11.3. THỰC HIỆN CÁC HÀM TRUYỀN IIR
12.2.2. Các tín hiệu ngẫu rrhiên rời rạc hai chiều
Đối với một ảnh thì được biểu thị bằng hai biến số ngẫu nhiên. Các mômen của các ảnh rời rạc được biểu thị một cách thuận lợi nếu ta sử dụng không gian véctơ. Trong không gian này, thì giá trị trung bình của ảnh là một ma trận có dạng:
H t - E { f Ị = 2 N n E ( f ) V „
n = l
(12.25)
còn hàm tương quan của một mảng dữ liệu ảnh :
R(ni,n2; n„n4) = E{f(n,,n2)f(n \n '')) (12.26) ở đây I1|, i = 1,2, 3, 4, biểu thị các điểm của một mảng dữ liệu ảnh.
Hàm hiệp biển của một mảng ảnh hai chiều là;
C(n],ri2Ị 113,114) =
= E{[f(n,,n2) - E{ f(n,,n2)}][f(n,,n4) - E{ f(ri3 ,n4)}]} (12.27) và phương sai của mảng dữ liệu ảnh là:
ơ\(n,,n2) = C(n,,n2; n,,n4) (12.28)
236
Nếu mảng ảnh được biểu thị dưới dạng véctơ, thì ma trận tưcfng quan của mảng ảnh f có thể được viết theo các số hạng tương quan của các phần tử của f như sau:
Rf =EÍff*'^ = E
N
m = l
NmfVn.
N
Z N „ f V „ n = l
T (12.29)
hoặc :
R f =Eị f f * T) = I ; Ễ n „ e{ fV „ V „V T )n Ị (12.30) n=lm = l
Hay :
N N
Rf = s S n „ r„ „n ĩ
n=l m=l
(12.31)
ở đây, ta đã sử dụng :
Eí f V v j r Ị = R (12.32)
là ma trận tương quan của cột thứ m và n của mảng dữ liệu f. Do đó, ma trận tưcíng quan R| có thể được biểu thị dưới dạng phân khối như sau :
R f =
■Rii Ri2 ■ Rin
^21 ^22 • R2N
_Rni Rn2 • -Rn n.
(12.33)
Ma trận hiệp biến của véctơ ảnh.f có thể tìm được từ ma trận tương quan và véctơ trung bình của nó nhờ hệ thức:
C| - R| - ^||if (12.34)
Ma trận phương sai ơf của mảng f(ri|,n2) được xác định như một ma trận mà các phần tử của nó biểu thị các phương sai của các phần tử tương
ứng của mảng. Các phần tử của ma trận này có thể được tách ra, trực liếp từ ma trận hiệp biến phân khối C|. Có nghĩa là ;
Ơ,(n„n2) = C„,,„2(n„n2) (12.35) 12.2.3. Hàm phân bố m ật độ xác xuất của một ảnh
Một mảng ảnh f(ri|,n2) có thể được đặc trung bằng hàm phản h ổ mật độ xác suất liên kết và được biểu thị dưới dạng ma trận:
P(f) = p { f(l,l), f(2,l),..„ f(N„N2) (12.36) hoặc dưới dạng véctơ:
P(f)=p{f(l)f(2)...f(G)} (12.37)
trong đó G = N1.N2 là bậc của mật độ xác suất liên kết. Nếu tất cả các pixel độc lập đối với nhau thì hàm mật độ xác suất liên kết có thể được viết dưới dạng :
P(f)=p{f(l)}p{f(2)}...p{f(G)} (12.38)
Thông thường, hàm mật độ xác suất liên kết có dạng Gauss. Khi đó véctơ phân bố mật độ xác suất liên kết sẽ có dạng :
P(f) = (271)-^^ IC,r'^ exp{- ^ Cf-'( f - ^I,)} (12.39)
ở đây C| là ma trận hiệp biến của f , 1^1 là trung bình và 1C|I là định thức của ma trận hiệp biến C|.
12.2.4. Các hàm phân bô m ật độ xác suất thông dụng Phân bố đều
Tín hiệu ngẫu nhiên rời rạc f tạo ra một tập hỢp N giá trị có hàm phân bố mật độ xác suất phân bố đều trong khoảng {0, 1, N-1Ị . Có nghĩa là p,(f=k) = 1/N với 0 < k < N-1.
238
Tín hiệu ngẫu nhiên f được gọi là tín hiỌu ngẫu nhiên gaussian, nếu hàm mật độ xác suấl của nó tuân theo luật phân bố Gauss hay còn gọi là phân bố chuẩn. Đối với tín hiệu ngẫu nhiên hai chiều có mật độ xác suất tuân theo phân bố chuẩn dạng:
Tín hiệu ngẫu nhiên gaussian
Pf(m ,n ) = - ^ e "
o n trong đó ơ là phương sai.
