Chương 2. XÂY DỰNG MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GIÚP ĐỠ HỌC
2.3. Một số biện pháp sư phạm giúp đỡ học sinh yếu kém môn Toán 11
2.3.5. Biện pháp 5: Quan tâm phát hiện, sửa chữa những sai lầm thường gặp
Vấn đề nghiên cứu những khó khăn và sai lầm của HS khi giải toán là cấp thiết bởi lẽ thực tiễn sư phạm cho thấy HS còn mắc rất nhiều kiểu sai lầm.
Từ những sai lầm tính toán đến những sai lầm về suy luận và thậm chí là những kiểu sai lầm rất tinh vi. Theo Nguyễn Bá Kim [10] trong dạy học Toán 11 HS thường mắc phải 3 kiểu sai lầm chủ yếu:
a) Sai lầm khi nắm các khái niệm Toán học
Thực tiễn sư phạm cho thấy trong quá trình vận dụng khái niệm việc không nắm vững nội hàm và ngoại diên khái niệm sẽ dẫn tới việc HS hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái niệm. Mặt khác nhiều khái niệm Toán học là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước đó, việc không
nắm và hiểu không đúng khái niệm có liên quan làm HS không có biểu tượng đúng về khái niệm mới.
Sai lầm về các khái niệm Toán học đặc biệt là các khái niệm ban đầu có tính chất nền tảng sẽ dẫn đến hệ quả tất yếu HS kém môn Toán. Vì vậy có thể nói sự mất gốc của HS về kiến thức Toán học trước hết coi là sự mất gốc về các khái niệm. Từ nhiều nguyên nhân khác nhau có thể dẫn tới sự nhận thức khái niệm toán học một cách hình thức biểu hiện ở:
+HS không nắm vững nội hàm và ngoại diên của khái niệm nên nhận dạng và thể hiện khái niệm sai.
+ Hiểu sai ngôn ngữ, kí hiệu trong định nghĩa khái niệm nên diễn đạt và vận dụng khái niệm khi xây dựng khái niệm khác, khi biến đổi tính toán,khi suy luận chứng minh.
Ví dụ 2.17: Không nắm vững sự mở rộng khái niệm góc hình học sang khái niệm góc lượng giác dẫn tới sai lầm là biểu diễn góc lượng giác thường thiếu, thừa nghiệm hoặc khi viết nghiệm của hệ phương trình thì viết một họ nghiệm dẫn tới thiếu nghiệm. Chẳng hạn khi giải phương trình tích các hàm lượng giác đều viết các họ nghiệm chung kí hiệu nên dẫn đến thu hẹp tập nghiệm.
Chẳng hạn như khi giải phương trình sin2x.sin3x.sin4x 0
HS viết kết quả là: ; ; ( )
2 3 4
x k x k k k Z .
Ví dụ 2.18: Đơn vị đo góc lượng giác là radian và độ, HS không phân biệt được đây là hai đơn vị đo khác nhau nên dẫn tới sai lầm viết nghiệm của phương trình.
Giải phương trình: sin(2 x 1) sin( x 3)
Lời giải của học sinh
0
sin(2 1) sin( 3)
2 1 3 360
2 1 180 3 360
4 360
( )
60 2 120 3
o
o o
o
o
x x
x x k
x x k
x k
k Z
x k
Ví dụ 2.19: Nắm khái niệm hàm số, khái niệm giới hạn của hàm số một cách hình thức nên không ít học sinh cho rằng kí hiệu f(x) là tích hai đại lượng fx.
Đề bài: Tính
2 2
3 2
lim 1
x
x x
x Lời giải của học sinh:
2 2
2 2
2 2
3 lim (3 )
3 2
lim (1) lim (2) (3)
1 1
1 1 lim ( 1)
x
x x
x
x x x x
x
x x
2 3 2
(4) 3 0 0
1 1 0 1
x x
Sai lầm: Ở bước thứ 3 học sinh coi lim (3 2)
x x là tích của lim
x và (3 2)
x . Còn lim (12 1)
x x là tích của lim
x và (12 1)
x nên đã triệt tiêu 2 hạng tử giống nhau là lim
x dẫn đến sai cả bài toán.
Ví dụ 2.20: Cũng có HS sai lầm vì xem 0; 0. 0;1 1
Đề bài: Tìm lim( 2 1 )
x x x
Lời giải của học sinh:
Cách1:
2 2
lim( 1 ) lim 1 lim 0
x x x x x x x
Cách 2:
2 2
2
2 2
1 1
lim( 1 ) lim lim 0
1 1
x x x
x x
x x
x x x x
Sai lầm: Nhận thấy ở cách 1 HS xem đại lượng là một số, còn ở cách 2 kết quả trên chỉ đúng khi x . Khi x thì có giới hạn bằng . Có khi HS đồng nhất khái niệm giới hạn phải, giới hạn trái, giới hạn là như nhau nên kết luận sai bài toán.
