III IV V VI VII V IX X XI XII Năm 1 Trị
2.3.4Cách giải quyết bài toán trong mô hình EFDC
Chương 2 TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH TOÁN
2.3.4Cách giải quyết bài toán trong mô hình EFDC
Chương trình tính toán EFDC giải xấp xỉ hệ phương trình Navier-Stokes sử dụng kết hợp các phương pháp sai phân hữu hạn và phương pháp thể tích hữu hạn, đồng thời kết hợp với việc giải các phương trình truyền tải và phương trình liên tục cho các thành phần độ mặn, nhiệt, năng lượng rối động học và rối cỡ lớn. Các phương trình được giải trên hệ lưới cong tuyến tính trực giao theo phương ngang và trên hệ lưới co dãn theo phương thẳng đứng. Các thành phần khuếch tán theo phương thẳng đứng của động năng, vật chất và nhiệt độ được xác định sử dụng các sơ đồ đóng kín rối Mellor và Yamada và Galperin. Mã nguồn chương trình EFDC được cung cấp miễn phí bởi Cục Môi trường Mỹ và đã và đang được áp dụng trong nhiều nghiên cứu thủy động lực học và môi trường nước các sông, hồ, các vùng biển và cửa sông nhiều nơi trên thế giới
Phương pháp giải bài toán của mô hình EFDC cụ thể như sau: Từ phương trình (6) và (8) ta có :
𝜕𝜕𝑡𝑡�𝑚𝑚𝑥𝑥𝑚𝑚𝑦𝑦𝜂𝜂�=𝑄𝑄𝐺𝐺𝑊𝑊 − 𝑄𝑄𝑆𝑆𝑆𝑆 − 𝑄𝑄𝑆𝑆𝑊𝑊 (10)
Thay (1) vào (6) ta có phương trình
𝜕𝜕𝑡𝑡�𝑚𝑚𝑥𝑥𝑚𝑚𝑦𝑦𝜉𝜉�+𝜕𝜕𝑥𝑥�𝑚𝑚𝑦𝑦𝐻𝐻𝐻𝐻��+𝜕𝜕𝑦𝑦(𝑚𝑚𝑥𝑥𝐻𝐻𝐻𝐻̅) =𝑄𝑄𝐻𝐻����+𝑄𝑄𝐺𝐺𝑊𝑊 (11) Mô hình ứng dụng sơ đồ giải theo không gian và thời gian có độ chính xác bậc 2 theo sơ đồ bước giải phân đoạn bảo toàn khối lượng đối với các phương trình lan truyền mặn, truyền nhiệt, chất lơ lửng, chất lượng nước và các chất ô nhiễm trong nước.
Với phương trình (11) mô hình giải bằng cách sử dụng moduyn gồm 2 bước tính toán. Bước thứ nhất giải theo phương pháp động lực với sơ đồ ẩn như sau:
�𝑚𝑚𝑥𝑥𝑚𝑚𝑦𝑦𝜉𝜉�∗− �𝑚𝑚𝑥𝑥𝑚𝑚𝑦𝑦𝜉𝜉�𝑛𝑛+𝜃𝜃2𝜕𝜕𝑥𝑥�𝑚𝑚𝑦𝑦𝐻𝐻𝐻𝐻��𝑛𝑛+1 +𝜃𝜃2𝜕𝜕𝑥𝑥�𝑚𝑚𝑦𝑦𝐻𝐻𝐻𝐻��𝑛𝑛 +𝜃𝜃2𝜕𝜕𝑦𝑦(𝑚𝑚𝑥𝑥𝐻𝐻𝐻𝐻̅)𝑛𝑛+1 +𝜃𝜃2𝜕𝜕𝑦𝑦(𝑚𝑚𝑥𝑥𝐻𝐻𝐻𝐻̅)𝑛𝑛 =𝜃𝜃𝑄𝑄�𝐻𝐻𝑛𝑛+1/2 (12)
