vì N phải là một số nguyên, nên ta chọn N 6. Sau khi thay N = 6
vào trong phương trình (8.28b), chúng ta sẽ thu điKíc Qc = 0,766. Đối với giá trị này của , thì các qui định về dải thông đã được vượt quá yêu cầu còn các qui định về dải chặn thì được đáp ứng một cách chính xác. Đối với phép biến đổi song tuyến, thì chúng ta không có lý do gì phải đề cập đến sự chồng phổ. Chính là vì, với sự nén trước về tần số, chúng ta có thể tin chắc rằng mạch lọc số thu được sẽ thoả mãn các qui định một cách chính xác ở hai đầu của dải chặn mong muốn.
Trong mặt phẳng - s, 12 điểm cực của hàm bình phương biên độ phân bố một cách đều đặn theo góc ở trên vòng tròn bán kính 0,766, như đã chỉ ra trên hình 8.14.
ơ ọ-
7Ị/4. Mặt phẳng-s O J ^ Q
----1--- Rez
■CX-. . -0
Hình 8.14 Vị trí của các điểm cực ở trong mặt phẳng-s của H^(s)H,(-s) đối với mạch lọc Butterworth bậc 6.
Hàm truyền của mạch lọc thời gian liên tục đã nhận được bằng sự chọn lọc các điểm cực ở nửa mặt phẳng phía trái là :
0,20238
(s^ + 0,3996s + 0,5871)(s^ + l,0836s + 0,5871)(s^ + l,4802s + 0,5871) (8.30)
Hàm truyền đối với mạch lọc số thu được bằng cách áp dụng phép biến đổi song tuyến cho H,(s) với T = 1. Kết quả lá ;
H(z) =
X
0 - l , 2 6 8 6 z “ ' + 0 , 7 0 5 1 z “ - ) ( l - 1 0 1 6 z ' ' + 0 , 3 5 8 3 z ~ ^ ) 1
0 - 0 , 9 0 4 4 z ~ ' + 0 , 2 1 5 5z“ 2)
(8.31)
Biên độ, biên độ log và độ trễ nhóm của đáp ứng tần số của mạch lọc thời gian rời rạc được chỉ ra trên hình 8.15. Tại (0 = 0,2tĩ biên độ log là -0,56 dB và tại co = 0,3tx biên độ log chính xác bằng -15 dB.
Vì phép biến đổi song tuyến ánh xạ toàn bộ trục jQ của mặt phẳng - s thành vòng tròn đơn vị ở trong mặt phẳng -z , nên đáp ứng biên độ của mạch lọc số giảm nhanh hơn nhiều đáp ứng biên độ của mạch lọc thời gian liên tục. Đặc biệt, Tính chất của H(e'“) tại co = 7T tương ứng với tính chất của H^CịQ) tại Q = 00. Chính vì thế mà, do mạch lọc Butterworth bậc sáu có một điểm không tại s = 00 nên mạch lọc sô' thu được sẽ có điểm không thứ sáu nằm tai z = -1.
a)
150
Biên đô
b) Tần sô' góc co, radian
c) Tần sô' góc co, radian
Hình 8.15. Đáp ứng tần số của mạch lọc Butterxvorth bậc 6 đã được biến đổi bởi phép biến đổi song tuyến :
(a) Biên độ log. (b) Biên độ. (c) Độ trễ nhóm.
Cần lưu ý rằng, vl co và Q liên hệ với nhau bằng phươiig trình (8.22), nên suy ra rằng mạch lọc số Butterxvorth bậc N tổng quát có hàm bình phương biên độ là :
1 + ở đấy tan {(ừJ2) = Q c T / 2 .
^ ^ (8.32)
tan(co/2) tan(co„ / 2
Hàm đáp ứng tần số của phương trình (8.32) có cùng các tính chất như đáp ứng của mạch lọc Butterworth thời gian liên tục; có nghĩa là, nó có độ phẳng cực đại và IH(eJ“")l ^ = 0,5. Tuy nhiên, hàm số trong (8.32) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 271 và giảm một cách rất rõ nét hơn nhiều so với đáp ứng của mạch lọc Butterworth thời gian liên tục.
Chúng ta còn chưa thiết kế các mạch lọc Buttervvorth thời gian rời rạc một cách trực tiếp bắt đầu từ phương trình (8.32), bởi vì nó chưa cho ta xác định được ngay các vị trí của điểm cực ở trong mặt phẳng - z (tất cả các điểm không đều nằm tại z = -1) gắn liền với hàm bình phưcíng biên độ của phương trình (8.32). Điều cần thiết là phải xác định các điểm không như thế nào để hàm bình phưong biên độ được phân tích thành thừa số dạng H(z)H(z') trong đó hàm cần xác định là H(z).