Ví dụ 2.21: Sai lầm vì hiểu sai cả khái niệm lim, coi lim như là một hàm số.
Đề bài: Tính 3 5.4 lim 4 2
n n
n n
Lời giải của học sinh:
3 5
3 5.4 4 0 5
lim lim lim lim 5
4 2 2 1 0
1 4
n
n n
n
n n
Sai lầm: Trong bài toán tìm 3 5.4 lim 4 2
n n
n n HS coi “lim” như một hàm số y hoặc f(x).
Để giúp HS sửa chữa những sai lầm này GV cần củng cố lại những vấn đề lý thuyết có liên quan.
b) Sai lầm liên quan đến sử dụng định lý
Cấu trúc thông thường của định lý có dạng A B trong đó A là giả thiết của định lý, B là kết luận của định lý. Sai lầm phổ biến của HS khi học định lý là do xem thường ngôn ngữ và các điều kiện của giả thiết A nên suy ra các kết luận sai lầm: Không có A vẫn suy ra B, không có A suy ra không có B, sử dụng định lý tương tự chưa đúng, không nắm vững kết luận B nên sử dụng kết luận B mà không nhớ A, có B suy ra có A, có A nhưng suy ra không phải B mà chỉ chú trọng tới phương pháp giải toán. Do đó trong quá trình áp dụng vào giải toán HS hay áp dụng thiếu điều kiện hoặc sử dụng đúng nhưng không chính
xác, sử dụng định lý như định nghĩa. Đặc biệt là những định lý HS bị mất gốc hoặc không hiểu bản chất nên khi sử dụng định lý không hiểu rõ phạm vi sử dụng của định lý.
Ví dụ 2.22: Tìm giới hạn: lim2 ( 1)
n
n n Lời giải của học sinh:
2 ( 1) lim
n
n n không tồn tại vì 1 1; 2 3; 3 1
2 3
u u u
Dãy un là dãy không tăng không giảm.
Sai lầm: Lời giải trên sai vì vận dụng định lý Weierstrass chưa đúng. Ta thấy định lý Weierstrass về sự hội tụ của dãy đơn điệu và bị chặn có giới hạn chỉ là điều kiện đủ chứ không là điều kiện cần .
Bài toán được giải như sau:
Vì 2 ( 1) 3
n
n n
n N* và lim3 0
n n nên áp dụng nguyên lý kẹp ta suy ra lim n 0
n u
Ví dụ 2: Tìm giới hạn:
1 2 ( 1)
lim sin sin ... sin
n
I n
n n n n
Lời giải của học sinh:
Ta có:
sin
lim 0
n
n
n ;
sin2
lim 0
n
n
n ; ...;
( 1) sin
lim 0
n
n n n
Nên I 0 0 0 0
Sai lầm: Vì định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của các dãy chỉ phát biểu cho một số hữu hạn các dãy, các dãy này phải có giới hạn nhưng HS đã áp dụng cho dãy vô hạn.
GV hướng dẫn HS cùng giải lại bài toán trên:
Đặt I 1 sin sin2 ... sin(n 1) (1)
n n n n
Nhân 2 vế của (1) với 2 sin n 2
n ta được điều gì?
HS: Ta có
2 ( 1)
2 sin 2sin sin 2sin sin ... 2sin sin
2 2 2 2
nI n
n n n n n n n
GV: Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng HS:
2 sin nI 2
n
3 3 5
os os os os ...