�𝑚𝑚𝑥𝑥𝑚𝑚𝑦𝑦𝜉𝜉�𝑛𝑛+1 − �𝑚𝑚𝑥𝑥𝑚𝑚𝑦𝑦𝜉𝜉�∗ =𝜃𝜃𝑄𝑄�𝐻𝐻𝑛𝑛+1/2 (13) Kết hợp phương trình của hai bước tính toán trên ta được phương trình:
�𝑚𝑚𝑥𝑥𝑚𝑚𝑦𝑦𝜉𝜉�𝑛𝑛+1 − �𝑚𝑚𝑥𝑥𝑚𝑚𝑦𝑦𝜉𝜉�𝑛𝑛 +𝜃𝜃 2𝜕𝜕𝑥𝑥�𝑚𝑚𝑦𝑦𝐻𝐻𝐻𝐻�� 𝑛𝑛+1 +𝜃𝜃 2𝜕𝜕𝑥𝑥�𝑚𝑚𝑦𝑦𝐻𝐻𝐻𝐻�� 𝑛𝑛 +𝜃𝜃2𝜕𝜕𝑦𝑦(𝑚𝑚𝑥𝑥𝐻𝐻𝐻𝐻̅)𝑛𝑛+1+𝜃𝜃2𝜕𝜕𝑦𝑦(𝑚𝑚𝑥𝑥𝐻𝐻𝐻𝐻̅)𝑛𝑛 = 𝜃𝜃𝑄𝑄�𝐻𝐻𝑛𝑛+1/2+𝜃𝜃𝑄𝑄�𝐺𝐺𝑛𝑛+1/2 (14)
Khi đó chiều sâu mực nước được tính toán theo phương trình:
𝐻𝐻𝑛𝑛+1 =𝜉𝜉𝑛𝑛+1𝜂𝜂𝑛𝑛+1 (15)
Mô hình EFDC giải các phương trình thủy tĩnh theo phương thẳng đứng, mặt thoáng nước, chảy rối không gian 3 chiều đối với dòng chảy có tỉ trọng thay đổi. EFDC sử dụng hệ tọa độ biến dạng hoặc sigma thẳng đứng, hệ tọa độ đề các, hệ tọa độ cong trực giao. Để giải các phương trình động lượng EFDC sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn không gian chính xác bậc 2. Việc kết hợp thời gian trong mô hình sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn 3 cấp thời gian chính xác bậc 2 với kiểu tách riêng quá trình chuyển động do các yếu tố chính trong các lớp nước tạo ra (internal model – chế độ liên kết trong) và quá trình do các yếu tố trên bề mặt nước như sông, gió tạo ra (external model – chế độ liên kết ngoài). Kiểu ngoài là kiểu bán ẩn và tính toán đồng thời trường độ cao hai chiều bằng bước gradient liên hợp có điều kiện. Kiểu ngoài kết thúc khi tính toán vận tốc trung bình theo độ sâu (sử dụng mực nước mới được tính). Kiểu trong được thực hiện đồng thời với kiểu ngoài và chỉ hoàn toàn liên quan đến khuyếch tán theo chiều thẳng đứng do ứng suất cắt và cắt theo dòng chảy.
Phương pháp sai phân hữu hạn ứng dụng cho giải bài toán
Để mô phỏng, tính toán diễn biễn dòng chảy trong sông và vùng cửa sông thì công việc này đồng nghĩa với việc phải giải hệ phương trình động lượng theo các phương của mô hình. Các nhà khoa học đã nghiên cứu và đưa ra các cách giải khác nhau trong đó có phương pháp giải bằng phương pháp giải tích và bằng phương pháp số.