Hình 12.1a , 12.Ib cho thấy tín hiệu ngẫu nhiên rời rạc có trung bình bằng không phương sai bằng ơ =7.
Tin hieu ngau nhien Gausian
1GŨ 200 300 4Ũ0 5Ũ0 600 700 8Ũ0 90Ũ 1ŨỮ0
Phan bo Gausian
0.2
0.15 0.1
0.05 0
■0 • o ■
0 0
o
. . 'í:
r:.0
o
-8 -6 -4 -2
Hình 12.1. Tín hiệu ngâu nhiên và hàin phân bố Gauss.
Tín hiệu ngẫu nhiên phân bốPoisson
Một tín hiệu ngẫu nhiên X có các giá trị trong N, có mật độ xác suất tuân theo luật phân bố Poisson dưới dạng:
Px(k) = - |^ e “^
trong đó a là một tham số, cũng chính là phương sai của tín hiệu đó.
Hình 12.2a và 12.2b cho thấy hoành đồ và mật độ phân bố xác suất của tín hiệu ngẫu nhiên Poisson có phương sai a = 5 và N = 2000.
Hoanh do phan bo Poisson
6 8 l ũ 12
Phan bo Poisson
Hình 12.2. Hoành đồ và hàm phân bố Poisson.
Tín hiệu ngẫu nhiên phân bô Rayleigh
Một tín hiệu ngẫu nhiên X có mật độ xác suất tuân theo luật phân bố Rayleigh dưới dạng:
-11 p , ( k ) = 4 e'= ô ^
ơ phương sai của tín hiệu này là o^Jn/2 .
240
Hình 12.3a và 12.3b cho thấy hoành đồ và mật độ phân bô' xác suất của tín hiệu ngẫu nhiên Rayleigh với N = 3000.
Hoanh do phan bo Rayleigh
0 0.5 1 1.5 2 2.S 3 3.5
phan bo Rayleigh
H ình 12.3. Hoành đồ và hàm phân bô' Rayleigh.
12.3. KHÁI NIỆM HOÀNH Đ ồ CỦA MỘT ẢNH
Sự phân bố mật độ xác suất có thể được xác định bằng số đo hoành đồ của ảnh đó. Hoành đồ của một ảnh là một hàm rời rạc được tạo nên bằng cách tính số lượng các pixel trong một ảnh có một mức xám xác định. Khi hàm này được chuẩn hóa cho tất cả các giá trị của pixel, thì nó đặc trưng cho hàm mật độ xác suất tìm thấy một mức xám xác định ở trong ảnh. Như đã biết, ta không thể nhìn thấy nhiều chi tiết trong một ảnh vì các pixel biểu thị cho các phần khác nhau của ảnh đó có các giá trị mức xám rất gần nhau.
Một ảnh chấí lượng xấu có hoành đồ phân bố rấí hẹp, trong khi một bức ảnh chất lượng tốt có hoành đồ phân bố rất đều nhau. Với lý do như vậy, nên để thu được một ảnh có chất lượng tốt, cần phải biến đổi hoành đồ của ảnh đó, sao cho tất cả các giá trị mức xám ở trong ảnh có xác suất như nhau. Điều đó hình thành quá trình cân bằng hoành đồ. Thông số này đóng vai trò quan trọng trong việc khôi phục lại hình ảnh với chất lượng tốt nhất.
Thật v ậ y , g iả sử rj^|(q) là các mức k h ôi phục lại p ix e l tại v é ctơ tọa độ q. K hi đ ó x á c suất xuất hiện véctơ ảnh c ó thể được x á c định th eo sự phân bố xác suất liên kết như sau:
P(f) = p { f ( l) = r j ,( l) } p {f(2 )= rj,(2 )}... p{f(Q )=r^,(Q )} (1 2 .4 0 )
ở đây 0 < < Jq = J - l. T hông thường, các mức k h ôi phục lại là m ột dãy đồng nhất, nên hàm phân b ố mật độ xác suất liên kết trở thành:
P ( f ) = p { f(l)= r j,} p {f(2 )= rp }... p{f(Q)=r^Q} (1 2 .4 1 )
V ề phưcmg diện xác suất, sự phân b ố các g iá trị của ảnh c ó thể được xác định bằng cá ch đo hoành đồ của ảnh đó. C hẳng hạn, hàm phân bô' xác suất bậc nhất của cá c giá trị biên độ, tại v éctơ tọa đ ộ q là;
P { f ( q ) } = P ,{ f ( q ) = r j } (1 2 .4 2 )
c ó thể được x á c định bằng cách kiểm tra m ột tập hợp nhiều ảnh biểu diễn lớp ảnh đã ch o.