2 2 2 2
c c c c
n n n n
(2 3) (2 1)
os os
2 2
n n
c c
n n
( 1) 2sin 2
n n
Nên
( 1) 2sin 2
2 .sin 2 n I n
n n
( 1)
2sin 2 2 2 ( 1)
lim lim lim . .sin
2 .sin sin 2
2 2
2 2
.1.sin 2
n n n
n
n n n
I n n
n n
c) Sai lầm trong dạy học giải bài tập
Dạy học giải bài tập Toán là một nhiệm vụ quan trọng trong dạy học Toán ở trường phổ thông. Theo J.A.Komexnki [4]: “Bài tập được coi là một mắt xích chính của quá trình dạy học Toán”. Việc dạy học các bài tập Toán học sẽ cung cấp cho HS kiến thức cơ bản của bộ môn. Đó cũng chính là cơ hội rất thuận lợi để phát triển ở HS khả năng suy luận và chứng minh góp phần phát triển năng lực trí tuệ. Tuy nhiên có một tình trạng khá phổ biến là HS chỉ chú ý
thuộc các định lý, công thức, lời giải bài toán mà coi nhẹ việc nắm vững bản chất cách giải bài tập. Điều đó làm cho HS gặp nhiều khó khăn lúng túng khi cần vận dụng các tri thức đặc biệt là tri thức phương pháp, kĩ năng để giải quyết tình huống mới. HS thường mắc phải những sai lầm máy móc. Theo nhà Toán học A.AI.Khínin chủ nghĩa hình thức trong nhận thức của HS thường bắt nguồn từ chỗ: “Trong ý thức HS có sự phá vỡ nào đó mối quan hệ tương hỗ, đúng đắn giữa nội dung bên trong của sự kiện Toán học và cách diễn đạt bên ngoài của sự kiện ấy”. Do đó nếu không được uốn nắn, sửa chữa kịp thời sẽ dẫn tới tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm. Theo J.A.Komexnki [4] : “Bất kì một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay đến sai lầm đó và hướng dẫn học sinh nhận ra,sửa chữa khắc phục sai lầm”.
Nguyên nhân chủ yếu dẫn đến sai lầm của HS là:
- Sơ xuất, vô ý, cẩu thả, thiếu thận trọng hoặc hấp tấp chủ quan.
- Không nắm vững kiến thức, không nhớ những quy tắc, định lý, công thức.
- Không nắm vững các quy tắc suy luận logic.
GV cần thường xuyên khuyến khích, động viên đúng mức những HS có bài giải tốt, giúp HS có phương pháp học lý thuyết một cách chủ động sáng tạo tạo điều kiện cho những suy luận biện chứng hợp logic.
Trong giải bài tập Toán học sinh thường mắc phải những sai lầm sau:
- Các sai lầm về sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu Toán học:
HSYK là đối tượng thường mắc phải những sai lầm trong việc sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu toán học. Các em thường rơi vào tình trạng “bí” không biết sử dụng từ nào để diễn đạt phép toán. Ngôn ngữ diễn đạt bài toán thì lủng củng.
Ví dụ 2.23: Cho hình tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Gọi ( ) là mặt phẳng qua M song song với hai đường thẳng AC và BD.
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( ) với các mặt của tứ diện?
b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi ( ) là hình gì?
Lời giải của học sinh:
a)MN//AC MQ//BD NP//BD
( )và (MNPQ) giống nhau ( )x(ABC)=MN
giao tuyến MN ( )x(ABD)=MQ giao tuyến MQ
( )x(ACD)=PQ giao tuyến PQ
( )x(BCD)=NP giao tuyến NP
b) Thiết diện là hình bình hành MN//PQ
MQ//NP
Trong bài làm này, sai lầm của HS thể hiện ở những điểm sau:
+ Sử dụng sai kí hiệu giao nhau.
+ Quên khái niệm hai mặt phẳng trùng nhau.
+ Không sử dụng phép suy luận Toán học nào vì sợ sai.
Do đó HS này yếu về việc sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu Toán học. GV không nên coi bài giải của HS là sai hoàn toàn mà cần dựa vào hướng trình bày của các em để chỉnh sửa lại từng bước cho đúng.
Q
N P M
D
C B
A
Hướng dẫn của GV:
GV: Trong không gian nếu chỉ nói dựng MN//AC thì ta có thể dựng được vô số đường. Cần chỉ ra dựng trong mặt phẳng nào và điểm vừa dựng nằm ở đâu?
HS:
Trong (ABC) dựng MN//AC, N BC.
Trong (ABD) dựng MQ//BD, Q AD.
Trong (BCD) dựng NP//BD, P CD.
GV: Trong Toán học không dùng khái niệm hai mặt phẳng giống nhau mà chỉ có khái niệm hai mặt phẳng trùng nhau. Và do cách dựng trên mới có kết quả là hai mặt phẳng trùng nhau nên ta dùng kí hiệu “ ”
HS: ( ) (MNPQ)
GV: Kí hiệu dùng để chỉ sự cắt nhau trong hình học là “ ” chứ không phải là “x”.
HS: Ta có ( ) (ABC) theo giao tuyến là đoạn MN.
( ) (ABD) theo giao tuyến là đoạn MQ.
( ) (ACD) theo giao tuyến là đoạn PQ.
( ) (BCD) theo giao tuyến là đoạn NP.
GV: Để trả lời thiết diện là hình gì thì phải lập luận rồi đi đến kết luận còn nếu kết luận trước thì phải giải thích.
HS: Thiết diện là hình bình hành.