Về phương pháp giải tích: với phương pháp này thì bài toán giải được và tìm được nghiệm chính xác, nhưng nó chỉ có thể áp dụng được trong một số trường hợp
nhất định về điều kiện biên như: thường phải đơn giản về hình dạng, không thay đổi theo thời gian tính toán, môi trường là đồng nhất có nghĩa là các thông số của lưu vực tính toán là không thay đổi theo không gian và thời gian…. Nhưng trong thực tế thì các yếu tố trên đều có thể thay đổi và khi có một trong các yếu tố này thay đổi thì bài toán không thể giải được do đó không tìm được nghiệm.
Để khắc phục được những hạn chế của phương pháp giải tích vì không phải bài toán nào cũng tìm được nghiệm chính xác thay vào đó các nhà khoa học đã nghiên cứu biện pháp để tìm ra nghiệm gần đúng của bài toán bằng phương pháp số, đây là phương pháp giải gần đúng. Nghiệm của bài toán có thể là nghiệm xấp xỉ với nghiệm chính xác hoặc nó có thể biểu diễn bằng những biểu thức toán học ứng với các biên ban đầu để giải ra nghiệm khá sát so với nghiệm giải tích.
Có nhiều phương pháp số khác nhau như phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp đường đặc trưng, phương pháp phần tử biên, phương pháp phần tử hữu hạn… trong đó phương pháp sai phân hữu hạn là phương pháp được sử dụng khá phổ biến để giải hệ phương trình động lượng giúp giải quyết bài toán diễn biến dòng sông và vùng cửa sông khá phổ biến và hữu hiệu. Ở đây mô hình EFDC sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để giải phương trình động lượng cho bài toán đặt ra.
Các hệ phương trình động lực theo các phương như đã trình bày trong phần cơ sở lý thuyết của mô hình EFDC đều là các phương trình vi phân đạo hàm riêng của mực nước, lưu tốc theo các phương ngang sông, dọc chiều dài sông, theo chiều sâu dòng chảy và theo thời gian. Đạo hàm của các hàm số này theo không gian và thời gian có thể được thể hiện bằng các công thức gần đúng. Nếu ta chia miền mô hình một lưới các nút, viết giá trị gần đúng của các đạo hàm của các biến số cho mọi điểm lưới, thay đạo hàm gần đúng này vào các phương trình vi phân đạo hàm riêng ta sẽ có hệ phương trình và giải hệ phương trình này ta có được nghiệm của các biến số cần tìm. Đây là cơ sở của phương pháp sai phân hữu hạn.
Giả sử ta cho các biến như mực nước, lưu tốc… có ký hiệu chung là C, ta xác định đạo hàm gần đúng của C như sau:
Theo thuyết Taylor và số dư ta có thể viết cho điểm có tọa độ 𝑥𝑥ℓ+1
𝐶𝐶(𝑥𝑥ℓ+1) =𝐶𝐶(𝑥𝑥ℓ+∆x) = 𝐶𝐶(𝑥𝑥ℓ) +∆xdCdx|𝑥𝑥=𝑥𝑥ℓ+Δ2𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥2𝐶𝐶2|𝑥𝑥=𝑥𝑥ℓ+𝜃𝜃1𝑥𝑥 (16)
Với với 𝜃𝜃1 là một số có giá trị trong khoảng 0≤𝜃𝜃1≤1 Ta sẽ sử dụng 𝐶𝐶ℓ thay cho C(𝑥𝑥ℓ) từ đó ta có: 𝐶𝐶ℓ+1 =𝐶𝐶ℓ+∆xdC dx|ℓ+ Δ𝑥𝑥2 2 𝑑𝑑2𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑥𝑥2|ℓ+𝜃𝜃1∆𝑥𝑥 (17) Gọi 𝐸𝐸 =Δ2𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑2𝐶𝐶2|ℓ+𝜃𝜃1∆𝑥𝑥 (18) Suy ra: dC dx |ℓ =Cℓ+1−Cℓ ∆x −E (19)
với phép xấp xỉ sai phân tiến của đạo hàm bậc nhất lấy:
𝑑𝑑𝐶𝐶