H oành đ ồ bậc nhất của sự phân b ố x á c suất là tỉ s ố tần số:
N d ( J )
H E < j . q ) = ^ ^ < 1 2 ô ) N p
ở đây N|, là s ố lượng ảnh đã k iểm tra, Np(j) là s ố ảnh mà f(q ) = f j với j = 0 , 1, J - l . N ếu ảnh là dừng, thì hàm phân b ố x á c suất bậc nhất (1 2 .4 2 ) sẽ như nhau đ ố i vớ i tất cả các thành phần v éctơ q. N ếu n gu ồn ảnh là ergodic thì hàm phân b ố x á c suất bậc nhất có thể được x á c định bằng phép đo hoành đ ồ k h ô n g gian như sau:
Hs(j) = (12-44)
N q
ở đây, N s ( j ) là s ố p ix el trong m ột ảnh c ó f(q ) = ĩj với 1 < q < Nq, và 0 < j < J - l . C hẳng hạn với m ột ảnh 2 5 6 mức xám , thì H s ( j ) ký hiệu s ố lượng các p ix e l c ó m ức xám j trong vùng 0 < j < 2 5 5 .
242
Trong M A T L A B , để xác định hoành đổ của m ột ảnh, ta dùng hàm imlìist, có cú pháp sau:
= im hist(f) hs = iinhist(f,n)
h s = im hist(X ,m ap) (1 2 .4 5 )
ở đây f là ảnh cần xác định hoành đồ h s ( j ) , n là s ố lượng các tia tạo nên hoành đồ.
N ếu k h ôn g v iết n thì ngầm định n = 256 tia như trong im h ist(f). N ếu là ảnh nhị phân thì ta dùng 2 tia. Hàm im hist(X ,m ap) hiển thị hoành đ ồ của m ột ảnh đánh dấu ch ỉ s ố X . hoành đồ này cho biết sự phân b ố các g iá trị của p ixel trên m ột thanh m ầu của colorm ap. Colormap phải c ó ch ỉ s ố ít nhất cũng bằng X. N ếu m u ốn m ột hoành đồ được chuẩn hóa, ta dùng biểu thức:
h c = h s ( j ) / N , ( 1 2 . 4 6 )
trong đ ó N| là s ố lượng các p ix el trong ảnh f.
Đ ể tăng cưòfng độ trong m ột vùng nào đó của ảnh, ta dù ng hàm imadjust khi đ ó hoành đồ sẽ được trải đều ra. Chẳng hạn, ta dù ng lệnh:
f = im read('rice.png');
f l = im ad ju st(0;
s u b p lo t(2 ,2 ,l), su b im a g e(f);
title('ảnh gốc')
su b p lo t(2 ,2 ,2 ), im h ist(f);
titleC hoành đồ của ảnh gốc') su b p lo t(2 ,2 ,3 ), su b im a g e(f2 );
title('ảnh g ố c đã được tăng độ sáng') su b p lo t(2 ,2 ,4 ), im h ist(f2 )
titleC hoành đồ của ảnh đã được tăng độ sáng') ta sẽ thu được kết quả như trên hình 12.4.
A n h goc
10Ũ 150
200
250
50
: ù \
50 100 150 20Ũ 250 Anh goc da duoc íang do sang
50
100
150
200
250
50 100 150 200 250
1ŨŨ0
histơgram cu a anh goc
histogram cua anh duoc tang do sang
1ŨŨŨ
50Ũ
Hình 12.4. Ả nh gốc và ảnh đã được tăng độ tương phản
dùng hàm imadjust.
Ta cũng có thể tăng hoặc giảm độ tương phản bằng cách đặt các giới hạn ch o hoành đồ của n ó. Chẳng hạn ta dùng lệnh im ad ju st(f,[0 0 .2 ],[0 .5 1]) , hoặc ta có thể đặt các giới hạn m ột cách tự động nhờ hàm s t r e t c h l i m ( f ) .
Hàm này tính hoành đ ồ của ảnh và xác định các giới hạn đ iều chỉnh cường độ sáng trong các vù n g khác nhau, như trong lệnh sau :
i m a d j i i s t ( f , s t r e t c h l i m ( f ) , Ị O Ỉ J ) ;
T heo m ặc định, giớ i hạn dưới là 1% (0 .0 1 ) và giới hạn trên là 99%
(0 .9 9 ) của toàn dải.