Vì: MN//PQ, MQ//NP theo cách dựng mặt phẳng ( ). - Các sai lầm về kĩ năng tính toán:
Ví dụ 2.24: Giải phương trình: sin 2x 3 os2c x 1(1) Lời giải của HS như sau:
Chia cả hai vế của phương trình cho 2 ta được
1 3
sin 2 os2 1(2)
2 2
sin 2 . os cos 2 .sin 1
3 3
sin(2 ) 1
3
2 2
3 2
2 5 2
6
5 ( )
12
x c x
x c x x
x
x k
x k
x k k Z
Sai lầm trong bài giải này thể hiện ở kĩ năng tính toán. Với sai lầm này GV chỉ cần giúp HS nhìn ra sai lầm và tự sửa chữa.
GV: Em thực hiện chia cả hai vế của phương trình cho 2 đã đúng chưa?
HS: Nhận ra mới chia vế trái cho 2 mà quên không chia vế phải.
GV: Yêu cầu HS tự trình bày lại.
- Các sai lầm về kĩ năng biến đổi đồng nhất
Ví dụ 2.25: Giải phương trình: cosx( 3 t anx 3) 0(1) Lời giải của HS:
cosx( 3 t anx 3) 0 cosx 0
3 t anx 3 0
Với cosx 0 ( )
x 2 k k Z
Với 3 t anx 3 0 t anx 3 ( )
x 3 l l Z
Sai lầm: Không tìm điều kiện để tanx xác định nên dẫn đến các phép biến đổi là không tương đương.
GV hướng dẫn HS trình bày lại lời giải:
GV: Thay nghiệm
x 2 k vào phương trình (1) xem có thoả mãn không?
HS: Thấy không thoả mãn vì tan
2 không xác định.
GV: Phương trình có tanx cần tìm điều kiện xác định thì các phép biến đổi mới tương đương.
HS: Tự trình bày lại lời giải.
- Các sai lầm về logic Toán
Ví dụ 2.26: Cho 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BD=2PD. Chứng minh rằng MN//(ABD) và có nhận xét gì về (MNP) và (ABD).
Lời giải của học sinh:
Ta có MN//AB mà AB (ABD) MN/ /(ABD) Vì MN//(ABD)(cmt)
MN (MNP)
Q
P N
M
D
C B
A
(MNP) / /(ABD)
Sai lầm: HS suy luận không logic. MN//(ABD) thì chưa thể kết luận (MNP)//(ABD).
GV: Cần giúp HS nhìn ra sai lầm và sửa chữa:
GV: Hãy nêu cách chứng minh 2 mặt phẳng song song?
HS: Chứng minh 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia. HS nhận ra mới có 1 đường song song nghĩ đến việc đi tìm thêm 1 đường nữa.
GV: Hai mặt phẳng có điểm chung thì có song song không?
HS: Không
GV: (MNP) và (ABD) có điểm nào chung?
HS: Điểm P và nhận thấy lỗi sai.
- Các sai lầm về phương pháp giải Toán:
Ví dụ 2.27: Tính đạo hàm của hàm số y (2x 1)x Lời giải của học sinh:
Ta có : y,= x x(2 +1)x-1(2x+1) '= 2 .(2x x+1)x-1.
Sai lầm: Lời giải trên đã vận dụng công thức ( )ua '= a.ua -1. 'u . Vận dụng như vậy là sai, vì công thức này chỉ áp dụng cho số mũ a là một hằng số.
Lời giải đúng là:
Điều kiện: 1 , 0
x> - 2 xạ (khi đú y > 0) Ta có:
y (2x 1)x ị lny= x.ln(2x+1)ị (ln ) 'y = (x.ln(2x+1) ')
' 2
ln(2 1)
2 1
y x
y x x
ị = + +
+
' (2 1) . ln(2 1) 2
2 1
x x
y x x
x
é ù
ê ú
ị = + + +
ê + ú
ở ỷ
Ví dụ 2.28: Cho hàm số:
sin2
( 0) ( )
0( 0) x x
f x x
x
Tính f'(0)? Lời giải của HS:
Ta có: f(0) 0 f '(0) 0' 0
Sai lầm: HS thay 0 vào f(x) rồi mới tính đạo hàm. Nếu như vậy thì đạo hàm của mọi hàm số đều bằng 0. GV cần hướng dẫn HS sửa chữa sai lầm.
GV: Đây là hàm được cho bởi nhiều biểu thức. Hãy tính đạo hàm bằng định nghĩa?
HS:
2 2 '
0 0 2 0
(0 ) (0) sin sin
(0) lim lim lim 1
( )
x x x
f x f x x
f x x x